巧用直線的參數(shù)方程解題方法

1、 巧用直線的參數(shù)方程解題摘要：我們都知道解析幾何在高考數(shù)學中的重要性，解析幾何常常讓考生感到 頭痛，特別是關于直線與圓錐曲線的位置關系、求軌跡方程等類型的題目。這類型的題目所涉與的知識點多、覆蓋面廣、綜合性比較強。從而考察考生的運算能力和綜合解題能力，不少學生常常因缺乏解題策略而導致解答過程繁難、運算量大，甚至半途而廢。而想要比較簡單的解決此類問題運用直線的參數(shù)方程是較合適的方法，運用直線的參數(shù)方程去解決一些解析幾何問題會比較簡便。關鍵詞:直線的參數(shù)方程；平面；空間；弦長。 1、引言 在解決的某一解析幾何的問題時，運用直線的參數(shù)方程解題是非常合適的。運用的直線的參數(shù)方程解題它的優(yōu)點在于能化繁為

2、簡、減少計算過程，而它的缺點就是它的局限性，不是所有的題目都適合運用直線的參數(shù)方程解決的。在平面幾何里，一些關于焦點弦長、某點的坐標、軌跡方程、等式證明等問題的題目我們可以考慮運用直線的參數(shù)方程去解決。在空間幾何里用直線的參數(shù)方程可以解決的問題有求柱面和錐面的方程、空間中的一些軌跡方程、對稱點等相關問題。在平面中或是空間里的解析幾何問題，我們都可以考慮運用直線的參數(shù)方程去解決，我們會舉相關的例題，運用直線的參數(shù)方程去解題。 2.1在平面中運用直線的參數(shù)方程解題直線的參數(shù)方程的標準式：過點傾斜角為的直線參數(shù)方程為(t為參數(shù),為直線的傾斜角)t的幾何意義是：t表示有向線段的數(shù)量，為直線上任意一點。

3、2.1.1 用直線的參數(shù)方程求弦長相關問題如果知道過某點的某一直線與一個圓錐曲線相交，要求求直線被截的弦長。我們把這一直線的參數(shù)方程代入圓錐曲線的方程里，然后韋達定理和參數(shù)t的幾何意義得出弦長。例1 過點有一條傾斜角為的直線與圓相交，求直線被圓截 得的弦的長。 分析: 1、考慮點P在不在圓上； 2、這個題目如果用一般方 法解就要寫出直線方程， 然后代入圓方程，要想 求出弦長過程比較復雜、 計算量大； 3、適合運用直線的參數(shù)方 程進行求解。 解： 把點代入圓的方程，得 所以點P不在圓上，在圓 可設直線與圓的交點分別為A、B兩點 由題意得直線的參數(shù)方程為 ，（t為參數(shù)） 代入圓的方程，得 整理后得

4、 因為= 設的兩根為 ，即對應交點A、B的參數(shù)值，由韋達定理得 ； 由t的幾何意義，得弦長 評注: 此類求弦長的問題，一般方法得求出直線與二次曲線的兩個 交點坐標，然后用兩點間的距離公式求出弦長，這樣計算量 會比較大，而運用直線的參數(shù)方程參數(shù)方程去解，根據(jù)參數(shù)t 的幾何意義和韋達定理就能比較簡捷的求出弦長。 小結：我們在運用直線的參數(shù)方程解決求弦長問題時，發(fā)現(xiàn)在解決例1 此類題型時有一定的規(guī)律，這個規(guī)律在解決此類問題時可以當 公式來用，對解題速度很有幫助的。下面我對這個規(guī)律進行闡述：問題1 求二次曲線 截直線 （t是參數(shù)，為直線的傾斜角） 所得的弦的長。 解： 有和消去整理后，若能得到一個關于

5、參數(shù)t的二元 一次方程： 則當有=，截得的弦長為 （公式一） 證明：設為的兩個實根，根據(jù)韋達定理有 又設直線與二次曲線的兩個交點為，則 ， 根據(jù)兩點的距離公式，由，得弦長 （證畢） 上述公式適用于已知直線的傾斜角，那如果已知直線的斜率呢？ 問題2 求二次曲線 截直線 ，（t是參數(shù)，直線的斜率為） 所得的弦的長。 解： 有和消去整理后，若能得到一個關于參數(shù)t的二元 一次方程： 則當有=，截得的弦長為 （公式二） 利用上述公式我再舉個例 例2 若拋物線截直線所得的弦長是，求的值。 解：由直線的方程，得 直線的斜率k=2，且直線恒過點該直線的參數(shù)方程為 ，（t為參數(shù)） 把參數(shù)方程代入拋物線方程，整理

6、后得 因為t是實數(shù)，所以= 由公式二，有 解得 評注：我們通過運用直線的參數(shù)方程得到了公式一和公式二，在 解決關于弦長問題時運用公式一或者公式二解題就會更加 方便。如果題目已知的是直線的傾斜角，就應該考慮用公 式一；如果題目已知的是直線的斜率，就應該先考慮用公 式二。2.1.2 運用直線的參數(shù)方程解中點問題例3 已知經過點，斜率為的直線和拋物線相交于A,B兩點，若AB的中點為M，求點M坐標。 解：設過點的傾斜角為，則， 則， 可設直線的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）把參數(shù)方程代入拋物線方程中，整理后得 設為方程的兩個實根，即為A,B兩點的對應參數(shù)，根據(jù)韋達定理 由M為線段AB的中點，根據(jù)的幾何意義可

7、得 所以中點M所對應的參數(shù)為,將此值代入直線的參數(shù)方程里，得 M的坐標為 即 評注：在直線的參數(shù)方程中，當時，則的方向向上；當 時，則的方向向下，所以AB中點M對應的參數(shù)t的值是， 這與求兩點之間的中點坐標有點相似。 2.1.3 運用直線的參數(shù)方程求軌跡方程 運用直線的參數(shù)方程，我們根據(jù)參數(shù)t的幾何意義得出某些線段的數(shù)量關系，然后建立相關等式，最后可得出某動點的軌跡。例4 過原點的一條直線，交圓于點,在直線上取一 點,使到直線的距離等于,求當這條直線繞原點旋轉時點 的軌跡。解：設該直線的方程為，t為參數(shù)，為直線的傾斜角把直線方程代入圓方程，得即 根據(jù)公式一，可得 ， 可設點坐標為，起對應的參數(shù)

8、值為t，則有， 因為,所以易知，點到直線的距離是，即; 由題意有 = 等式兩邊同時平方，化簡后得解得 或 當時，軌跡的一支為； 當時，從而得另一支軌跡 即；因此所求軌跡系是由圓和直線組成。評注：遇到此類題目，考慮運用直線的參數(shù)方程先把弦長求出來， 在根據(jù)題意建立相關等式，根據(jù)等式消元化簡得出結果，本 題的關鍵主要是建立等式=。2.1.4 運用直線的參數(shù)方程證明相關等式 運用直線的參數(shù)方程，根據(jù)參數(shù)t的幾何意義，我們可以得到一些 線段的數(shù)量關系，對證明一些幾何等式很有幫助。例5 設過點的直線交拋物線于B、C,求證： 證明：設過點的直線的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)，為直線的傾斜角） 因為直線與拋物線交

9、B、C兩點，故。 把直線參數(shù)方程代入拋物線方程，整理后得 設為兩根，即點B、C的對應參數(shù)值，根據(jù)韋達定理得; 根據(jù)參數(shù)t的幾何意義有AB=，AC=，所以 評注：在證明一些相關等式問題時，引用直線的參數(shù)方程輔助證明， 會讓證明思路更加清晰易懂，在證明過程中根據(jù)參數(shù)t的幾何 意義，用參數(shù)t去替換其它變量，把所要證的等式化繁為簡。 2.2 在空間中用直線的參數(shù)方程解題 在空間中過點，方向向量為的直線的坐標式參數(shù)方程為 ，（t為參數(shù)） 直線標準方程為：。 2.2.1 用空間直線的參數(shù)方程求柱面和錐面方程 已知柱面、錐面的準線方程，可以根據(jù)母線的參數(shù)方程或者標準方程很方便的求出柱面或者錐面方程。例6 若

10、柱面的母線的方向向量，準線方程是 ，求柱面方程。 解：設為準線上任意一點，過點的母線的參數(shù)方程為 ，（為參數(shù)）即 代入準線方程得 消去參數(shù)t，可得到所求柱面方程評注：此題假設準線上任意一點，然后過此點寫出對應的參數(shù)方程， 通過參數(shù)t的引入便可變形代入相關方程，最終消去參數(shù)t得 到所求柱面方程。例7 已知錐面頂點為，準線為 ，求錐面的方程。 解：設為準線上任意一點，連接點與頂點的 母線為， 將它們的比值記為，得 ， （t為參數(shù)） 代入所滿足的方程 ，得消去t，由上式的第二式得 ，代入第一式，化簡整理后得錐面的一般方程為 評注：此題的關鍵是母線方程的表示，然后引入參數(shù)t，得到一個參數(shù)方程。 通過參

11、數(shù)t代入化簡得出所求的錐面方程。2.2.2 用空間直線的參數(shù)方程求空間軌跡 空間的點或者直線的軌跡的空間解析幾何的一個重要課題，是重點 也是難點，在求解過程中，通常非常復雜，但對于某些軌跡問題，運 用直線的參數(shù)方程去解決會相對簡單。例8 一直線分別交坐標面于三點A、B、C，當直線變動時，直線上的三定點A、B、C也分別在三個坐標面上變動，另外直線上有第四個點P，它與A、B、C三點的距離分別為、b、c。當直線按照這樣的規(guī)定（即保持A、B、C分別在三坐標面上變動），試求P點的軌跡。解：設點P的坐標為，直線的方向余弦為。則直線的參數(shù)方程為 ，（t為參數(shù)） 令，即的與面的交點A，根據(jù)t的幾何意義，則。

12、同理可得，。 由以上三式可得 所以P點軌跡方程為，是一個橢球面。 評注：通過運用直線的參數(shù)方程，然后根據(jù)t的幾何意義，用t去表示 點P的坐標，通過觀察代入某式子得出軌跡方程。2.2.3 用空間直線的參數(shù)方程求對稱點 運用空間直線的參數(shù)方程我們可以求出定點關于定平面、定直線對 稱的點的坐標。例9 求定點關于定平面的對稱點。 分析：1、可設對稱點為點； 2、點和點到平面的距離是相等的； 3、與平面是垂直的。 解：設是所求的對稱點，則平面到和的有向距離是等值異號，即 化簡后得 （1） 又的一組方向向量為，由于與平面 垂直，故有, (t為參數(shù)) 即， （2） 把（2）代入（1），得 解得， t= 代入（2），得，即所求的對稱點為。 評注：此題的關鍵是根據(jù)與平面垂直引入參數(shù)t，然后用參數(shù)t表示 其它未知量，通過代入求出參數(shù)t的值，所求的未知量也就相應 得出。 結語我們運用直線的參數(shù)方程對以上例題進行解答，在解題過程中，我們能體會到直線的參數(shù)方程的魅力所在，它使我們在解決某類問題時可以化繁為簡、容易理解。從中我們還發(fā)現(xiàn)直線參數(shù)方程的參數(shù)t和韋達定理的和諧統(tǒng)一，這會讓我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學中的一種美，從某種意義上說它是一種簡潔美，它讓我們在解題過程中更加簡單、更有效率。而且直線參數(shù)方程的加盟，為我們的解題帶來了無窮的想象空間和更為廣闊的解題思路，正是因為直線參數(shù)方程給我們帶來如此多的便捷和快樂，所