一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)與范例

1、第十四章 一次函數(shù)14.1 變量與函數(shù)1、變量與常量的意義在一個(gè)變化過(guò)程中，我們稱(chēng)數(shù)值發(fā)生變化的量為變量（variable）。數(shù)值始終不變的量為常量。友情提醒：在某一個(gè)變化過(guò)程中，變量、常量都可能有多個(gè)。常量可以是一個(gè)實(shí)數(shù)，也可以是一個(gè)代數(shù)式（數(shù)值始終保持不變）。例1、寫(xiě)出下列各問(wèn)題中所滿(mǎn)足的關(guān)系式，并指出各個(gè)關(guān)系式中，哪些量是變量，哪些量是常量？1、在一根彈簧的下端懸掛中重物，改變并記錄重物的質(zhì)量，觀(guān)察并記錄彈簧長(zhǎng)度的變化規(guī)律，如果彈簧原長(zhǎng)10cm，每1kg重物使彈簧伸長(zhǎng)0.5cm，怎樣用含重物質(zhì)量 m(單位：kg)的式子表示受力后彈簧長(zhǎng)度L（單位：cm）？2、用總長(zhǎng)為60m的籬笆圍成矩形場(chǎng)

2、地，求矩形的面積S（m2）與一邊長(zhǎng)x(m)之間的關(guān)系式；3、某種活期儲(chǔ)蓄的月利率為0.16%,存入10000元本金，按國(guó)家規(guī)定，取款時(shí)，應(yīng)繳納利息部分的20%的利息稅，求這種活期儲(chǔ)蓄扣除利息稅后實(shí)得的本息和y(元)與所存月數(shù)x之間的關(guān)系式.4、如圖，每個(gè)圖中是由若干個(gè)盆花組成的圖案，每條邊（包括兩個(gè)頂點(diǎn)）有n盆花，每個(gè)圖案的花盆總數(shù)是S，求S與n之間的關(guān)系式.2、函數(shù)的概念一般的，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有惟一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)。如果當(dāng)x=a時(shí)，y=b，那么b叫做當(dāng)自變量的值為a時(shí)的函數(shù)值。注意：1、對(duì)函數(shù)概念

3、的理解，主要應(yīng)該抓住以下三點(diǎn)：有兩個(gè)變量；一個(gè)變量的數(shù)值隨著另一個(gè)變量的數(shù)值變化而變化；自變量每確定一個(gè)值，函數(shù)有一個(gè)并且只有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)。2、函數(shù)不是數(shù),它是指某一變化過(guò)程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系。3、自身先改變的是自變量,隨之而變的是函數(shù)。例1、判斷下列變量之間是不是函數(shù)關(guān)系：（1）長(zhǎng)方形的寬一定時(shí)，其長(zhǎng)與面積；（2）等腰三角形的底邊長(zhǎng)與面積；（3）某人的年齡與身高。例2、一輛汽車(chē)的油箱中現(xiàn)有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛里程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1L/km。（1）寫(xiě)出表示y與x的函數(shù)關(guān)系式。（2）指出自變量x的取值范圍。（3）汽車(chē)行駛

4、200km時(shí)，油箱中還有多少汽油？解：（1）y=50-0.1x （2）0x500 （3）x=200, y=303、函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法為解析法、列表法和圖形法，這三種方法在解決問(wèn)題時(shí)是可以相互轉(zhuǎn)化的。解析法：把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系用一個(gè)等式來(lái)表示，該等式簡(jiǎn)稱(chēng)解析式優(yōu)點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系清楚，容易由自變量的值，求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值（反之也可），便于利用解析式來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)。列表法：列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系。如：銀行的利息表，三角函數(shù)表，平方根表。 優(yōu)點(diǎn)：不用計(jì)算，就可求出函數(shù)值。圖像法：用圖像表示兩變量之間的關(guān)系如：醫(yī)務(wù)室的身高圖，氣象臺(tái)的氣溫變化圖。我國(guó)人口出生率變化的曲線(xiàn)圖。優(yōu)點(diǎn)：形象直

5、觀(guān)地表示出函數(shù)的變化情況。例1 一水庫(kù)的水位在最近5消耗司內(nèi)持續(xù)上漲，下表記錄了這5個(gè)小時(shí)水位高度.由記錄表推出這5個(gè)小時(shí)中水位高度y(單位米)隨時(shí)間t （單位：時(shí)）變化的函數(shù)解析式，并畫(huà)出函數(shù)圖象；據(jù)估計(jì)這種上漲的情況還會(huì)持續(xù)2個(gè)小時(shí)，預(yù)測(cè)再過(guò)2個(gè)小時(shí)水位高度將達(dá)到多少米？解：（1）y=0.05t+10 (0t7)（2）當(dāng)t=5+2=7時(shí)，y=0.05t+10=10.35預(yù)計(jì)2小時(shí)后水位將達(dá)到10.35米。4、函數(shù)圖象的意義一般地，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象（graph）。例1 下面的圖象反映的過(guò)程

6、是小明從家去菜地澆水，有去玉米地鋤草，然后回家。其中x表示時(shí)間，y表示小名離家的距離。根據(jù)圖象回答問(wèn)題：菜地離小明家多遠(yuǎn)？小明走到菜地用了多少時(shí)間？；小明給菜地澆水用了多少時(shí)間？菜地離玉米地多遠(yuǎn)？小明從菜地到玉米地用了多少時(shí)間？小明給玉米鋤草用了多少時(shí)間？玉米地離小名家多遠(yuǎn)？小明從玉米地走回家的平均速度是多少？5、畫(huà)函數(shù)圖像的一般步驟1、列表: 2、描點(diǎn): 3、連線(xiàn):。6、函數(shù)自變量的取值范圍：【三招確定“函數(shù)自變量取值范圍”】一個(gè)函數(shù)關(guān)系式的自變量取值是有一定范圍的，自變量取值范圍必須使關(guān)系式或題中條件有意義。那么如何才能準(zhǔn)確地確定自變量的取值范圍呢?下面介紹三種方法:第一招: 必須使含自變

7、量的代數(shù)式有意義.解析式是整式時(shí),自變量取值范圍是全體實(shí)數(shù).例如:指出下列各函數(shù)的自變量取值范圍: y = x2-1 ；y = 3x -2； y =-5x . 解:這三個(gè)函數(shù)式中,右邊的式子都是含自變量x的整式，所以它們的自變量取值范圍是全體實(shí)數(shù)。解析式是分式時(shí),自變量的取值范圍是使分母不為0的實(shí)數(shù).例如: 確定下列函數(shù)的自變量取值范圍:y= ； y= ； y = 解：這三個(gè)函數(shù)式中，右邊的式子都是含自變量x的分式，所以分母不為零時(shí)，函數(shù)有意義。所以中的x0；中的x-1；中的x1且x-1解析式是偶次根式,自變量的取值范圍是被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù).例如：確定下列函數(shù)的自變量取值范圍:y=； y= ；

8、y = ； y=解： x2； 全體實(shí)數(shù) ； 即 x0且x1； 全體實(shí)數(shù)含有零指數(shù)、負(fù)整指數(shù)冪的函數(shù),自變量的取值范圍是使底數(shù)不為零的實(shí)數(shù).例如：確定下列函數(shù)的自變量取值范圍: y= ； y= 解： x-20， x2 ; 即x-1且x0第二招:必須使實(shí)際問(wèn)題有意義. 例如：一輛汽車(chē)的油箱中有汽油40升，該車(chē)每千米油耗為0.4升，請(qǐng)寫(xiě)出油箱剩余油量Q（升）與行駛路程s（千米）之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量取值范圍。解：Q = 40 -0.4s 0s10自變量取值范圍為0s10第三招:必須使圖形存在.例1：A、B、C、D四個(gè)人做游戲A、B、C三人站在三個(gè)不同的點(diǎn)上構(gòu)成一個(gè)三角形且BAC=40

9、6;，D在A(yíng)BC內(nèi)部移動(dòng)，但不能超越ABC。則D與B、C構(gòu)成一個(gè)三角形，則BDC的度數(shù)的取值范圍是_. 解:40°BDC180°例2 :已知等腰三角形的周長(zhǎng)為20cm， 請(qǐng)寫(xiě)出底邊長(zhǎng)y（cm）與腰長(zhǎng)x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍。解：y= 20- 2x 5 x10 例3：已知等腰直角ABC的直角邊長(zhǎng)與正方形MNPQ的邊長(zhǎng)均為20厘米,AC與MN在同一直線(xiàn)上,開(kāi)始時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)N重合.讓ABC以每秒2厘米的速度向左運(yùn)動(dòng),最終點(diǎn)A與點(diǎn)M重合,則重疊三角形部分的面積y(cm2)與時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi).自變量t 的取值范圍是_.分析:在移動(dòng)的過(guò)程中,重

10、合部分的三角形也為等腰直角三角形AN=2t , 則MA= 20-2t, 所以解析式可求.由0MA20可確定自變量取值范圍解: y= , 自變量t 的取值范圍是0t10 14.2一次函數(shù)1、正比例函數(shù)一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)例1、寫(xiě)出下列函數(shù)的關(guān)系式。（）圓的周長(zhǎng)L隨半徑r的大小變化而變化。（）鐵的密度為78g/cm3鐵塊的質(zhì)量m（g）隨它的體積V（cm3）的大小變化而變化。（）每個(gè)練習(xí)本的厚度為05cm一些練習(xí)本摞在一些的總厚度h（cm）隨這些練習(xí)本的本數(shù)n的變化而變化。（）冷凍一個(gè)0的物體，使它每分鐘下降2物體的溫度（）隨冷凍時(shí)間t（分

11、）的變化而變化。2、正比例函數(shù)解析式與圖象特征之間的規(guī)律：正比例函數(shù)y=kx（k是常數(shù)，k0）的圖象是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)，我們稱(chēng)它為直線(xiàn)y=kx當(dāng)K>0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當(dāng)k<0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小。經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)（1，k）的直線(xiàn)是函數(shù)y=kx的圖象畫(huà)正比例函數(shù)圖象時(shí)，只需在原點(diǎn)外再確定一個(gè)點(diǎn)，即找出一組滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式的對(duì)應(yīng)數(shù)值即可，如（1，k），因?yàn)閮牲c(diǎn)可以確定一條直線(xiàn)。例2、汽車(chē)由天津駛往相距120千米的北京，（千米）表示汽車(chē)離開(kāi)天津的距離，t（小時(shí)）表示汽車(chē)行駛的時(shí)間。如圖所示 汽車(chē)用幾小時(shí)可到達(dá)北

12、京？速度是多少？ 汽車(chē)行駛小時(shí)，離開(kāi)天津有多遠(yuǎn)？ 當(dāng)汽車(chē)距北京20千米時(shí)，汽車(chē)出發(fā)了多長(zhǎng)時(shí)間？ 解法一：用圖象解答： 從圖上可以看出4個(gè)小時(shí)可到達(dá) 速度=30（千米時(shí)） 行駛小時(shí)離開(kāi)天津約為30千米 當(dāng)汽車(chē)距北京20千米時(shí)汽車(chē)出發(fā)了約33個(gè)小時(shí) 解法二：用解析式來(lái)解答： 由圖象可知：與t是正比例關(guān)系，設(shè)S=kt，當(dāng)t=4時(shí)S=120 即120=k×4 k=30S=30t 當(dāng)t=1時(shí) S=30×1=30（千米） 當(dāng)S=100時(shí) 100=30t t=（小時(shí)） 以上兩種方法比較，用圖象法解題直觀(guān)，用解析式解題準(zhǔn)確，各有優(yōu)特點(diǎn)3、一次函數(shù)的意義一般地，形如y=kx+b（k、b是常數(shù)

13、，k0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)當(dāng)b=0時(shí)，y=kx+b即y=kx所以說(shuō)正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)例、下列函數(shù)中哪些是一次函數(shù)，哪些又是正比例函數(shù)？（1）y=-8x （2）y= （3）y=5x2+6 （4）y=-05x-1例、一個(gè)小球由靜止開(kāi)始在一個(gè)斜坡向下滾動(dòng)，其速度每秒增加米（1）一個(gè)小球速度v隨時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系它是一次函數(shù)嗎？（2）求第25秒時(shí)小球的速度例、汽車(chē)油箱中原有油50升，如果行駛中每小時(shí)用油5升，求油箱中的油量y（升）隨行駛時(shí)間x（時(shí)）變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍y是x的一次函數(shù)嗎？解答：（1）（4）是一次函數(shù)；（1）又是正比例函數(shù)（1）v=2t，它是一次函數(shù)

14、（2）當(dāng)t=25時(shí)，v2×25=5所以第25秒時(shí)小球速度為5米秒函數(shù)解析式：y=50-5x自變量取值范圍：0x10y是x的一次函數(shù)4、一次函數(shù)的性質(zhì)一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線(xiàn)，我們稱(chēng)它為直線(xiàn)y=kx+b，它可以看作由直線(xiàn)y=kx平移b的絕對(duì)值個(gè)單位長(zhǎng)度而得到（當(dāng)b0時(shí)，向上平移；當(dāng)b 0時(shí)，向下平移）。規(guī)律：當(dāng)k>0時(shí)，直線(xiàn)y=kx+b由左至右上升；當(dāng)k<0時(shí)，直線(xiàn)y=kx+b由左至右下降性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，y隨x增大而增大當(dāng)k<0時(shí)，y隨x增大而減小b決定直線(xiàn)y=kx+b與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)（0，b）當(dāng)b>0時(shí)，交點(diǎn)在原點(diǎn)上方當(dāng)b=0時(shí)，交點(diǎn)即原點(diǎn)

15、當(dāng)b<0時(shí)，交點(diǎn)在原點(diǎn)下方例直線(xiàn)y=2x-3與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)，圖象經(jīng)過(guò)第_象限，y隨x增大而_例分別說(shuō)出滿(mǎn)足下列條件的一次函數(shù)的圖象過(guò)哪幾個(gè)象限？（1）k>0 b>0 （2）k>0 b<0 （3）k<0 b>0 （4）k<0 b<0解答：（15，0） （0，-3） 三、四、一 增大（1）三、二、一 （2）三、四、一 （3）二、一、四 （4）二、三、四例3、若函數(shù)y=mx-（4m-4）的圖象過(guò)原點(diǎn)，則m=_，此時(shí)函數(shù)是_函數(shù)若函數(shù)y=mx-（4m-4）的圖象經(jīng)過(guò)（1，3）點(diǎn)，則m=_，此時(shí)函數(shù)是_函數(shù)例4、若一次函數(shù)y=

16、（1-2m）x+3圖象經(jīng)過(guò)A（x1、y1）、B（x2、y2）兩點(diǎn)當(dāng)x1< x2時(shí)，y1> y2，則m的取值范圍是什么？答案：例31 正比例 一次 例4解：當(dāng)x1<x2時(shí)，y1>y2，y隨x增大而減小據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)可知：只有當(dāng)k<0時(shí)，y隨x增大而減小 故1-2m<0 m>.b=0k > 0經(jīng)過(guò)一、三象限y隨x的增大而增大k < 0經(jīng)過(guò)二、四象限y隨x的增大而減小b>0k > 0經(jīng)過(guò)一、二、三象限y隨x的增大而增大k < 0經(jīng)過(guò)一、二、四象限y隨x的增大而減小b<0k > 0經(jīng)過(guò)一、三、四象限y隨x的增大而增大k

17、 < 0經(jīng)過(guò)二、三、四象限y隨x的增大而減小5、確定一次函數(shù)的解析式待定系數(shù)法先設(shè)待求函數(shù)關(guān)系式（其中含有未知常數(shù)系數(shù)），再根據(jù)條件列出方程或方程組，求出未知系數(shù)，從而得到所求結(jié)果的方法，叫做待定系數(shù)法。 例1、已知一次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（3，5）與（-4，-9），求這個(gè)一次函數(shù)的解析式分析：求一次函數(shù)解析式，關(guān)鍵是求出k、b值因?yàn)閳D象經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)，所以這兩點(diǎn)坐標(biāo)必適合解析式由此可列出關(guān)于k、b的二元一次方程組，解之可得設(shè)這個(gè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b因?yàn)閥=k+b的圖象過(guò)點(diǎn)（3，5）與（-4，-9），所以解之，得故這個(gè)一次函數(shù)解析式為y=2x-1。結(jié)論：用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)y=kx+b的

18、解析式的一般步驟是：(l)設(shè)所求函數(shù)解析式的一般式. (2)將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于k、b的方程或方程組. (3)解所建立的方程及方程組(4)將所求出的k、b代人一般式，求出解析式.例1. 已知一次函數(shù)y=3x-b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,1),則該函數(shù)圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)( )A.(-1,1) B.(2,2) C.(-2,2) D.(2,-2)2. 若一次函數(shù)y=2x+b的圖像與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是9，求 b的值3點(diǎn)M（-2，k）在直線(xiàn)y=2x+1上，求點(diǎn)M到x軸的距離d為多少?一次函數(shù)(三)例1 小芳以200米分的速度起跑后，先勻加速跑5分鐘，每分提高速度20米分，又勻速跑10分鐘試寫(xiě)出這段時(shí)間里她跑

19、步速度y（米分）隨跑步時(shí)間x（分）變化的函數(shù)關(guān)系式，并畫(huà)出圖象分析：本題y隨x變化的規(guī)律分成兩段：前5分鐘與后10分鐘寫(xiě)y隨x變化函數(shù)關(guān)系式時(shí)要分成兩部分畫(huà)圖象時(shí)也要分成兩段來(lái)畫(huà)，且要注意各自變量的取值范圍解：y=我們把這種函數(shù)叫做分段函數(shù)在解決分析函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學(xué)合理，又要符合實(shí)際例2 城有肥料200噸，城有肥料300噸，現(xiàn)要把這些肥料全部運(yùn)往、兩鄉(xiāng)從城往、兩鄉(xiāng)運(yùn)肥料費(fèi)用分別為每噸20元和25元；從城往、兩鄉(xiāng)運(yùn)肥料費(fèi)用分別為每噸15元和24元現(xiàn)鄉(xiāng)需要肥料240噸，鄉(xiāng)需要肥料260噸怎樣調(diào)運(yùn)總運(yùn)費(fèi)最少？通過(guò)分析思考，可以發(fā)現(xiàn)：，運(yùn)肥料共涉及4個(gè)變量它們都是影

20、響總運(yùn)費(fèi)的變量然而它們之間又有一定的必然聯(lián)系，只要確定其中一個(gè)量，其余三個(gè)量也就隨之確定這樣我們就可以設(shè)其中一個(gè)變量為x，把其他變量用含x的代數(shù)式表示出來(lái)： 若設(shè)x噸，則： 由于城有肥料200噸：，200x噸 由于鄉(xiāng)需要240噸：，240x噸 由于鄉(xiāng)需要260噸：，260200+x噸 那么，各運(yùn)輸費(fèi)用為： 20x 25（200-x） 15（240-x） 24（60+x） 若總運(yùn)輸費(fèi)用為y的話(huà)，y與x關(guān)系為：y=20x+25（200-x）+15（240-x）+24（60+x） 化簡(jiǎn)得：y=40x+10040 （0x200）由解析式或圖象都可看出，當(dāng)x=0時(shí)，y值最小，為10040因此，從城運(yùn)往鄉(xiāng)

21、0噸，運(yùn)往鄉(xiāng)200噸；從城運(yùn)往鄉(xiāng)240噸，運(yùn)往鄉(xiāng)60噸此時(shí)總運(yùn)費(fèi)最少，為10040元若城有肥料300噸，城200噸，其他條件不變，又該怎樣調(diào)運(yùn)呢？解題方法與思路不變，只是過(guò)程有所不同： x噸 300-x噸 240-x噸 x-40噸反映總運(yùn)費(fèi)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=20x+25（300-x）+15（240-x）+24（x-40）化簡(jiǎn)：y=4x+10140 （40x300）由解析式可知：當(dāng)x=40時(shí) y值最小為：y=4×40+10140=10300因此從城運(yùn)往鄉(xiāng)40噸，運(yùn)往鄉(xiāng)260噸；從城運(yùn)往鄉(xiāng)200噸，運(yùn)往鄉(xiāng)0噸此時(shí)總運(yùn)費(fèi)最小值為10300噸如何確定自變量x的取值范圍是40x300的

22、呢？由于城運(yùn)往鄉(xiāng)代數(shù)式為x-40噸，實(shí)際運(yùn)費(fèi)中不可能是負(fù)數(shù)，而且城中只有300噸肥料，也不可能超過(guò)300噸，所以x取值應(yīng)在40噸到300噸之間總結(jié):解決含有多個(gè)變量的問(wèn)題時(shí)，可以分析這些變量間的關(guān)系，選取其中某個(gè)變量作為自變量，然后根據(jù)問(wèn)題條件尋求可以反映實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)這樣就可以利用函數(shù)知識(shí)來(lái)解決了14.3用函數(shù)觀(guān)點(diǎn)方程（組）與不等式 1、一次函數(shù)與一元一次方程由于任何一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為kx+b=0（k、b為常數(shù)，k0）的形式所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)一次函數(shù)值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值 從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線(xiàn)y=kx+b確定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值例1 一個(gè)物體現(xiàn)在的速度是5m/s，其速度每秒