二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)題

1、1 / 9二次函數(shù)二次函數(shù)考點(diǎn)考點(diǎn) 1 1、二次函數(shù)的概念概念定義：一般地，如果是常數(shù)，那么叫做的二次函數(shù).cbacbxaxy,(2)0ayx注意：注意：（1）二次函數(shù)是關(guān)于自變量 x 的二次式，二次項(xiàng)系數(shù) a 必須為非零實(shí)數(shù)，即a0，而 b、c 為任意實(shí)數(shù)。（2）當(dāng) b=c=0 時(shí)，二次函數(shù)是最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)。2axy （3）二次函數(shù)是常數(shù)，自變量的取值為全體實(shí)數(shù) （cbacbxaxy,(2)0a為整式）cbxax2例 1： 函數(shù) y=（m2）x22m2x1 是二次函數(shù)，則 m= _例 2：已知函數(shù) y=ax2bxc（其中 a，b，c 是常數(shù)） ，當(dāng) a_時(shí)，是二次函數(shù)；當(dāng)a_，b_時(shí)，是一

2、次函數(shù)；當(dāng) a_，b_，c_時(shí)，是正比例函數(shù)例 3：函數(shù) y=（mn）x2mxn 是二次函數(shù)的條件是（ ）Am、n 為常數(shù)，且 m0Bm、n 為常數(shù)，且 mnCm、n 為常數(shù)，且 n0Dm、n 可以為任何常數(shù)例 4： 下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有（ ）y=x；y=3（x1）22；y=（x3）22x2；y=xx12x1A1 個(gè) B2 個(gè) C3 個(gè) D4 個(gè)考點(diǎn)考點(diǎn) 2 2、三種函數(shù)解析式解析式：（1）一般式： y=ax2+bx+c（a0） ， 對(duì)稱軸：直線 x= 頂點(diǎn)坐標(biāo)：( ) ab2abacab4422，（2）頂點(diǎn)式：（a0） ， khxay2對(duì)稱軸：直線 x= 頂點(diǎn)坐標(biāo)為（, ）hh k（3）

3、交點(diǎn)式：y=a（x-x1） （x-x2） （a0）, 對(duì)稱軸:直線 x=22x1x(其中 x1、x2 是二次函數(shù)與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)).例 1：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_；對(duì)稱軸是_。822xxy例 2：二次函數(shù) y=-4（1+2x） （x-3）的一般形式是_例 3：已知函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，則 m_；2)(22xmmmxy例 4：拋物線 y=x2-4x+3 與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是_.例 5：把方程 x(x+2)=5(x-2)化為一元二次方程的一般形式后a=_,b=_,c=_.考點(diǎn)考點(diǎn) 3 3、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或

4、三對(duì)、的值，通常選擇一般式.cbxaxy2xy（2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最值，通常選擇頂點(diǎn)式.khxay2（3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：x1x2x.21xxxxay例 1：一個(gè)二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，1） ，形狀與拋物線 y=2x2相同，這個(gè)函數(shù)解析式為_例 2：已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1） ，且過(guò)點(diǎn)（1，2） ，求拋物線的解析式。2 / 9例 3：已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)（0，1） ， （2，1）和（3，4） ，求該二次函數(shù)的解析式。例 4：已知二次函數(shù)的圖像與 x 軸的 2 個(gè)交點(diǎn)為（1，0） ， （2，0） ，并且過(guò)（3，4） ，求該二次

5、函數(shù)的解析式?？键c(diǎn)考點(diǎn) 4.4.二次函數(shù)的圖象二次函數(shù)的圖象1、二次函數(shù) 的圖像是對(duì)稱軸平行于（包括重合）軸的拋物線.cbxaxy2y2、二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；2axy kaxy2；.2hxaykhxay2cbxaxy2注：二次函數(shù)的圖象可以通過(guò)拋物線的平移得到3、二次函數(shù)的圖像的畫法 cbxaxy2因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖像是拋物線，是軸對(duì)稱圖形，所以作圖時(shí)步驟是： (1)先找出頂點(diǎn)坐標(biāo)，畫出對(duì)稱軸； (2)找出拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸的四個(gè)點(diǎn)(如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)； (3)把上述五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來(lái).典型例題：例 1：函數(shù) y=x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_若點(diǎn)（a，4）在

6、其圖象上，則 a 的值是_例 2：若點(diǎn) A（3，m）是拋物線 y=x2上一點(diǎn)，則 m= _例 3：函數(shù) y=x2與 y=x2的圖象關(guān)于_對(duì)稱，也可以認(rèn)為 y=x2，是函數(shù)y=x2的圖象繞_旋轉(zhuǎn)得到例 4：若二次函數(shù) y=ax2（a0） ，圖象過(guò)點(diǎn) P（2，8） ，則函數(shù)表達(dá)式為_例 5：函數(shù) y=x2的圖象的對(duì)稱軸為_，與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為_，是函數(shù)的頂點(diǎn)例 7：若 a1，點(diǎn)（a1，y1） 、 （a，y2） 、 （a1，y3）都在函數(shù) y=x2的圖象上，判斷 y1、y2、y3 的大小關(guān)系？考點(diǎn)考點(diǎn) 5.5.二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)2axy （軸）0 xy（0,0

7、）kaxy2（軸）0 xy(0, )k2hxayhx (,0)hkhxay2當(dāng)時(shí)0a開口向上當(dāng)時(shí)0a開口向下hx (,)h k3 / 9cbxaxy2abx2()abacab4422，注：常用性質(zhì)：1、開口方向：當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù)開口方向向上；當(dāng) a0 時(shí)，在對(duì)稱軸左側(cè)，y 隨著 x 的增大而減少；在對(duì)稱軸右側(cè)，y 隨著 x 的增大而增大；當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù)有最小值，并且當(dāng) x= ， y 最小 ab2abac442當(dāng) a0 時(shí)，當(dāng) x 為何值時(shí)，y=0；當(dāng) x 為何值時(shí)，y0 時(shí)，函數(shù)開口方向向上；a當(dāng) a0，b0，c=0B. a0，b0，c=0C. a0，b0，c0，b0，c=0 例 2：在

8、同一直角坐標(biāo)系中，直線 y=ax+b 和拋物線的圖象只)0(2ccbxaxy可能是圖中的（ ）6 / 9例 3： 在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象只可能是圖中的（ axxybaxy22b和）例 4：拋物線的圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知，拋物線的解析式可能是（ ）A、y=x2-x-2 B、y=121212xC、y= D、y=121212xx22xx例 6：已知二次函數(shù) yax2bxc(a0)的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：a0.該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱. 1x 當(dāng)時(shí)，函數(shù) y 的值都等于 0.13xx 或其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）A3 B2C1D0考點(diǎn)考點(diǎn) 9 9、拋物線的平移、拋物線的平移方法：左加

9、右減，上加下減拋物線的平移實(shí)質(zhì)是頂點(diǎn)的平移，因?yàn)轫旤c(diǎn)決定拋物線的位置，所以，拋物線平移時(shí)首先化為頂點(diǎn)式【 【 (h0)【 【 【 (h0)【 【 【 (k0)【 【 【 (h0)【 【 【 (h0)【 【 【 (k0)【 【 【 【 (k0 時(shí)，拋物線有最低點(diǎn)，函數(shù)有最小值，當(dāng) x= ， y最小 ab2abac442當(dāng) a時(shí)，拋物線有最高點(diǎn)，函數(shù)有最大值，當(dāng) x= ， y最大 ab2abac442注：如果自變量 x 有取值范圍，則另當(dāng)別論。典型例題： 例 1： 拋物線的圖象開口_，對(duì)稱軸是_，頂點(diǎn)坐標(biāo)為_，當(dāng) x=_時(shí)，y 有最_值為_。例 2： 當(dāng) m=_時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸是_，在對(duì)

10、稱軸左側(cè)，y 隨 x 的增大而_，在對(duì)稱軸右側(cè)，y 隨 x 的增大而_。 例 4：二次函數(shù)的最小值是（ ）2) 1(2 xyA.2 （B）1 （C）-1 （D）-2例 2：拋物線 y=-x2+x+7 與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）例 3：拋物線 y=-3x2+2x-1 的圖象與 x 軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A沒(méi)有交點(diǎn) B只有一個(gè)交點(diǎn) C有且只有兩個(gè)交點(diǎn)D有且只有三個(gè)交點(diǎn)考點(diǎn)考點(diǎn) 1212、直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題、直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題（1）軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, ).ycbxaxy2c（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,yhx cbxaxy2h).cbhah2（3）拋物線與軸的交點(diǎn)x二次函

11、數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方cbxaxy2x1x2x程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的02cbxaxx8 / 9根的判別式判定：有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交；0 x有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）拋物線與軸相切；x0 x沒(méi)有交點(diǎn)拋物線與軸相離.0 x（4）平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)x同（3）一樣可能有 0 個(gè)交點(diǎn)、1 個(gè)交點(diǎn)、2 個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有 2 個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.kkcbxax2(5）一次函數(shù)的圖像 與二次函數(shù)的圖像的交0knkxyl02acbxaxyG點(diǎn)，由方程組 的解的數(shù)目來(lái)確定：方程組有兩組不同的解時(shí)與cbxaxynkxy2l有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解時(shí)與GlGl沒(méi)有交點(diǎn).G例 1：已知0a，在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)axy 與2axy 的圖象有可能是（）例 3：在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和函