拉氏變換及其計算機公式

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上時域的函數(shù)可以通過線性變換的方法在變換域中表示，變換域的表示有時更為簡捷、方便。例如控制理論中常用的拉普拉斯變換，簡稱拉氏變換，就是其中的一種。一、拉氏變換的定義已知時域函數(shù)，如果滿足相應的收斂條件，可以定義其拉氏變換為 (2-45)式中，稱為原函數(shù)，稱為象函數(shù)，變量為復變量，表示為(2-46)因為是復自變量的函數(shù)，所以是復變函數(shù)。有時，拉氏變換還經(jīng)常寫為 (2-47)拉氏變換有其逆運算，稱為拉氏反變換，表示為 (2-48)上式為復變函數(shù)積分，積分圍線為由到的閉曲線。二、常用信號的拉氏變換 系統(tǒng)分析中常用的時域信號有脈沖信號、階躍信號、正弦信號等。現(xiàn)復習一些基本時域信

2、號拉氏變換的求取。(1)單位脈沖信號 理想單位脈沖信號的數(shù)學表達式為 (2-49)且 (2-50)所以 (2-51)說明： 單位脈沖函數(shù)可以通過極限方法得到。設單個方波脈沖如圖2-13所示，脈沖的寬度為，脈沖的高度為，面積為1。當保持面積不變，方波脈沖的寬度趨于無窮小時，高度趨于無窮大，單個方波脈沖演變成理想的單位脈沖函數(shù)。在坐標圖上經(jīng)常將單位脈沖函數(shù)表示成單位高度的帶有箭頭的線段。由單位脈沖函數(shù)的定義可知，其面積積分的上下限是從到的。因此在求它的拉氏變換時，拉氏變換的積分下限也必須是。由此，特別指明拉氏變換定義式中的積分下限是,是有實際意義的。所以，關于拉氏變換的積分下限根據(jù)應用的實際情況有

3、，三種情況。為不丟掉信號中位于處可能存在的脈沖函數(shù)，積分下限應該為。 (2)單位階躍信號 單位階躍信號的數(shù)學表示為 (2-52) 又經(jīng)常寫為 (2-53)由拉氏變換的定義式，求得拉氏變換為 (2-54)因為 階躍信號的導數(shù)在處有脈沖函數(shù)存在，所以單位階躍信號的拉氏變換，其積分下限規(guī)定為。(3)單位斜坡信號單位斜坡信號的數(shù)學表示為 (2-55) 圖2-15單位斜坡信號 另外，為了表示信號的起始時刻，有時也經(jīng)常寫為 (2-56)為了得到單位斜坡信號的拉氏變換，利用分部積分公式 得 (2-57)(4)指數(shù)信號指數(shù)信號的數(shù)學表示為 (2-58)拉氏變換為 (2-59) (5)正弦、余弦信號 正弦、余弦

4、信號的拉氏變換可以利用指數(shù)信號的拉氏變換求得。由指數(shù)函數(shù)的拉氏變換，可以直接寫出復指數(shù)函數(shù)的拉氏變換為 (2-60)因為 (2-61)由歐拉公式 (2-62)有 (2-63)分別取復指數(shù)函數(shù)的實部變換與虛部變換，則有：正弦信號的拉氏變換為 (2-64)同時，余弦信號的拉氏變換為(2-65)常見時間信號的拉氏變換可以參見表2-1。表2-1常見函數(shù)的拉普拉斯變換表 三、拉氏變換的一些基本定理(1)線性定理 若函數(shù)的拉氏變換分別為，則 (2-66)(2)延遲定理 若函數(shù)的拉氏變換為，則 (2-67)信號與它在時間軸上的平移信號的關系見圖2-18所示。該定理說明了時間域的平移變換在復數(shù)域有相對應的衰減

5、變換。 應用延遲定理，可以簡化一些信號的拉氏變換的求取。 例2-9 周期鋸齒波信號如圖2-18所示，試求該信號的拉氏變換。 解：該信號為周期信號。因此，已知信號第一周期的拉氏變換為時，應用拉氏變換的延遲定理，得到周期信號的拉氏變換為 鋸齒波信號第一周期的拉氏變換為 所以，鋸齒波信號的拉氏變換為 (3)衰減定理 若函數(shù)的拉氏變換為，則 (2-68)該定理說明了時間信號在時間域的指數(shù)衰減，其拉氏變換在變換域就成為坐標平移。當時間函數(shù)帶有指數(shù)項因子時，利用拉氏變換的衰減定理，可以簡化其拉氏變換的求取計算。 例2-10 試求時間函數(shù)的拉氏變換。 解： 因為正弦函數(shù)的拉氏變換為 所以，應用拉氏變換的衰減

6、定理可以直接寫出 另外，衰減定理與延遲定理也表明了時間域與變換域的對偶關系。(4)微分定理 若函數(shù)的拉氏變換為，且的各階導數(shù)存在，則各階導數(shù)的拉氏變換為 (2-69)(2-70)(2-71)當所有的初值(各階導數(shù)的初值)均為零時，即 則 (2-72)(2-73) (2-74)證明：(在此只證明一階導數(shù)的拉氏變換，其余請讀者自證)由拉氏變換的定義式 利用分部積分公式 令 則 所以 證畢。(5)積分定理 若函數(shù)的拉氏變換為，則 (2-75)定理的證明同樣采用分部積分公式可以證得，請讀者自證。式中 為函數(shù)的在時刻的積分值。積分定理與微分定理互為逆定理。(6)初值定理 若函數(shù)的拉氏變換為，且在處有初值

7、，則 (2-76)即時域函數(shù)的初值，可以由變換域求得。證明 由微分定理令即可證得。 注意，拉氏變換的初值定理是滿足拉氏變換的定義的，因此由初值定理所求得的時間信號的初值為，而不是或者。例如階躍信號，可以利用拉氏變換的初值定理求得其初值為 (7)終值定理 若函數(shù)的拉氏變換為，且存在，則 (2-77)即時域函數(shù)的終值，也可以由變換域求得。證明：由微分定理 兩邊對取極限 因為，所以方程左邊方程右邊 所以 證畢。 (8)卷積定理若時域函數(shù)分別有拉氏變換，時域函數(shù)的卷積分為 (2-78)又常表示為 (2-79)則其拉氏變換為 (2-80)這表明時域函數(shù)卷積分在變換域成為變換域函數(shù)的乘積。證明可參考其他教

8、材。時域函數(shù)在變換域中表示有兩個優(yōu)點。一個優(yōu)點是簡化了函數(shù)，例如指數(shù)函數(shù)和正、余弦函數(shù)都是時域中的超越函數(shù)，在變換域中成為有理函數(shù)表示；另一個優(yōu)點是簡化了運算，如時域函數(shù)的卷積分在變換域中成為變換域函數(shù)的乘積。 常用的拉氏變換基本定理可以參見表2-2。表2-2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)表 四、拉普拉斯反變換 拉普拉斯變換將時域函數(shù)變換為復變函數(shù)，相應地它的逆運算可以將復變函 數(shù)變換回原時域函數(shù)。拉氏變換的逆運算稱為拉普拉斯反變換，簡稱拉氏反變換。由復變函數(shù)積分理論，拉氏反變換的計算公式為 (2-81)上式的拉氏反變換，由于是復變函數(shù)的積分，計算復雜，一般很少采用。所以已知反求時，通常采用的方法是

9、部分分式法。 由于工程中常見的時間信號，它的拉氏變換都是s的有理分式。因此，可以將分解為一系列的有理分式之和，再利用拉氏變換表確定出所有的有理分式項所對應的時域函數(shù)，合成時域函數(shù)。上述過程遵循的是拉氏變換的線性定理。 拉氏變換通常為s的有理分式，可以表為 (2-82) 式中，是分子多項式，是分母多項式，系數(shù)和均為實數(shù)，為正整數(shù)，而且。 在復變函數(shù)理論中，分母多項式所對應的方程，其所有的解 稱為的極點。這樣可以表示為 (2-83)由復變函數(shù)的留數(shù)定理，可以確定的各分式，求得拉氏反變換為 (2-84)下面分別討論各種計算情況。 1全部為單根 可以分解為 (2-85)其中 (2-86)為復變函數(shù)對于

10、極點的留數(shù)。則拉氏反變換為(2-87)例2-11 已知： ，求拉氏反變換。 解：將分解為部分分式 極點為：，則對應極點的留數(shù)為 則分解式為 查拉氏變換表可得 2有重根 只考慮一個單根情況，設為單根，為重根，則可以展開為 (2-88)式中，與單根相對應的系數(shù)的求法與前述相同。與重根相對應的各系數(shù)，由留數(shù)定理可得計算公式如下： (2-89) (2-90)因為 所以，拉氏反變換為 (2-91)例2-12 求的拉氏反變換。 解：可以分解為 系數(shù)C1，C2，分別對應單根，由前述單根情況計算為 系數(shù)分別對應二重根s3=-1 于是，的分解式為 查表求得拉氏反變換為 3A(s)=0有共軛復數(shù)根 時域函數(shù)有共軛

11、復數(shù)根時，可以將其作為單根(互不相同)來看待。但是在分解時，涉及到復數(shù)運算，計算繁瑣。拉氏變換中有如下的變換對： 上述變換對的分母都是共軛復數(shù)形式的二次三項式，相對應的反變換均為正余弦型。所以，除了可以按照單根情況計算外，還可以按照下述例題的計算步驟進行計算。 例2-13 已知，試求其拉氏反變換。解：因為分子多項式的次數(shù)與分母多項式的次數(shù)相等，必然存在常數(shù)項，而常數(shù)項的拉氏反變換為脈沖函數(shù)，所以有： 第一步，將分子多項式除以分母多項式，分離常數(shù)項為 第二步，將余式的二次三項式按照上述拉氏變換表整理為 第三步，寫出拉氏反變換。 因為 所以五、拉氏變換法求解微分方程 列出控制系統(tǒng)的微分方程之后，就

12、可以求解該微分方程，利用微分方程的解來分析系統(tǒng)的運動規(guī)律。微分方程的求解方法，可以采用數(shù)學分析的方法來求解，也可以采用拉氏變換法來求解。采用拉氏變換法求解微分方程是帶初值進行運算的，許多情況下應用更為方便。拉氏變換法求解微分方程步驟如下： (1)方程兩邊作拉氏變換。 (2)將給定的初始條件與輸入信號代入方程。 (3)寫出輸出量的拉氏變換。 (4)作拉氏反變換求出系統(tǒng)輸出的時間解。 例2-14 濾波電路如圖2-19所示，輸入電壓信號，電容的初始電壓分別為0V和1V時，分別求時域解。解：RC電路的微分方程為 方程兩邊作拉氏變換 由拉氏變換的線性定理得 由拉氏變換的微分定理得 將系統(tǒng)參數(shù)值帶入整理得

13、 輸出的拉氏變換為 （1）時，（2） 時， 拉氏變換及反變換公式1. 拉氏變換的基本性質(zhì)1線性定理齊次性疊加性2微分定理一般形式初始條件為0時3積分定理一般形式初始條件為0時4延遲定理（或稱域平移定理）5衰減定理（或稱域平移定理）6終值定理7初值定理8卷積定理2 常用函數(shù)的拉氏變換和z變換表序號 拉氏變換E(s)時間函數(shù)e(t)Z變換E(z)11(t)1234t5 67891011121314153 用查表法進行拉氏反變換用查表法進行拉氏反變換的關鍵在于將變換式進行部分分式展開，然后逐項查表進行反變換。設是的有理真分式 （）式中系數(shù)，都是實常數(shù)；是正整數(shù)。按代數(shù)定理可將展開為部分分式。分以下兩種情況討論。 無重根這時