分式知識(shí)點(diǎn)與典型例題

1、 分 式【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【主要公式】1.同分母加減法則:2.異分母加減法則:;3.分式的乘法與除法:,4.同底數(shù)冪的加減運(yùn)算法則:實(shí)際是合并同類項(xiàng)5.同底數(shù)冪的乘法與除法;am an =am+n; am an =amn6.積的乘方與冪的乘方:(ab)m= am bn , (am)n= amn7.負(fù)指數(shù)冪: a-p= a0=18.乘法公式與因式分解:平方差與完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b2 ;(ab)2= a22ab+b2一、考點(diǎn)、熱點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一：分式的定義一般地，如果A，B表示兩個(gè)整數(shù)，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A為分子，B為分母。知識(shí)點(diǎn)二：與分式有關(guān)的條件分式有意義：分母不

2、為0（）分式無(wú)意義：分母為0（）分式值為0：分子為0且分母不為0（）分式值為正或大于0：分子分母同號(hào)（或）分式值為負(fù)或小于0：分子分母異號(hào)（或）分式值為1：分子分母值相等（A=B）分式值為-1：分子分母值互為相反數(shù)（A+B=0）知識(shí)點(diǎn)三：分式的基本性質(zhì)分式的分子和分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。字母表示：，其中A、B、C是整式，C0。拓展：分式的符號(hào)法則：分式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變，即注意：在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，要注意C0這個(gè)限制條件和隱含條件B0。知識(shí)點(diǎn)四：分式的約分定義：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做

3、分式的約分。步驟：把分式分子分母因式分解，然后約去分子與分母的公因。注意：分式的分子與分母為單項(xiàng)式時(shí)可直接約分，約去分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)，然后約去分子分母相同因式的最低次冪。分子分母若為多項(xiàng)式，約分時(shí)先對(duì)分子分母進(jìn)行因式分解，再約分。知識(shí)點(diǎn)四：最簡(jiǎn)分式的定義一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式時(shí)，叫做最簡(jiǎn)分式。知識(shí)點(diǎn)五：分式的通分 分式的通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 分式的通分最主要的步驟是最簡(jiǎn)公分母的確定。最簡(jiǎn)公分母的定義：取各分母所有因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母。確定最簡(jiǎn)公分母的一般步驟： 取各

4、分母系數(shù)的最小公倍數(shù)； 單獨(dú)出現(xiàn)的字母（或含有字母的式子）的冪的因式連同它的指數(shù)作為一個(gè)因式； 相同字母（或含有字母的式子）的冪的因式取指數(shù)最大的。 保證凡出現(xiàn)的字母（或含有字母的式子）為底的冪的因式都要取。注意：分式的分母為多項(xiàng)式時(shí)，一般應(yīng)先因式分解。知識(shí)點(diǎn)六分式的四則運(yùn)算與分式的乘方 分式的乘除法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。式子表示為：分式除以分式：把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。式子表示為 分式的乘方：把分子、分母分別乘方。式子 分式的加減法則：同分母分式加減法：分母不變，把分子相加減。式子表示為異分母分式加減法：先通分，化為同分母的分式，

5、然后再加減。式子表示為整式與分式加減法：可以把整式當(dāng)作一個(gè)整數(shù)，整式前面是負(fù)號(hào)，要加括號(hào)，看作是分母為1的分式，再通分。 分式的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序先乘方、再乘除、后加減，同級(jí)運(yùn)算中，誰(shuí)在前先算誰(shuí)，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，也要注意靈活，提高解題質(zhì)量。注意：在運(yùn)算過(guò)程中，要明確每一步變形的目的和依據(jù)，注意解題的格式要規(guī)范，不要隨便跳步，以便查對(duì)有無(wú)錯(cuò)誤或分析出錯(cuò)的原因。加減后得出的結(jié)果一定要化成最簡(jiǎn)分式（或整式）。知識(shí)點(diǎn)六整數(shù)指數(shù)冪 引入負(fù)整數(shù)、零指數(shù)冪后，指數(shù)的取值范圍就推廣到了全體實(shí)數(shù)，并且正正整數(shù)冪的法則對(duì)對(duì)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪一樣適用。即 （） （） （） （任何不等于零的數(shù)

6、的零次冪都等于1）其中m，n均為整數(shù)?？茖W(xué)記數(shù)法若一個(gè)數(shù)x是0x10的數(shù)則可以表示為（，即a的整數(shù)部分只有一位，n為整數(shù)）的形式，n的確定n=比整數(shù)部分的數(shù)位的個(gè)數(shù)少1。如120 000 000=知識(shí)點(diǎn)七分式方程的解的步驟去分母，把方程兩邊同乘以各分母的最簡(jiǎn)公分母。（產(chǎn)生增根的過(guò)程）解整式方程，得到整式方程的解。檢驗(yàn)，把所得的整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母中：如果最簡(jiǎn)公分母為0，則原方程無(wú)解，這個(gè)未知數(shù)的值是原方程的增根；如果最簡(jiǎn)公分母不為0，則是原方程的解。產(chǎn)生增根的條件是：是得到的整式方程的解；代入最簡(jiǎn)公分母后值為0。知識(shí)點(diǎn)八列分式方程基本步驟 審仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系。 設(shè)合理設(shè)未知數(shù)。 列

7、根據(jù)等量關(guān)系列出方程（組）。 解解出方程（組）。注意檢驗(yàn) 答答題。二、典型例題（一）、分式定義及有關(guān)題型題型一：考查分式的定義【例1】下列代數(shù)式中：，是分式的有：.題型二：考查分式有意義的條件【例2】當(dāng)有何值時(shí)，下列分式有意義（1）（2）（3）（4）（5）題型三：考查分式的值為0的條件【例3】當(dāng)取何值時(shí)，下列分式的值為0. （1） （2）（3）題型四：考查分式的值為正、負(fù)的條件【例4】（1）當(dāng)為何值時(shí)，分式為正；（2）當(dāng)為何值時(shí)，分式為負(fù)；（3）當(dāng)為何值時(shí)，分式為非負(fù)數(shù).練習(xí)：1當(dāng)取何值時(shí)，下列分式有意義：（1）（2）（3）2當(dāng)為何值時(shí)，下列分式的值為零：（1）（2）3解下列不等式（1）（2）

8、（二）分式的基本性質(zhì)及有關(guān)題型1分式的基本性質(zhì)：2分式的變號(hào)法則：題型一：化分?jǐn)?shù)系數(shù)、小數(shù)系數(shù)為整數(shù)系數(shù)【例1】不改變分式的值，把分子、分母的系數(shù)化為整數(shù).（1）（2）題型二：分?jǐn)?shù)的系數(shù)變號(hào)【例2】不改變分式的值，把下列分式的分子、分母的首項(xiàng)的符號(hào)變?yōu)檎?hào).（1）（2）（3）題型三：化簡(jiǎn)求值題【例3】已知：，求的值.提示：整體代入，轉(zhuǎn)化出.【例4】已知：，求的值.【例5】若，求的值.練習(xí)：1不改變分式的值，把下列分式的分子、分母的系數(shù)化為整數(shù).（1）（2）2已知：，求的值. 3已知：，求的值.4若，求的值.5如果，試化簡(jiǎn).、（三）分式的運(yùn)算1確定最簡(jiǎn)公分母的方法：最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)

9、的最小公倍數(shù)；最簡(jiǎn)公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次冪.2確定最大公因式的方法：最大公因式的系數(shù)取分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)；取分子、分母相同的字母因式的最低次冪.題型一：通分【例1】將下列各式分別通分.（1）； （2）；（3）； （4）題型二：約分【例2】約分：（1）； （2）； （3）.題型三：分式的混合運(yùn)算【例3】計(jì)算：（1）；（2）； （3）；（4）；（5）； （6）；題型四：化簡(jiǎn)求值題【例4】先化簡(jiǎn)后求值（1）已知：，求分子的值；（2）已知：，求的值；（3）已知：，試求的值.題型五：求待定字母的值【例5】若，試求的值.練習(xí)：1計(jì)算（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；

10、（7）.2先化簡(jiǎn)后求值（1），其中滿足.（2）已知，求的值.3已知：，試求、的值.4當(dāng)為何整數(shù)時(shí)，代數(shù)式的值是整數(shù)，并求出這個(gè)整數(shù)值.（四）、整數(shù)指數(shù)冪與科學(xué)記數(shù)法題型一：運(yùn)用整數(shù)指數(shù)冪計(jì)算【例1】計(jì)算：（1）（2）（3）（4）題型二：化簡(jiǎn)求值題【例2】已知，求（1）的值；（2）求的值.題型三：科學(xué)記數(shù)法的計(jì)算【例3】計(jì)算：（1）；（2）.練習(xí)：1計(jì)算：（1）（2） （3）（4）2已知，求（1），（2）的值.第二講 分式方程（一）分式方程題型分析題型一：用常規(guī)方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）；（2）；（3）；（4）提示易出錯(cuò)點(diǎn)：分子不添括號(hào)漏乘整數(shù)項(xiàng)；約去相同因式至使漏根；忘記驗(yàn)根.

11、題型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程（1）； （2）提示：（1）換元法，設(shè)；（2）裂項(xiàng)法，.【例3】解下列方程組題型三：求待定字母的值【例4】若關(guān)于的分式方程有增根，求的值.【例5】若分式方程的解是正數(shù)，求的取值范圍.提示：且，且.題型四：解含有字母系數(shù)的方程【例6】解關(guān)于的方程提示：（1）是已知數(shù)；（2）.題型五：列分式方程解應(yīng)用題練習(xí)：1解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）（5）（6）（7）2解關(guān)于的方程：（1）；（2）.3如果解關(guān)于的方程會(huì)產(chǎn)生增根，求的值.4當(dāng)為何值時(shí)，關(guān)于的方程的解為非負(fù)數(shù).5已知關(guān)于的分式方程無(wú)解，試求的值.（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把

12、分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，通常的方法是去分母，并且要檢驗(yàn)，但對(duì)一些特殊的分式方程，可根據(jù)其特征，采取靈活的方法求解，現(xiàn)舉例如下：一、交叉相乘法例1解方程：二、化歸法例2解方程：三、左邊通分法例3：解方程：四、分子對(duì)等法例4解方程：五、觀察比較法例5解方程：六、分離常數(shù)法例6解方程：七、分組通分法例7解方程：（三）分式方程求待定字母值的方法 例1若分式方程無(wú)解，求的值。例2若關(guān)于的方程不會(huì)產(chǎn)生增根，求的值。例3若關(guān)于分式方程有增根，求的值。例4若關(guān)于的方程有增根，求的值。三、課后練習(xí)一、分式1、分式概念1.各式中，x+y, , ,4xy , , 分式的個(gè)數(shù)有（ ） A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D

13、、4個(gè)2在，中，是分式的有 （ ）A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)3、下列各式：，中，是分式的共有（）A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)2、分式有意義（1）當(dāng)x_時(shí)，分式有意義；（2）當(dāng)x _ 時(shí)，分式有意義；（3）分式中，當(dāng)時(shí)，分式?jīng)]有意義，當(dāng)時(shí)，分式的值為零；（4）當(dāng)x_ 時(shí)，分式有意義。（5）當(dāng)時(shí)，分式無(wú)意義；（6） 當(dāng)時(shí)，分式無(wú)意義（7）當(dāng)為任意實(shí)數(shù)時(shí)，下列分式一定有意義的是（ ）A. B. C. D. （8）. 能使分式的值為零的所有的值是（ ） A B C 或 D或（9）已知當(dāng)時(shí)，分式 無(wú)意義，時(shí)，此分式的值為0，則的值等于（ ） A6 B2 C6 D24、分式的基本性質(zhì)

14、1如果把中的x和y都擴(kuò)大5倍，那么分式的值（ ）A擴(kuò)大5倍 B不變 C縮小5倍 D擴(kuò)大4倍2、若x、y的值均擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則下列分式的值保持不變的是（）A、 B、 C、 D、3.填空： ； ; = =；4不改變分式的值，使分式的分子分母各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)，結(jié)果是5、下列各式中，正確的是（ ） AB=0CD5、約分1、把下列各式分解因式（12分）（1）ab+b (2)2a-2ab (3)-x+9 (4)2a-8a+8a2、 約分（16分）（1） (2) (3) (4) 3、 約分（1）=；（2）=；4、化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A、 B、 C、 D、6、最簡(jiǎn)公分母1在解分式方程：2的過(guò)程中，去分母時(shí)，

15、需方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母是_.2、分式的最簡(jiǎn)公分母為。8、通分1已知，等于（ ） A、 B、 C、 D、2化簡(jiǎn) （ ）A、 B、 C、 D、3、計(jì)算的正確結(jié)果是（）A、0 B、 C、 D、9、分式的混合運(yùn)算1. （11分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x=22.（本題6分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x=3、（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中：x=2。10、負(fù)指數(shù)冪與科學(xué)記數(shù)法1直接寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果：（1）（-3）-2； （2）；（3）； （4）2、用科學(xué)記數(shù)法表示0.000 501=3、一種細(xì)菌半徑是1.2110-5米,用小數(shù)表示為米。11、分式方程1若無(wú)解，則m的值是 （ ）A.2 B. 2 C. 3 D. 32解方程： （1） （2）1 （3）。13、分式方程應(yīng)用題19、（8分）甲打字員打9000個(gè)字所用的時(shí)間與乙打字員打7200個(gè)字所用的時(shí)間相同，已知甲、乙兩人每小時(shí)共打5400個(gè)字，問(wèn)甲、乙兩個(gè)打字員每小時(shí)各打多少個(gè)字？20、（10分）一名同學(xué)計(jì)劃步行30千米參觀博物館，因情況變化改騎自行車，且騎車的速度是步行速度的1.5倍，才能按要求提前2小時(shí)到達(dá)，求這位同學(xué)騎自行車的速度。22列方程解應(yīng)用題（本題7分）從甲地到乙地的路程是15千米，A騎自行車從甲地到乙地先走，40分