應用統(tǒng)計學教案第4章 抽樣推斷

1、應用統(tǒng)計學教案 張敏主編第4章 抽樣推斷教學內(nèi)容4.1 統(tǒng)計抽樣的一般問題4.2 抽樣推斷的相關基本概念4.3 參數(shù)估計4.4 抽樣誤差4.5 抽樣調(diào)查的組織方式及其誤差的計算4.6 樣本數(shù)目的確定4.7 Excel在參數(shù)估計中的應用教學要求1.理解不同種類抽樣推斷的基本原理； 2.理解統(tǒng)計量與統(tǒng)計分布、重置抽樣與非重置抽樣概念的內(nèi)涵；3.理解置信度與置信區(qū)間、抽樣實際誤差與平均誤差的區(qū)別和聯(lián)系；4.掌握不同類型抽樣的參數(shù)估計原理和方法；5.了解樣本數(shù)目確定的原理和方法。教學重點統(tǒng)計量與統(tǒng)計分布、重置抽樣和非重置抽樣的概念；抽樣平均誤差的計算；不同類型抽樣的參數(shù)估計原理和方法；樣本數(shù)目確定的原

2、理和方法教學難點抽樣平均誤差的計算；不同類型抽樣的參數(shù)估計原理和方法教學方法課堂講授、多媒體教學、課堂討論、案例分析、課堂練習、上機操作。課時數(shù)12課時（課堂講授9課時+課堂練習2課時+上機操作1課時）導入案例某品牌手機電池經(jīng)過技術改進，待機時間得以提高，從該工廠抽取一定數(shù)量的樣本，測得其平均待機時間，以此推斷該工廠生產(chǎn)的電池的待機時間。4.1 抽樣推斷的一般問題4.1.1抽樣推斷的概念及特點抽樣調(diào)查是一種非全面調(diào)查，它按照隨機的原則從總體中抽取部分樣本加以調(diào)查，目的是對總體相關信息進行推斷。抽樣調(diào)查是一種非全面調(diào)查，它按照隨機的原則從總體中抽取部分樣本加以調(diào)查，目的是對總體相關信息進行推斷。

3、抽樣推斷的主要特點如下。（1）按隨機原則抽取樣本。（2）根據(jù)部分推斷總體。（3）抽樣誤差可以估計和控制。4.1.2樣本選取方法樣本選取方法有：簡單隨機抽樣、類型抽樣、整群抽樣等抽樣方式問題與應用：統(tǒng)計研究經(jīng)常面對“大數(shù)據(jù)”，抽樣調(diào)查選取樣本可大大減少研究成本。因此，用恰當?shù)姆绞饺カ@取樣本是有效研究的前提。4.2 抽樣推斷的相關基本概念和理論4.2.1總和樣本總體是所要認識的研究對象的全體，是由所研究范圍內(nèi)具有某種共同性質的全體單位所組成的集合體，具有固定性。樣本是指在相同的條件下對總體X進行n次重復、獨立的觀測，將n次觀測結果按試驗的次序依次記為,，這樣得到的一組個體稱為來自總體X的一個簡單隨

4、機樣本，n為這個樣本的容量。4.2.2總體參數(shù)和樣本參數(shù)總體參數(shù)是指根據(jù)總體各個單位的標志值計算的，反映總體某種數(shù)量特征的綜合指標，也稱全及指標、總體指標。常用的總體參數(shù)有總體均值（或總體成數(shù)）、總體標準差（或總體方差）。樣本參數(shù)是指通過樣本各單位標志值計算，以此反映樣本數(shù)量特征的綜合指標，也被稱為樣本統(tǒng)計量。樣本參數(shù)是樣本各變量的函數(shù)，用來估計總體參數(shù)。常用的樣本參數(shù)有樣本均值（或樣本成數(shù)）、樣本離差（或樣本方差）。4.2.3大數(shù)定理和中心極限定理大數(shù)定理和中心極限定理是與統(tǒng)計學密切相關的重要數(shù)學定理，它們是抽樣推斷的數(shù)學理論基礎。4.2.4重置抽樣和非重置抽樣的概念重置抽樣是指從總體的N個

5、單位中抽取一個容量為n的樣本，每次抽出一個單位后，將所要研究的標志登記下來，再將其放回總體中參加下一次抽取，這樣連續(xù)進行n次抽取便得到一組包含n個單位的樣本。重置抽樣具有以下特點。（1）同一總體單位有可能被重復抽中。（2）每次都是從N個總體單位中抽取。（3）n次抽取就是n次相互獨立的隨機試驗。2. 非重置抽樣非重置抽樣是指將抽中的單位不再放回總體中，下一個樣本單位只能從余下的總體單位中抽取。樣本由n次連續(xù)抽取的結果組成，實質上相當于一次同時從總體中抽取n個單位。非重置抽樣具有以下特點。（1）同一總體單位不可能被重復抽中。（2）每次抽取是在不同數(shù)目的總體單位中進行的。（3）n次抽取可看作是n次互

6、不獨立的隨機試驗。對于上述兩種抽樣方式，在實際工作中，更多的是采用非重置抽樣，因為在經(jīng)濟工作的調(diào)查研究中，很難考慮到將已經(jīng)被抽中的單位再重置于總體中參加下一次抽取，即使同一個單位被連續(xù)抽中，也只是采用其一次的信息，否則將影響抽樣調(diào)查的結果。在統(tǒng)計學中，重置抽樣的意義更多在于，推斷統(tǒng)計所建立的隨機變量獨立同分布理論是從重置抽樣的角度出發(fā)的。4.3 參數(shù)估計參數(shù)估計就是以所計算的樣本指標來估計相應的總體指標。參數(shù)估計的標準包括：無偏性、有效性和一致性。4.3.1 點估計參數(shù)的點估計是指當總體參數(shù)不清楚時，用一個特定值（一般用樣本統(tǒng)計量）對其進行估計，稱為點估計。常用的點估計方法包括數(shù)字特征法、極大

7、似然估計法。數(shù)字特征法在參數(shù)估計中，如果直接用求得的樣本指標估計與之相應的總體指標，則這種方法就稱為數(shù)字特征法。如用樣本均值作為總體均值的估計量，則=；用樣本成數(shù)作為總體成數(shù)的估計量，則=；用樣本方差為總體方差的估計量，則=。例4.1 已知某班學生的身高X服從，其中，參數(shù)未知，現(xiàn)從該班學生中抽出6名學生作為樣本，他們的身高分別為165cm、168cm、173cm、173cm、175cm、180cm，求的估計值。解：由數(shù)字特征法可知=172.33（cm）4.3.2 區(qū)間估計區(qū)間估計就是根據(jù)樣本估計量以一定可靠程度推斷總體參數(shù)所在的區(qū)間范圍?？傮w均值的區(qū)間估計（1）已知方差的正態(tài)總體設樣本來自正態(tài)

8、總體，這里已知，總體均值未知，在此條件下，求總體均值的置信水平為的置信區(qū)間。設樣本均值為。因為總體，故，因此給定置信水平，查標準正態(tài)分布表，得臨界值（見圖4.1），使得，即（4.14）通過變形得（4.15）于是得到正態(tài)總體均值的置信水平為的置信區(qū)間（4.16）例4.3 某零部件生產(chǎn)廠家生產(chǎn)一種零部件，假設其質量為隨機變量X，服從正態(tài)分布，其中，為50?，F(xiàn)在從該廠生產(chǎn)的一批零部件中隨機地抽取30個產(chǎn)品進行測試，測得它們的平均質量為600kg。請計算該廠生產(chǎn)的這一批零部件的平均質量的置信水平為95%的置信區(qū)間。解：由已知條件可得，總體方差，樣本容量，樣本均值。置信水平為，查表可得。，因此該廠此批零

9、部件平均質量的95%的置信區(qū)間為(597.47,602.53)。（2）未知方差的正態(tài)總體在實際中，經(jīng)常會遇到總體方差未知的情況，用樣本方差來代替，即構造下述統(tǒng)計量給定置信水平，查t分布表，得臨界值，使得，即（4.17）通過變形得（4.18）于是得到正態(tài)總體均值的置信水平為的置信區(qū)間（4.19）例4.4 某生產(chǎn)廠家生產(chǎn)一種燈泡，假設其壽命為隨機變量X，服從正態(tài)分布，其中，未知?，F(xiàn)在從該廠生產(chǎn)的燈泡中隨機地抽取50個產(chǎn)品進行測試，直到燈泡壽命終止，測得它們的平均壽命為1200小時，樣本標準差為60小時。試計算，在置信水平為95%情況下，該廠此種燈泡平均壽命的置信區(qū)間。解：由已知條件可得，樣本標準差

10、，樣本容量，樣本均值。置信水平為，查表可得因此該廠此種燈泡平均壽命的95%的置信區(qū)間為(1183.37,1216.63)?？傮w成數(shù)的區(qū)間估計成數(shù)是指在總體中具有某一特征的個體占總體的比率。對總體中具有某一特征的個體所占的比率進行估計，即對總體成數(shù)的估計。在估計時，首先從總體中抽取容量為n的一組樣本，計算樣本成數(shù)，根據(jù)經(jīng)驗法則，當與均大于5時，近似服從正態(tài)分布。的置信水平為的置信區(qū)間為（4.22）例4.7 設要檢驗10000件某產(chǎn)品的質量，現(xiàn)隨機抽取100件，發(fā)現(xiàn)其中有25件廢品，要求用重置抽樣的方法以95%的置信度對該批產(chǎn)品的合格率進行區(qū)間估計。解：0.670.83于是得到10000件該產(chǎn)品合

11、格率的置信水平為95%的置信區(qū)間為(67%,83%)。4.4 抽樣誤差4.4.1 抽樣誤差的概念和影響因素概念：抽樣誤差是指用樣本指標推斷估計總體指標時，實際存在的絕對離差。影響因素：1. 總體各單位標志值的變異程度2. 樣本單位數(shù)的數(shù)量3. 抽樣方法4. 抽樣的組織形式4.4.2 抽樣誤差的度量原理在實際抽樣推斷中，由于各種隨機性和系統(tǒng)性因素的影響，推斷過程中常存在著誤差的困擾，誤差若過大，難免會影響抽樣推斷結果的客觀性，因此，對誤差的控制極其重要，而這涉及對抽樣誤差的度量。那么既然抽樣極限誤差無法直接求取，就只能通過抽樣的方式進行間接推斷，也即從若干抽樣樣本中求?。ɡ脴颖拘畔⑶笕《强傮w

12、信息）一個抽樣平均誤差，進而通過抽樣平均誤差去推導抽樣極限誤差。4.4.3 抽樣平均誤差 1. 抽樣平均誤差的概念抽樣平均誤差是根據(jù)隨機原則抽樣時，所有可能出現(xiàn)的樣本平均數(shù)的標準差。它反映的是樣本均值（樣本成數(shù)）與總體均值（總體成數(shù)）的平均誤差程度，常用表示。2. 抽樣平均誤差的兩種形式（1）在重置抽樣條件下，樣本平均誤差為（4.24）樣本成數(shù)誤差為（4.25）（2）在非重置抽樣條件下，樣本平均誤差為；（4.26）樣本成數(shù)誤差為（4.27）上述公式中，指總體標準差；N指總體單位數(shù)；n指樣本單位數(shù)；指樣本成數(shù)。例4.9 某公司出口一種名茶，規(guī)定每包規(guī)格質量不低于150克，現(xiàn)用簡單隨機抽樣方法抽取

13、其中1%進行檢驗，茶葉樣本質料如表4.2所示，試求平均抽樣誤差。表4.2 茶葉樣本資料每包質量 / 克包數(shù)14814910149150201501515015115220合 計100解：（克）（克）在重置抽樣條件下：（克）在非重置抽樣條件下：（克）4.4.4 抽樣極限誤差抽樣極限誤差又稱抽樣的允許誤差范圍，是指在一定的置信度下保證樣本指標與總體指標之間的抽樣誤差不超過某一給定的最大可能范圍，記作。1. 在總體服從正態(tài)分布且已知時統(tǒng)計量為給定置信水平，查標準正態(tài)分布表，得臨界值，使得，即通過變形得在此情況下，極限誤差可表示為（4.28）2. 在總體服從正態(tài)分布且未知時統(tǒng)計量為給定置信水平，查t分

14、布表，得臨界值， 在此情況下，極限誤差可表示為（4.29）在實際抽樣調(diào)查工作中，總體方差一般是未知的，故在本章我們只討論上述第二種情況。由此可得總體均值和總體成數(shù)的極限誤差表達式分如下。（1）總體均值的極限誤差表達式：（4.30）（2）總體成數(shù)的極限誤差表達式：（4.31）其中，t是指與置信度相對應的臨界值。4.5 抽樣方式及其誤差的計算4.5.1 簡單隨機抽樣1. 簡單隨機抽樣基本概念及特征對總體中的每一個單位，都按具有同等的互相獨立的被選中機會的方式進行抽樣（不對總體進行分組、排序等），這種抽樣方式就稱為簡單隨機抽樣。其基本表達式為：Nn（從N個總體單位中抽取n個樣本單位），可以分為重置抽

15、樣與非重置抽樣。2.簡單隨機抽樣下的總體參數(shù)區(qū)間估計的計算步驟（1）標志值條件下的計算步驟第一步，計算樣本均值。（4.33）第二步，計算抽樣平均誤差。（4.34）第三步，計算極限誤差。，其中（4.35）第四步，計算估計區(qū)間。(,)（4.36）例4.10 某學校進行了一次全校英語測試，為了了解考試情況，從參加測試的1000名學生中，隨機重復抽取了10%的成績進行調(diào)查，所得的分布數(shù)列如表4.3所示。表4.3 英語成績分布表測試成績 / 分60以下60707080809090以上學生數(shù)102022408試以95.45%的置信度求該校1000名學生英語平均成績的估計區(qū)間。解：先求出各組組中值，再按以下

16、步驟進行計算。第一步，計算樣本均值。第二步，計算抽樣平均誤差。第三步，計算極限誤差。由于置信度為95.45%，故臨界值=2。第四步，計算估計區(qū)間。置信區(qū)間為=(74.32,78.88)答：在95.45%的置信度下，該校學生英語測試的平均成績?yōu)?4.3278.88分。（2）成數(shù)條件下的計算步驟第一步，計算樣本均值。（4.37）其中，分母是指抽樣樣本數(shù)，分子是指樣本中符合某一要求的樣本數(shù)。第二步，計算抽樣平均誤差。，其中（4.38）第三步，計算極限誤差。，其中（4.39）第四步，計算估計區(qū)間。(,)（4.40）例4.11 根據(jù)表4.2所示的數(shù)據(jù)資料，試以95.45%的置信度求成績在80分以上學生所

17、占比重的估計區(qū)間。解：先求出各組組中值，再按以下步驟進行計算。第一步，計算樣本成數(shù)。第二步，計算抽樣平均誤差。第三步，計算極限誤差。由于置信度為95.45%，故臨界值t=2。第四步，計算估計區(qū)間。置信區(qū)間為=(0.38,0.58)答：在95.45%的置信度下，該校學生英語測試成績在80分以上學生的比重為38%58%。4.5.2 類型抽樣1. 類型抽樣基本概念及特征類型抽樣是指在對總體進行分組的基礎上，對所有各組分別按簡單隨機抽樣方式抽取樣本，通過對樣本指標進行計算，對總體參數(shù)進行推斷的一種抽樣方式。其表達式為2. 類型抽樣下的總體參數(shù)區(qū)間估計的計算步驟（1）標志值條件下的計算步驟第一步，計算樣

18、本均值。（4.41）其中，=1,2,，也即分組的個數(shù)。第二步，計算抽樣平均誤差。，（4.42）其中，是利用組內(nèi)方差求取的標準差，組內(nèi)方差， =1,2,n。第三步，計算極限誤差。，其中（4.43）第四步，計算估計區(qū)間。（，）（4.44）例4.12 現(xiàn)將某地區(qū)4000畝地按一定標準分為A、B、C這3種類型的地塊，從4000畝地塊按10%抽樣，獲得表4.4所示的資料。表4.4 三種類型地塊分布情況地塊總體 / 畝樣本 / 畝平均畝產(chǎn) / 千克畝產(chǎn)方差樣本中高產(chǎn)地塊畝數(shù)A100010010005020B150015012006080C150015011008060合計4000400160在95.45%

19、的置信度下，求4000畝地塊平均畝產(chǎn)的估計區(qū)間。解：第一步，計算樣本均值。第二步，計算抽樣平均誤差。=65第三步，計算極限誤差。第四步，計算估計區(qū)間。(,)=(1111.694,1113.306)答：在95.45%的置信度下，4000畝地塊的平均畝產(chǎn)在1111.6941113.306千克。（2）成數(shù)條件下的計算步驟第一步，計算樣本成數(shù)。（4.45）其中，分母是指抽樣樣本數(shù)，分子是指樣本中符合某一要求的樣本數(shù)。第二步，計算抽樣平均誤差。（4.46）其中，是利用組內(nèi)方差求取的標準差；組內(nèi)方差，=1,2,n。第三步，計算極限誤差。，其中（4.47）第四步，計算估計區(qū)間。(,)（4.48）例4.13

20、根據(jù)表4.3所示的數(shù)據(jù)資料，在99.73%的置信度下，求4000畝地塊中高產(chǎn)地塊所占比重的估計區(qū)間。解：第一步，計算樣本成數(shù)。第二步，計算抽樣平均誤差。=0.22第三步，計算極限誤差。第四步，計算估計區(qū)間。(,)=(0.33,0.47)答：在99.73%的置信度下，4000畝地塊中的高產(chǎn)地塊所占比重為33%47%。4.5.3 整群抽樣1. 整群抽樣基本概念及特征整群抽樣是指將總體劃分為若干個（互不相交又窮盡）群，然后對群進行抽樣并對選中的群進行全面分析的一種抽樣方式。分群標準要求：群間異質性低，群內(nèi)異質性高。其本質是以群為單位的簡單隨機抽樣。表達式為NRr，意思是全及總體共有個單位，可以分為R

21、個群體，再從R個群體中抽取r個樣本群體。2. 整群抽樣下總體參數(shù)區(qū)間估計的計算步驟（1）標志值條件下的計算步驟第一步，計算樣本均值。，（4.49）其中，=1,2,，也即分群的個數(shù)，而是指第個群內(nèi)部的個體數(shù)，是指第個群內(nèi)部所有個體某一指標值的總和。利用各群樣本均值計算所抽取的全部群體的樣本均值為（4.50）第二步，計算抽樣平均誤差。（4.51）其中，是利用組間方差求取的標準差。，=1,2,（4.52）第三步，計算極限誤差。，其中（4.53）第四步，計算估計區(qū)間。(,)（4.54）例4.14 從某公司所有車間中抽取3個車間，調(diào)查各車間內(nèi)部所有工人的月平均生產(chǎn)量，得到表4.5所示的資料。表4.5 工

22、人月平均生產(chǎn)量資料工人人數(shù)月平均生產(chǎn)量 / 件車間13020車間26035車間38040在95.45%的置信度下，試計算該公司所有車間全部工人的月平均生產(chǎn)量的估計區(qū)間。解：第一步，計算樣本均值。第二步，計算抽樣平均誤差。=51.38=0.55第三步，計算極限誤差。=1.1第四步，計算估計區(qū)間。(,)=(33.61,35.81)答：在95.45%的置信度下，該公司所有車間全部工人的月平均生產(chǎn)量為33.6135.81件。（2）成數(shù)條件下的計算步驟第一步，計算樣本成數(shù)。（4.55）其中，分母是指第個群內(nèi)部的個體數(shù)，分子是指第個群中符合某一要求的樣本數(shù)。第二步，計算抽樣平均誤差。（4.56）其中，為所

23、抽取到的各群個體數(shù)之和；為總體單位數(shù)是利用組間方差求取的標準差。，=1,2,n（4.57）第三步，計算極限誤差。，其中（4.58）第四步，計算估計區(qū)間。(,)（4.59）例4.15 某工廠大量連續(xù)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，為掌握該月份某種產(chǎn)品的一級品率，確定抽取5%的產(chǎn)品進行檢驗，即在全月連續(xù)生產(chǎn)的720小時中，每隔20小時抽取1小時生產(chǎn)的全部產(chǎn)品進行檢查，調(diào)查結果一級品率為80%，組間方差為7%，試以95%的置信度估計一級品率的置信區(qū)間。解：第一步，計算樣本成數(shù)。=80%第二步，計算抽樣平均誤差。其中，。第三步，計算極限誤差。第四步，計算估計區(qū)間。(,)=(71.6%,88.4%)答：以95%的置信度估

24、計一級品率的置信區(qū)間為(71.6%,88.4%)。4.6 樣本數(shù)目的確定在參數(shù)估計過程中，精度要求與可靠性要求常常相矛盾。當抽樣標準差保持不變時，極限誤差和臨界值之間呈現(xiàn)同一方向的變化。如果要提高精度，需以犧牲置信度為代價；要提高置信度，又要以犧牲估計精度為代價。在抽樣標準差不變的情況下，這個矛盾不可調(diào)和。但是，通過增加樣本容量有可以降低樣本均值的標準差，從而實現(xiàn)既保證一定的估計精度，又具有較高的置信度的目的。在抽樣調(diào)查中，需根據(jù)調(diào)查任務的要求采用以下公式確定樣本容量。 在重置抽樣條件下（4.60）例4.16 某廣告公司想估計某類商店去年所花廣告費的平均值，經(jīng)驗表明總體方差為1800000元。

25、若置信度F（1.96）=95，并要求估計值處在樣本均值附近500元的范圍內(nèi)，則該廣告公司應抽取多少商品作為樣本？解：，。該廣告公司應抽取28個商店作為樣本。4.7 Excel在參數(shù)估計中的應用4.7.1 總體均值的區(qū)間估計當總體方差未知且樣本容量大于30，即樣本為大樣本時，采用正態(tài)分布來構造總體均值的置信區(qū)間。根據(jù)中心極限定理，從非正態(tài)總體中抽樣時，只要能夠抽取大樣本，那么樣本均值的抽樣分布就會服從正態(tài)分布。因為總體方差未知，所以用樣本方差來代替。這時，總體均值在的置信水平下的置信區(qū)間為（4.62）這里可用Excel提供的CONFIDENCE.NORM函數(shù)來構建總體均值的置信區(qū)間，需用樣本方差

26、代替總體方差。4.7.2 實例應用1. 實例的數(shù)據(jù)描述例4.17 某保險公司從投保人中隨機抽取40人，每位投保人年齡如表4.6所示。已知投保人員年齡近似服從正態(tài)分布。試在95%的置信水平下對銷售部門的日均銷量進行區(qū)間估計。表4.6 某保險公司投保人員年齡樣本數(shù)據(jù) 單位：歲433449393653453223314238344440283635334654394436394839424845244334285027364745352. 實例的操作步驟（1）新建Excel工作簿，命名為“保險公司投保人員年齡的區(qū)間估計”，將相關文字和數(shù)據(jù)輸入工作表中，如圖4.3所示。（2）設置單元格格式，因為年齡為

27、離散型數(shù)據(jù)，因此需要將相應單元格格式設為整數(shù)。選中數(shù)據(jù)并右擊，在彈出的快捷菜單中選擇【設置單元格格式】命令，選擇“數(shù)字”選項卡，在“分類”列表中選擇“數(shù)值”選項，將“小數(shù)位數(shù)”設為0，表示要采取整數(shù)格式，最后單擊【確定】按鈕。（3）計算樣本均值。單擊單元格C3，輸入式“=AVERAGE(A2:A41)”，按Enter鍵即可得到抽取的40個樣本的平均年齡為39歲。（4）計算樣本標準差。單擊單元格C4，輸入“=STDEV.S(A2:A41)”，按Enter鍵即可得到抽取的40個樣本的年齡的標準差為7.66。（5）計算。該數(shù)值可采用“插入函數(shù)”法進行計算。單擊單元格C6，輸入“=”，依次選擇的【公式】【函數(shù)庫】