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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上5.6.證明:(1).如果是對稱正定矩陣,則也是對稱正定矩陣(2).如果是對稱正定矩陣,則可以唯一地寫成,其中是具有正對角元的下三角矩陣。證明:(1).因是對稱正定矩陣,故其特征值皆大于,因此的特征值也皆大于。因此也皆大于,故是可逆的。又則也是對稱正定矩陣。(2).由是對稱正定,故它的所有順序主子陣均不為零,從而有唯一的杜利特爾分解。又其中為對角矩陣,為上三角矩陣,于是由的對稱性,得由分解的唯一性得從而由的對稱正定性,如果設(shè)表示的各階順序主子式,則有,故因此,其中為對角元素為正的下三角矩陣。5.7.用列主元消去法解線性方程組并求出系數(shù)矩陣的行列式(即)的值。解所以解為
2、,。5.9.用追趕法解三對角方程組,其中,。解 設(shè)有分解,由公式其中,分別是系數(shù)矩陣的主對角元素及其下邊和上邊的次對角線元素。具體計算,可得,。由,得,;再由,得,。5.11.下述矩陣能否分解為(其中為單位下三角矩陣,為上三角矩陣)?若能分解,那么分解是否唯一?,。解 中,故不能分解。但由于,所以若交換的第1行與第3行,則可以分解且分解是唯一的。在中,故不能分解。但可以分解為,其中,為任意常數(shù),且奇異,故分解不唯一。對于,故可以分解且分解唯一。5.13.求證:(1).;(2).。證明 (1).由定義知故。(2).由范數(shù)定義,有又所以。5.14.設(shè)且非奇異,又設(shè)為上一向量范數(shù),定義試證明是上向量的一種范數(shù)。證明 只需證明滿足向量范數(shù)的三個條件。(1).因非奇異,故對任意,有,故,當(dāng)且僅當(dāng)時,有。(2).對任意,有。(3).對任意,有,故是上的向量范數(shù)。5.15.設(shè)為對稱正定矩陣,定義,試證明是上向量的一種范數(shù)。證明 只需證明滿足向量范數(shù)的三個條件。(1).因正定對稱,故當(dāng), ;而當(dāng)時,。(2).對任意,有。(3).因
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