信息計算科學實驗報告

1、信息計算:岸實驗報土1=1實驗報告專業(yè)：信息與計算科學年級：大三 班級：ap08102 學號：ap0810227姓名：龐錦芬、實驗目的1、了解lagrange插值法的基本原理和方法；2、了解多項式擬合的基本原理和方法；3、了解數(shù)值積分的基本原理和方法；實驗題目：實驗三插值法與擬合實驗1、插值效果比較：將區(qū)間【-5,5】10等分，對下列函數(shù)分別計算插值節(jié)點Xk的值，進行不同類型的插值，作出插值函數(shù)的圖形并與y f(x)的圖形進行比較:f(x) 11x2 ；f (x) arctanx ；f(x)2x1x4 .Xiyi分別對上述數(shù)據(jù)作三次多項式和五次多項式擬合，并求平方誤差，作出離散函數(shù)(xi, %

2、)和擬合函數(shù)的(1)做拉格朗日插值；2、擬合多項實驗： 給定數(shù)據(jù)如下表所示:圖形。實驗四數(shù)值微積分實驗1、復化求積公式計算定積分 ：用復化梯形公式、復化辛普森公式、龍貝格公式求下列定積分，要求絕對誤 差為 0.5 108，并將計算結果與精確解進行比較：(1) e42x3ex2dx，3(2) ln62x dx2 x2 3三、實驗原理(將實驗所涉及的基礎理論、算法原理詳盡列出。拉個朗日插值原理：經過n 1個點(X。，y°),(X1, %) ,(xn,yn)，構造一個n次多項式，形pn(x) 使得 Pn(xQyk (k 0,1,2 ,n)成立。ykik(x)k 0lk(x)(x xj (x

3、 Xk1)(X xk 1) (x xn)(Xk X0)(Xk Xk 1)(Xk Xk 1) (Xk Xn)0 x Xk1 X Xk其中為插值基函數(shù)。擬合多項式原理：假設給定數(shù)據(jù)點(Xi,yi)(i=0,1，,m)，nPn(X)akX現(xiàn)求一k 0，使得mPn(Xi)i 0yi為所有次數(shù)不超過n(nm)的多項式構成的函數(shù)類,nkakXik 0yimin當擬合函數(shù)為多項式時，稱為多項式擬合， 特別地，當n=1時，稱為線性擬合或直線擬合。 顯然滿足式(1)(1)Pn (X)稱為最小二乘擬合多項式。為a0,a1， an的多元函數(shù), 極值的必要條件，得Im n kI(akXii 0 k 0因此上述問題即為

4、求ajmJ kXi)aki 0mXiJyi,i 0(3)是關于a。®, an的線性方程組，用矩陣表示為mXii 0mXii 0m2Xii 0mnXii 0mn 1Xii 0aoa1yi)2I(ao,a1an)的極值問題。由多元函數(shù)求0,1,n0,1,nmnXii 0m n 1Xii 0anmyii 0mXiYii 0mnXi yii 0m 2nXii 0式(3)或式(4)稱為正規(guī)方程組或法方程組。可以證明，方程組(4)的系數(shù)矩陣是一個對稱正定矩陣，故存在唯一解。出ak(k=0,1，n)，從而可得多項式從式(4)中解nPn(X)akXkk 0可以證明，式(5)中的Pn(X)滿足式(1)

5、，即Pn(X)為所求的擬合多項式。我們把i 0 稱為最小二乘擬合多項式Pn(X)的平方誤差，記作llrlPn(X)m2 22Pn(Xi) yii 0mPn(Xi)yi由式可得2 mnm|r2y：ak(Xikyi 0k 0 i 0(硬件和軟件)。)四、實驗內容(列出實驗的實施方案、步驟、數(shù)據(jù)準備、算法流程圖以及可能用到的實驗設備實驗步驟：1、先編寫好matlabM文件，然后在命令窗口編輯程序并運行；2、運行，觀察結果；3、根據(jù)運行結果進行結果分析。實驗三各個實驗在 matlab窗口輸進的主要程序如下：拉格朗日插值：x=-5:1:5;y1=1./(1+x.A2);y2=ata n( x);y3=x

6、.A2丿(1+x44);L1=malagr(x,y1,x);L2=malagr(x,y2,x);L3=malagr(x,y3,x);plot(x,y1,'r',x,y2,'g',x,y3,'b',x ,L 1,'rp',x ,L2,'gd',x ,L 3,'b*'); xlabel('x');ylabel('y');lege nd('y1','y2','y3','L1','L2','

7、;L3')擬合多項式：作三次多項式擬合的程序：x=0;y=;y1=mafit(x,y,3)作五次次多項式擬合的程序：x= 0 ;y=;y2=mafit(x,y,5)求平方誤差，作出離散函數(shù)(冷)和擬合函數(shù)的圖形，程序為：% san ci ni he duo xia ng shi de xi shux= 0 ;y2=;y=mafit(x,y,3);P1=.*X.*X.A.*X+% san ci ni he duo xia ng shi de xi shux= 0 ；y=;y2=mafit(x,y,5);p2=.*x.A5+.*x.A4+.*x.A.*x.A.*x+norm(p1-y)n

8、orm(p2_y)plot(x,y, 's',x,p1,'d',x,p2,'p')xlabel('x');ylabel('y');legend('y', 'p1' , 'p2')% s fangxing; d lingxing; p wujiaox ing實驗四復化求積公式計算定積分用復化梯形公式相關的程序和相關的注釋如下：(1)% numerical integrate formulation 1(1) f2=diff( '2/3*xA3*exp(xA2)&

9、#39;, 'x',2)% 求對變量x的二階偏導數(shù)%f2=4*x*exp(xA2)+28/3*xA3*exp(xA2)+8/3*xA5*exp(xA2)=exp(xA2)*8/3*x(2*x+1)(x+3)x=2;a=4*x*exp(xA2)+28/3*xA3*exp(xA2)+8/3*xA5*exp(xA2)%求2 的函數(shù)值f=i nline('1/12*hA2*+003)', 'h':);%復化梯形余項減去誤差h=fzero(f,0)%求滿足精度的h值n=abs(1/h);%求滿足精度的n值fun=in li ne('2/3.*x.A

10、3*exp(x.A2)')T=matrap(fu n,1,2 ,n)% T=b=exp % exp (4)=(2)f2=diff( '2*x/(xA2-3)', 'x',2)% 求對變量 x 的二階偏導數(shù)% f2 =-12/(xA2-3)A2*x+16*xA3/(xA2-3)A3 x=2;a=-12/(xA2-3)A2*x+16*xA3/(xA2-3)A3%求f2 的函數(shù)值f=i nline('1/12*hA2*', 'h')；%復化梯形余項減去誤差h=fzero(f,0)%求滿足精度的h值n=abs(1/h);%求滿足精

11、度的n值fun=in li ne('2*x/(xA2-3)')T=matrap(fu n,2,3 ,n)% T=b=log (6)% log( 6)=用復化辛普公式相關的程序和相關的注釋如下：%用復化辛普公式f2=diff( '2/3*xA3*exp(xA2)', 'x' ,4)%求對變量 x 的 4 階偏導數(shù)%f2=80*x*exp(xA2)+200*xA3*exp(xA2)+96*xA5*exp(xA2)+32/3*xA7*exp(xA2) x=4;a=80*x*exp(xA2)+200*xA3*exp(xA2)+96*xA5*exp(xA2

12、)+32/3*xA7*exp(xA2)求f2的函數(shù)值f=inline('1/2880牛人4*+012)', 'h' ); %復化辛普余項減去誤差h=fzero(f,0)%求滿足精度的h值n=abs(1/h);%求滿足精度的n值fun=in li ne( '2/3.*x.A3*exp(x.A2)')T=masimp(fu n,1,2, n)% T=b=exp % exp (4)=(2)%用復化辛普公式(2)f2=diff( '2*x/(xA2-3)'，乂 ,4)%求對變量 x 的 4 階偏導數(shù)% f2 =-960/(xA2-3)A4

13、*xA3+240/(xA2-3)A3*x+768*xA5/(xA2-3F5 x=4;a=-960/(xA2-3)A4*xA3+240/(xA2-3F3*x+768*xA5/(xA2-3)A5%求f2 的函數(shù)值f=inline('1/12牛人2* ', 'h' ); %復化辛普余項減去誤差h=fzero(f,0)%求滿足精度的h值n=abs(1/h);%求滿足精度的n值fun=inlin e('2*x/(xA2-3)')T=matrap(fu n,2,3 ,n)% T=b=log (6)% log( 6)=用龍貝格公式相關的程序和相關的注釋如下：(

14、1)T仁maromb(inline('2./3*x.A3.*exp(x.A2)'),1,2,b=exp(4)(2)T仁 maromb( in li ne('2*x./(x.A2-3)'),2,3,b=log (6)五、實驗結果(實驗結果應包括試驗的原始數(shù)據(jù)、中間結果及最終結果，復雜的結果可以用表格或圖形形式實現(xiàn)，較為簡單的結果可以與實驗結果分析合并出現(xiàn)。)實驗三 拉格朗日插值:y1 y2 y3L1L2L31.510.5-0.5-1-1.5x作三次多項式擬合結果為:y1 =因此三次擬合函數(shù)為：P1=.*X.*X.A.*X+作五次多項式擬合結果為：y2 =因此五次次

15、擬合函數(shù)為：p2=.*x.A5+.*x.A4+.*x.A.*x.A.*x+求平方誤差，作出離散函數(shù)（冷）和擬合函數(shù)的圖形，結果如下:擬合函數(shù)圖形：相關數(shù)據(jù)輸出:p1 =p2 = ans = ans =由此可知道：三次擬合離散函數(shù)為：(,),(,),(,),(,), (,),(,),(,)三次擬合離散函數(shù)為：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)實驗四求積公式計算定積分相關的結果：利用復化梯形公式：(1)f2=4*x*exp(x2)+28 /3*xA3*exp(xA2)+8 /3*xA5*exp(xA2)a =+003h = fun =Inline fun ctio n:fun(

16、x) = 2/3.*x.A3*exp(x.A2)T = b =f2 =-12/(xA2-3)A2*x+16*xA3 /儀人2-3)人3a =104 fun =Inline fun ctio n: fun(x) = 2*x/(xA2-3)T =用復化辛普公式相關的結果如下：(1)f2 =80*x*exp(xA2)+200*xA3*exp(xA2)+96*xA5*exp(xA2)+32/3*xA7*exp(xA2)a =+012h = fun =Inline fun ctio n:fun(x) = 2/3.*x.A3*exp(x.A2)T =(2)f2 =-960/(xA2-3)A4*xA3+240/(xA2-3F3*x+768*xA5心人2-3)人5a =fun =Inline fun ctio n:fun(x) = 2*x/(xA2-3)用龍貝格公式相關的結果如下（1）T =T