數(shù)列求和錯(cuò)位相減法-裂項(xiàng)相消法后附答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一、解答題1已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a2=3，S6=36（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列bn滿足bn=2nan，nN*，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn【詳解】（）a2=3 ，a1+d=3 S6=36 ，6a1+15d=36 則a1=1，d=2an=2n-1.（）由（）可知，bn=2n2n-1Tn=12+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n, 2Tn=122+323+524+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1-Tn=2+222+223+224.+22n-（2n-1)2n+1=2+24（1-2n-1）1-2-（2n-1）2n+1 =-6+2

2、n+2-(2n-1)2n+1=-6+2n+1(3-2n)Tn=6+(2n-3)2n+12已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=2，an+1=Sn+2，nN*(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn=nan，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Tn【答案】（1）an=2n（2）2+(n-1)2n+1【詳解】(1)an+1=Sn+2，nN*，Sn=an+1-2，即Sn+1=2an+1-2，Sn+2=2an+2-2，兩式相減，得an+2=2an+2-2an+1，即an+2=2an+1，又a1=2，a2=S1+2=2+2=4，即數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an=2n；(2)設(shè)bn=nan，則bn=n2n，

3、Tn=12+222+323+(n-1)2n-1+n2n，2Tn=122+223+324+(n-1)2n+n2n+1，兩式相減，得：Tn=-12-122-123-12n-1-12n+n2n+1=n2n+1-(2+22+23+2n-1+2n)=n2n+1-2(1-2n)1-2=2+(n-1)2n+1【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和，錯(cuò)位相減法，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題3已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn=an+122(nN*).數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，滿足Tn=2bn(nN*).（1）求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列anbn2的前n項(xiàng)和Sn.【

4、答案】（1）an=2n1,bn=12n1；（2）Sn=32n+32n.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求得a1,a2，然后求得公差，即可求出數(shù)列an的通項(xiàng)，再利用bn=T1,n=1TnTn1,n2 求得bn的通項(xiàng)公式；（2）先求出anbn2的通項(xiàng)，然后利用數(shù)列求和中錯(cuò)位相減求和Sn.【詳解】解：（1）由Sn=an+122，得S1=a1+122=a1，解得a1=1.由S2=a1+a2=1+a2=a2+122，解得a2=3或a2=-1.若a2=-1，則d=-2，所以a3=-3.所以S3=-3a3+122=1，故a2=-1不合題意，舍去.所以等差數(shù)列an的公差d=a2-a1=2，故an=2n-1.數(shù)

5、列bn對任意正整數(shù)n，滿足Tn=2-bn.當(dāng)n=1時(shí)，b1=T1=2-b1，解得b1=1；當(dāng)n1時(shí)，bn=Tn-Tn-1=(2-bn)-(2-bn-1)=bn-1-bn，所以bn=12bn-1(n2).所以bn是以首項(xiàng)b1=1，公比q=12的等比數(shù)列，故數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn=12n-1.（2）由（1）知anbn2=2n-12n，所以Sn=12+322+523+.+2n-32n-1+2n-12n，所以12Sn=122+323+.+2n-32n+2n-12n+1，-，得12Sn=12+222+223+.+22n-2n-12n+1=12+12+122+.+12n-1-2n-12n+1=12+12

6、1-12n-11-12-2n-12n+1=12+1-12n-1-2n-12n+1，所以Sn=3-2n+32n.4已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1，且滿足an+1=an2an+1(nN+).(1)求證：數(shù)列1an為等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記bn=2nan，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和為Tn【答案】（1）證明見解析，an=12n-1（2）Tn=(2n-3)2n+1+6【解析】【分析】(1)由an+1=an2an+1，得1an+1=2+1an，由此可判斷1an為等差數(shù)列，可求1an，進(jìn)而得到an;(2)求出bn，利用錯(cuò)位相減法可求Tn【詳解】(1)由an+1=an2an+1，得1an+1=2+1an

7、，又1a1=1，1an為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2，1an=1+(n-1)2=2n-1，an=12n-1(2)bn=2nan=(2n-1)2n，Tn=12+322+523+(2n-1)2n，2Tn=122+323+524+(2n-1)2n+1，-得，-Tn=12+222+223+22n-(2n-1)2n+1=2+23+24+2n+1-(2n-1)2n+1=2+23(1-2n-1)1-2-(2n-1)2n+1=(3-2n)2n+1-6，Tn=(2n-3)2n+1+6【點(diǎn)睛】5已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn，a3=5，S10=100.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=2n(an+5)

8、，記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn，求使得Tnm恒成立時(shí)m的最小正整數(shù).【分析】（1）先設(shè)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a3=5，S10=100列出方程組求出首項(xiàng)和公差即可；（2）由(1)先求出bn，再由裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和即可.【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因?yàn)閍3=5，S10=100，所以a1+2d=510a1+45d=100 解得a1=1d=2所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n-1.（2）由（1）可知bn=2n(an+5)=2n(2n+4) =1n(n+2)=12(1n-1n+2)Tn=b1+b2+bn= 12(1-13)+(12-14)+(13-15)+ (1n-1-1n+1

9、)+(1n-1n+2)=1232-2n+3(n+1)(n+2),Tn0，所以q=3，所以an=3n-1， (2)bn= 1(n+2)log3an+1=1n(n+2) =12(1n-1n+2) Sn=12(1-13+12-14+1n-1-1n+1+1n-1n+2) =34-2n+32(n+1)(n+2)7已知數(shù)列an為等差數(shù)列，a7a2=10，且a1，a6，a21依次成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=1anan+1，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=225，求n的值.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得首項(xiàng)和公差，即可得到所

10、求通項(xiàng)公式；（2）求得bn=1anan+1=1(2n+3)(2n+5)=12（12n+3-12n+5），運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和可得Sn，解方程可得n【詳解】（1）設(shè)數(shù)列an的公差為d，因?yàn)閍7-a2=10，所以5d=10，解得d=2.因?yàn)閍1，a6，a21依次成等比數(shù)列，所以a62=a1a21，即(a1+52)2=a1(a1+202)，解得a1=5.所以an=2n+3.（2）由（1）知bn=1anan+1=1(2n+3)(2n+5)，所以bn=12(12n+3-12n+5)，所以Sn=12(15-17)+(17-19)+.+(12n+3-12n+5) =n5(2n+5)，由n5(2n+5)=225，

11、得n=10.8設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，且2Sn是an與an+1的等比中項(xiàng)，其中nN*.（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）設(shè)bn=(1)n+12an+1anan+1，記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求證：T2n0，anan1=1n2，即數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.an=a1+n1d=1+n1=n.（）bn=1n+12n+1nn+1=1n+11n+1n+1，T2n=b1+b2+b3+b2n= 1+1212+13+13+14 +12n1+12n(12n+ 12n+1)=112n+10解得d=1q=2an=n，bn=2n.()由()知Sn=nn+12.cn=bn+1Sn=2n+2nn+1=2

12、n+21n-1n+1，Tn=2+22+23+2n+21-12+12-13+1n-1n+1.=21-2n1-2+21-1n+1=2n+1-2n+1【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的分組求和和裂項(xiàng)相消求和，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題11已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=3an，數(shù)列bn滿足b1=1，且an+bn是公差為2的等差數(shù)列（）求an和bn的通項(xiàng)公式；（）求bn的前n項(xiàng)和Sn【答案】（）an=3n1，bn=2n3n1（）Sn=n(n+1)3n12【解析】【分析】（）利用等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，轉(zhuǎn)化求an和bn的通項(xiàng)公式；（）利用分組求和法求bn的前n項(xiàng)和Sn即可【詳解】解：（）由a1=1，an+1=3an，an是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列.所以an=3n-1因?yàn)閍1+b1=2，所以an+bn是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列可得an+bn=2+(n-1)2=2n所以b