選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程高考復(fù)習(xí)講義

1、選修 4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程高考復(fù)習(xí)講義河南省三門峽市盧氏縣第一高級(jí)中學(xué)山永峰本部分是人教版教材選修模塊內(nèi)容，主要對(duì)極坐標(biāo)的概念、點(diǎn)的極坐標(biāo)及簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程進(jìn)行考查。對(duì)于參數(shù)方程，主要考查直線、圓與圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用。參數(shù)方程是解析幾何、平面向量、三角函數(shù)、圓錐曲線與方程等知識(shí)的綜合應(yīng)用和進(jìn)一步深化，是研究曲線的工具，特別值得關(guān)注。最重要的是它是新課標(biāo)全國(guó)卷三個(gè)選考模塊中難度系數(shù)最高的， 明顯比另兩個(gè)模塊簡(jiǎn)單。 估計(jì)在 2015年高考中仍是重點(diǎn)， 作為選考題一般難度不大， 屬于明顯的 “送分題” ！現(xiàn)整理如下，以期拋磚引玉！第一節(jié)坐標(biāo)系基本知識(shí)點(diǎn)：基本知識(shí)點(diǎn)：1平面直角坐標(biāo)系中的坐

2、標(biāo)伸縮變換設(shè)點(diǎn) P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換：xx，0，yy，0的作用下，點(diǎn) P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn) P(x，y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換2極坐標(biāo)系與極坐標(biāo)(1)極坐標(biāo)系：如圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn) O，叫做極點(diǎn)，自極點(diǎn) O 引一條射線 Ox，叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位， 一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系(2)極坐標(biāo)：設(shè) M 是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn) O 與點(diǎn) M 的距離|OM|叫做點(diǎn) M 的極徑，記為；以極軸 Ox 為始邊，射線 OM 為終邊的角 xOM叫做點(diǎn) M 的極角，記為.有序數(shù)對(duì)(，)叫做點(diǎn)

3、M 的極坐標(biāo)，記為M(，)不做特殊說明時(shí)，我們認(rèn)為0，可取任意實(shí)數(shù)3極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè) M 是坐標(biāo)系平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(，)(0)，于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如下表：點(diǎn) M直角坐標(biāo)(x，y)極坐標(biāo)(，)互化公式xcos ysin 2x2y2tan yxx04.常見曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn)，半徑為 r 的圓r(02)圓心為(r,0)，半徑為 r 的圓2rcos_22圓心為r，2 ，半徑為 r 的圓2rsin_(0)過極點(diǎn)，傾斜角為的直線(1)(R)或(R)(2)(0)和(0)過點(diǎn)(a,0)，與極軸垂直的直線cos_a22過點(diǎn)a，2 ，

4、 與極軸平行的直線sin_a(0)必考知識(shí)點(diǎn)：1在將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)求極角時(shí)，易忽視判斷點(diǎn)所在的象限(即角的終邊的位置)2在極坐標(biāo)系下，點(diǎn)的極坐標(biāo)不惟一性易忽視注意極坐標(biāo)(，)(，2k)，(，2k)(kZ)表示同一點(diǎn)的坐標(biāo)試一試：1點(diǎn) P 的直角坐標(biāo)為(1， 3)，則點(diǎn) P 的極坐標(biāo)為_2極坐標(biāo)方程sin 2cos 能表示的曲線的直角坐標(biāo)方程為_1確定極坐標(biāo)方程的四要素極點(diǎn)、極軸、長(zhǎng)度單位、角度單位及其正方向，四者缺一不可2直角坐標(biāo)(x，y)化為極坐標(biāo)(，)的步驟(1)運(yùn)用 x2y2，tan yx(x0)(2)在0,2)內(nèi)由 tan yx(x0)求時(shí)，由直角坐標(biāo)的符號(hào)特征判斷點(diǎn)所在的象限練一

5、練：1在極坐標(biāo)系中，圓心在( 2，)且過極點(diǎn)的圓的方程為_2已知直線的極坐標(biāo)方程為sin (4)22，則極點(diǎn)到該直線的距離是_考點(diǎn)一：平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換1.設(shè)平面上的伸縮變換的坐標(biāo)表達(dá)式為x12x，y3y，則在這一坐標(biāo)變換下正弦曲線 ysin x 的方程變?yōu)開2函數(shù) ysin(2x4)經(jīng)伸縮變換x2x，y12y后的解析式為_3雙曲線 C：x2y2641 經(jīng)過：x3x，2yy變換后所得曲線 C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_類題通法： 平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換來表示 在伸縮變換xx，0yy，0下，直線仍然變成直線，拋物線仍然變成拋物線，雙曲線仍然變成雙曲線，圓可以變成橢圓，橢圓也可以變成圓考點(diǎn)

6、二：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化典例1：(2013石家莊模擬)在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，以坐標(biāo)原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C1的極坐標(biāo)方程為 3212cos 10(0)(1)求曲線 C1的直角坐標(biāo)方程；(2)曲線 C2的方程為x216y241，設(shè) P，Q 分別為曲線 C1與曲線C2上的任意一點(diǎn)，求|PQ|的最小值類題通法：直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，關(guān)鍵掌握好互化公式，研究極坐標(biāo)系下圖形的性質(zhì)可轉(zhuǎn)化直角坐標(biāo)系的情境進(jìn)行針對(duì)訓(xùn)練：(2013安徽模擬)在極坐標(biāo)系中，直線cos sin 10 與圓2sin 的位置關(guān)系是_考點(diǎn)三：極坐標(biāo)方程及應(yīng)用典例2(2013鄭州模擬

7、)已知在直角坐標(biāo)系 xOy 中， 曲線 C的參數(shù)方程為x22cos ，y2sin (為參數(shù))，在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系 xOy 取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，以 x 軸正半軸為極軸)中，直線 l 的方程為sin(4)2 2.(1)求曲線 C 在極坐標(biāo)系中的方程； (2)求直線 l 被曲線 C 截得的弦長(zhǎng)變式： 在本例(1)的條件下， 求曲線 C 與曲線 C1： cos 3(0,0b0)xacos ybsin (為參數(shù))1化參數(shù)方程為普通方程的方法消去參數(shù)方程中的參數(shù)，就可把參數(shù)方程化為普通方程，消去參數(shù)的常用方法有：代入消元法；加減消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法2利用直線參數(shù)方

8、程中參數(shù)的幾何意義求解問題的方法經(jīng) 過 點(diǎn) P(x0， y0) ， 傾 斜 角 為 的 直 線 l 的 參 數(shù) 方 程 為xx0tcos ，yy0tsin (t 為參數(shù))若 A，B 為直線 l 上兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 t1，t2，線段 AB 的中點(diǎn)為 M，點(diǎn) M 所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為 t0，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：(1)t0t1t22；(2)|PM|t0|t1t22； (3)|AB|t2t1|； (4)|PA|PB|t1t2|.練一練：1已知 P1，P2是直線x112t，y232t(t 為參數(shù))上的兩點(diǎn)，它們所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 t1，t2，則線段 P1P2的中點(diǎn)到點(diǎn)P(1，2)的距離是_2已

9、知直線x212t，y112t(t 為參數(shù))與圓 x2y24 相交于 B，C兩點(diǎn)，則|BC|的值為_考點(diǎn)一：參數(shù)方程與普通方程的互化1.曲線x2 3cos y3 2sin (為參數(shù))中兩焦點(diǎn)間的距離是_2(2014西安質(zhì)檢)若直線 3x4ym0 與圓x1cos ，y2sin (為參數(shù))相切，則實(shí)數(shù) m 的值是_3(2014武漢調(diào)研)在直角坐標(biāo)系 xOy 中，以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系已知直線xt，y 3t(t 為參數(shù)，tR)與曲線 C1：4sin 異于點(diǎn) O 的交點(diǎn)為 A，與曲線 C2：2sin 異于點(diǎn) O 的交點(diǎn)為 B，則|AB|_.類題通法:參數(shù)方程是以參變量為中介來

10、表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的方程，是曲線在同一坐標(biāo)系下的另一種表示形式，參數(shù)方程化為普通方程關(guān)鍵在于消參，消參時(shí)要注意參變量的范圍考點(diǎn)二：參數(shù)方程的應(yīng)用典例1： (2013鄭州模擬)已知直線C1：x1tcos ，ytsin (t為參數(shù))，曲線 C2：xcos ，ysin (為參數(shù))(1)當(dāng)3時(shí)，求 C1與 C2的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過坐標(biāo)原點(diǎn) O 作 C1的垂線，垂足為 A，P 為 OA 的中點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，求點(diǎn) P 軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線變式：在本例(1)條件下，若直線 C1：x1tcos ytsin ，(t 為參數(shù))，與直線 C2xs，y1as(s 為參數(shù))垂直，求 a.類題通法： 1 解決

11、直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用問題時(shí)一般是先化為普通方程再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系來解決問題2對(duì)于形如xx0at，yy0bt(t 為參數(shù))當(dāng) a2b21 時(shí)，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用 t 的幾何意義解題針對(duì)訓(xùn)練：(2013新課標(biāo)卷)已知?jiǎng)狱c(diǎn) P，Q 在曲線 C：x2cos t，y2sin t(t 為參數(shù))上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為 t與 t2為(02)，M 為 PQ 的中點(diǎn)(1)求 M 的軌跡的參數(shù)方程；(2)將 M 到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離 d 表示為的函數(shù)，并判斷 M 的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn)考點(diǎn)三：極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用典例2： (2013福建高考)在平面直角坐標(biāo)系中， 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸的非負(fù)半軸為極

12、軸建立極坐標(biāo)系已知點(diǎn) A 的極坐標(biāo)為2，4 ，直線 l 的極坐標(biāo)方程為cos4 a，且點(diǎn) A 在直線 l 上(1)求 a 的值及直線 l 的直角坐標(biāo)方程；(2)圓 C 的參數(shù)方程為x1cos ，ysin (為參數(shù))，試判斷直線 l 與圓 C 的位置關(guān)系類題通法：涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，確定選擇何種方程針對(duì)訓(xùn)練： (2013石家莊質(zhì)檢)已知 P 為半圓 C：xcos ，ysin (為參數(shù)，0)上的點(diǎn)，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(1,0)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) M在射線 OP 上，線段 OM 與半圓 C 的弧AP的長(zhǎng)度均

13、為3.(1)以 O 為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求點(diǎn) M 的極坐標(biāo)；(2)求直線 AM 的參數(shù)方程選修 4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程專題訓(xùn)練12014天津卷 在以 O 為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓4sin和直線sina 相交于 A，B 兩點(diǎn)若AOB 是等邊三角形，則 a的值為_22014安徽卷 以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位已知直線 l 的參數(shù)方程是xt1，yt3(t 為參數(shù))， 圓 C 的極坐標(biāo)方程是4cos，則直線 l 被圓 C 截得的弦長(zhǎng)為()A. 14B2 14C. 2D2 232014北京卷 曲線x1cos，y2si

14、n(為參數(shù))的對(duì)稱中心()A在直線 y2x 上B在直線 y2x 上C在直線 yx1 上D在直線 yx1 上4 2014福建卷 ()選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知直線 l 的參數(shù)方程為xa2t，y4t(t 為參數(shù))，圓 C 的參數(shù)方程為x4cos，y4sin(為參數(shù))(1)求直線 l 和圓 C 的普通方程；(2)若直線 l 與圓 C 有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍52014廣東卷 (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中，曲線 C1和 C2的方程分別為sin2cos和sin1.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為 x 軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線 C1和 C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_620

15、14湖北卷 (選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)已知曲線 C1的參數(shù)方程是x t，y3t3(t 為參數(shù)) 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C2的極坐標(biāo)方程是2，則C1與 C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_72014湖南卷 在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為4的直線 l 與曲線 C：x2cos，y1sin(為參數(shù))交于 A，B 兩點(diǎn)，且|AB|2.以坐標(biāo)原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則直線 l 的極坐標(biāo)方程是_82014江西卷 (2)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段 y1x(0 x1)的極坐標(biāo)方程為()A1c

16、ossin， 02B1cossin， 04Ccossin， 02Dcossin， 0492014遼寧卷 選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程將圓 x2y21 上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼? 倍，得曲線 C.(1)寫出 C 的參數(shù)方程； (2)設(shè)直線 l：2xy20 與 C 的交點(diǎn)為 P1，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段 P1P2的中點(diǎn)且與 l 垂直的直線的極坐標(biāo)方程102014新課標(biāo)全國(guó)卷 選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線 C：x24y291，直線 l：x2t，y22t(t 為參數(shù))(1)寫出曲線 C 的參數(shù)方程，直線 l 的普通方程；(2)過曲線

17、C 上任意一點(diǎn) P 作與l 夾角為 30的直線， 交 l 于點(diǎn) A，求|PA|的最大值與最小值112014新課標(biāo)全國(guó)卷 選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系 xOy 中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓 C 的極坐標(biāo)方程為2cos，0，2.(1)求 C 的參數(shù)方程；(2)設(shè)點(diǎn) D 在 C 上，C 在 D 處的切線與直線 l：y 3x2 垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定 D 的坐標(biāo)12 2014陜西卷 C(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)2，6 到直線sin6 1 的距離是_132014浙江卷 (1)在極坐標(biāo)系 Ox 中，設(shè)集合 A(，)|04，0cos

18、，求集合 A 所表示區(qū)域的面積；(2)在直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 l：x4tcos4，ytsin4(t 為參數(shù))，曲線 C：xacos，y2sin(為參數(shù))，其中 a0.若曲線 C 上所有點(diǎn)均在直線 l 的右下方，求 a 的取值范圍14 2014重慶卷 已知直線l的參數(shù)方程為x2t，y3t(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為sin24cos0(0， 02)， 則直線 l 與曲線 C的公共點(diǎn)的極徑_2015 年高考預(yù)測(cè)題年高考預(yù)測(cè)題1 2014長(zhǎng)沙模擬 已知點(diǎn) P 所在曲線的極坐標(biāo)方程為2cos，點(diǎn) Q 所在曲線的參數(shù)方程為x1t，y42

19、t(t 為參數(shù))，則|PQ|的最小值是()A2B.4551C1D.455122014株洲模擬 在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1的參數(shù)方程為x2cos，y 3sin(為參數(shù))在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系 xOy 取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，以 x 軸的正半軸為極軸)中，直線 C2的方程為(cossin)10，則曲線 C1與 C2的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_32014湖南長(zhǎng)郡中學(xué)月考 在極坐標(biāo)系中，圓 C1的方程為42cos4 ，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為 x 軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知圓 C2的參數(shù)方程為x1acos，y1asin(a0，為參數(shù))若圓 C1與圓 C2外切，則實(shí)數(shù) a_420

20、14衡陽模擬 已知曲線 C 的極坐標(biāo)方程為4cos.若以極點(diǎn)為原點(diǎn)， 極軸為 x 軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系， 則曲線 C 的參數(shù)方程為_52014湖南雅禮中學(xué)月考 已知極坐標(biāo)系下曲線4sin表示圓，則點(diǎn) A4，6 到圓心的距離為_62014湖南十三校聯(lián)考 以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系已知直線 l 的參數(shù)方程為xt，yta(t 為參數(shù))，圓 C 的極坐標(biāo)方程為2cos，若直線 l 經(jīng)過圓 C 的圓心，則常數(shù) a 的值為_7 2014湖南師大附中月考 在極坐標(biāo)系中， 已知點(diǎn) A 的極坐標(biāo)為(2，)，直線 l 的極坐標(biāo)方程為sin4 2，則點(diǎn) A 到直線 l的距離是

21、_第一節(jié)坐標(biāo)系參考答案1.2，32.x2y22xy0練習(xí) 1：解析：如圖，O 為極點(diǎn)，OB 為直徑，A(，)，則ABO90，OB2 2sin90，化簡(jiǎn)得2 2cos .2.22考點(diǎn)一：1.y3sin 2x2.y12sin(x4)3.x29y2161 為曲線 C的方程，焦點(diǎn) F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)為所求考點(diǎn)二：例:1.(1)曲線 C1的方程 (x2)2y223.(2)|QC1|min2 63，所以|PQ|min63.練習(xí)：相交例 2：解(1)由已知得，曲線 C 的普通方程為(x2)2y24，即 x2y24x0，化為極坐標(biāo)方程是4cos .(2) 由 題 意 知 ， 直 線 l 的 直 角

22、 坐 標(biāo) 方 程 為 x y 4 0 ， 由x2y24x0，xy4，得直線 l 與曲線 C 的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，(4,0)，所以所求弦長(zhǎng)為 2 2.變式：由曲線 C，C1極坐標(biāo)方程聯(lián)立cos 3，4cos ，cos234，cos 32，又0，0，2)cos 32，6，2 3，故交點(diǎn)極坐標(biāo)為2 3，6 .訓(xùn)練： 6cos 在直角坐標(biāo)系中表示圓心為(3,0)，半徑為 3的圓過圓心且垂直于x軸的直線方程為x3，其在極坐標(biāo)系下的方程為cos 3.第二節(jié)參數(shù)方程與極坐標(biāo)參考答案練習(xí) 1.D2.線段練習(xí) 1：由 t 的幾何意義可知，線段 P1P2的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1t22，P 對(duì)應(yīng)的參數(shù)為 t0，線

23、段 P1P2的中點(diǎn)到點(diǎn) P 的距離為|t1t2|2.2. 14考點(diǎn)一：1.2 62.0 或 103. 3例 1： (1) (1,0)，12，32 .(2)依題意， C1的普通方程為 xsinycos sin 0，則 A 點(diǎn)的坐標(biāo)為(sin2，sin cos )，故當(dāng)變化時(shí)，P 點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為x12sin2，y12sin cos (為參數(shù))，點(diǎn) P 軌跡的普通方程為(x14)2y2116.故點(diǎn) P 的軌跡是圓心為(14，0)，半徑為14的圓變式：由(1)知 C1的普通方程為 y 3(x1)，C2的普通方程為 y1ax，由兩線垂直得a 31，故 a33.訓(xùn)練：(1)依題意有 P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2), 因此M(cos cos2，sin sin2)M 的軌跡的參數(shù)方程為xcos cos 2，ysinsin 2(為參數(shù)，02)(2)M 點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離 d x2y2 22cos (02)當(dāng)時(shí)，d0，故 M 的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)例 2：(1)由點(diǎn) A2，4 在直線cos4 a 上，可得 a 2.所以直線 l 的方程可化為cos sin 2，從而直線 l 的直角坐標(biāo)方程為 xy20.(2)由已知得圓 C 的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y21，所以圓 C 的圓心為(1,0)， 半徑 r1， 因?yàn)閳A心 C 到直線