3.4實(shí)際問題與一元一次方程

1、3.4實(shí)際問題與一元一次方程【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：1. 體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想. 2. 進(jìn)一步探究如何用一元一次方程解決實(shí)際問題. 二. 知識(shí)要點(diǎn)：1. 數(shù)學(xué)建模這里所講的數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法（一元一次方程）解決實(shí)際問題的一種實(shí)踐. 即通過抽象、簡化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過程后，將實(shí)際問題用數(shù)學(xué)方式（一元一次方程）表達(dá)，建立起數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解. 建立數(shù)學(xué)模型的這個(gè)過程就稱為數(shù)學(xué)建模. 2. 用一元一次方程解決實(shí)際問題的幾個(gè)注意事項(xiàng)（1）先弄清題意，找出相等關(guān)系，再按照相等關(guān)系來選擇未知數(shù)和列代數(shù)式，比先設(shè)未知數(shù)，再找出含有未知數(shù)的代數(shù)式，再找相等關(guān)系更為合理. （2）所

2、列方程兩邊的代數(shù)式的意義必須一致，單位要統(tǒng)一，數(shù)量關(guān)系一定要相等. （3）要養(yǎng)成“驗(yàn)”的好習(xí)慣，即所求結(jié)果要使實(shí)際問題有意義. （4）不要漏寫“答”、“設(shè)”和“答”都不要丟掉單位名稱. （5）分析過程可以只寫在草稿紙上，但一定要認(rèn)真. 三. 重點(diǎn)難點(diǎn)：1. 重點(diǎn)：進(jìn)一步體現(xiàn)一元一次方程與實(shí)際的密切聯(lián)系，滲透數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)運(yùn)用一元一次方程分析和解決實(shí)際問題的能力. 2. 難點(diǎn)：本講問題的背景和表達(dá)都比較貼近實(shí)際，其中有些數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，所以在探究過程中正確地列方程是主要難點(diǎn). 突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是弄清問題背景，分析清楚有關(guān)數(shù)量關(guān)系，特別是找出可以作為列方程依據(jù)的主要相等關(guān)系. 【典型例題】例1

3、. 墻上釘著一根彩繩圍成的梯形形狀的飾物，如圖中實(shí)線所示. 小明將梯形下底的釘子去掉，并將這條彩繩釘成一個(gè)長方形，如圖中虛線所示. 小明所釘長方形的長、寬各為多少厘米？分析：飾物形狀變化前后有兩個(gè)不變的量，一個(gè)是周長，另一個(gè)是變化前梯形的上底和變化后長方形的寬. 根據(jù)題意可設(shè)長方形的長為_，則長方形的周長為2_210，梯形的周長為101010610652. 則2_2052，從而解得_16. 解：設(shè)小明所釘長方形的長為_，根據(jù)題意得：2_2101010610610整理得，2_2052解得，_16由于飾物變化前后長度為10的邊沒有變化，所以長方形的一邊長為10厘米. 答：長方形的長為16厘米，寬為

4、10厘米. 評(píng)析：圖形變化問題的等量關(guān)系往往是變化前后的周長相等、面積相等、體積相等. 例2. 一批貨物，甲把原價(jià)降低10元賣出，用售價(jià)的10%做積累，乙把原價(jià)降低20元，用售價(jià)的20%做積累，若兩種積累一樣多，則這批貨物的原售價(jià)是多少？ 分析：設(shè)這批貨物的原售價(jià)為_元，則甲的積累是（_10）10%元，乙的積累是（_20）20%，相等關(guān)系是：甲的積累乙的積累. 解：設(shè)這批貨物的原售價(jià)為_元，根據(jù)題意得：（_10）10%（_20）20%化簡得：_102（_20）即_102_40解得_30答：這批貨物的原售價(jià)為30元. 評(píng)析：這個(gè)問題的相等關(guān)系比較簡單，難點(diǎn)是對(duì)兩個(gè)百分?jǐn)?shù)的處理. 例3. （_年廣

5、東湛江）某足球比賽的計(jì)分規(guī)則為勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分. 一個(gè)隊(duì)踢14場(chǎng)球負(fù)5場(chǎng)共得19分，問這個(gè)隊(duì)勝了幾場(chǎng)？ 分析：根據(jù)題意，所得的19分是踢勝的場(chǎng)數(shù)和踢平的場(chǎng)數(shù)所得的積分，而踢勝的場(chǎng)數(shù)和踢平的場(chǎng)數(shù)共1459場(chǎng)，如果設(shè)勝了_場(chǎng)，那么踢平的場(chǎng)數(shù)就是9_場(chǎng). 分別乘它們的分值，和為19. 解：設(shè)勝了_場(chǎng)，根據(jù)題意得：3_1（14_5）19即3_9_19解得_5答：這個(gè)隊(duì)勝了5場(chǎng). 評(píng)析：積分多少與勝、平、負(fù)的場(chǎng)數(shù)相關(guān)，同時(shí)也與比賽積分規(guī)定有關(guān)，如果對(duì)體育比賽有一定了解，會(huì)有助于理解題意. 例4. （_年安徽）某石油進(jìn)口國這個(gè)月的石油進(jìn)口量比上個(gè)月減少了5%，由于國際油價(jià)上漲，這個(gè)

6、月進(jìn)口石油的費(fèi)用反而比上個(gè)月增加了14%. 求這個(gè)月的石油價(jià)格相對(duì)上個(gè)月的增長率. 分析：數(shù)量關(guān)系如下表：上個(gè)月這個(gè)月石油進(jìn)口量115%進(jìn)口石油費(fèi)用1114%石油價(jià)格11_ 解：設(shè)這個(gè)月的石油價(jià)格相對(duì)上個(gè)月的增長率為_. 根據(jù)題意得：（1_）（15%）114%解得_20%答：這個(gè)月的石油價(jià)格相對(duì)上個(gè)月的增長率為20%. 評(píng)析：借助表格來分析較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系. 這道題所用的相等關(guān)系是：數(shù)量價(jià)格費(fèi)用. 例5. （_年上海）_年以來，我市藥店積極實(shí)施藥品降價(jià)，累計(jì)降價(jià)的總金額為269億元. 五次藥品降價(jià)的年份與相應(yīng)降價(jià)金額如下表所示，表中缺失了_年，_年的相關(guān)數(shù)據(jù). 已知_年藥品降價(jià)金額是_年藥品降

7、價(jià)金額的6倍，結(jié)合表中信息，求_年和_年的藥品降價(jià)金額.年份降價(jià)金額（億元）543540分析：相等關(guān)系較為明顯，可以根據(jù)累計(jì)降價(jià)的總金額為269億元列方程，結(jié)合表格如果設(shè)_年降價(jià)金額為_億元，則_年降價(jià)金額為6_億元，有54_35406_269. 解：設(shè)_年降價(jià)金額為_億元，根據(jù)題意得：54_35406_269整理得，7_140解得，_206_620120答：_年和_年藥品降價(jià)金額分別是20億元和120億元 評(píng)析：這個(gè)問題是以表格形式傳遞信息的，這種形式在現(xiàn)實(shí)中很普遍，重點(diǎn)培養(yǎng)從不同形式獲取有關(guān)數(shù)據(jù)信息，是值得注意的問題. 例6. （_年希望杯初一第1試）初一（1）班有學(xué)生60人，其中參加數(shù)學(xué)

8、小組的有36人，參加英語小組的人數(shù)比參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)少5人，并且這兩個(gè)小組都不參加的人數(shù)比兩個(gè)小組都參加的人數(shù)的多2人，則同時(shí)參加這兩個(gè)小組的人數(shù)是 （ ） a. 16 b. 12 c. 10 d. 8 分析：數(shù)量關(guān)系如下：全班共60人；參加數(shù)學(xué)小組的36人；參加英語小組的是36531人；設(shè)同時(shí)參加兩個(gè)小組的人數(shù)是_人；兩個(gè)小組都不參加的人數(shù)是（_2）人. 如圖所示，可以得另外兩個(gè)數(shù)量關(guān)系：只參加數(shù)學(xué)小組的（36_）人；只參加英語小組的（31_）人. 圖中四部分相加和為60. 即（_2）（36_）（365_）_60. 解得：_12.解：b 評(píng)析：這道題的數(shù)量關(guān)系非常復(fù)雜，但是結(jié)合圖形可以使其

9、變得很明朗. 【方法總結(jié)】應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)去研究和和解決實(shí)際問題，遇到的第一項(xiàng)工作就是建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型. 從這一意義上講，可以說數(shù)學(xué)建模是一切科學(xué)研究的基礎(chǔ). 沒有一個(gè)較好的數(shù)學(xué)模型就不可能得到較好的研究結(jié)果，所以，建立一個(gè)較好的數(shù)學(xué)模型乃是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵之一. 數(shù)學(xué)建模將各種知識(shí)綜合應(yīng)用于解決實(shí)際問題中，是培養(yǎng)和提高同學(xué)們應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力的必備手段之一. 【模擬試題】（答題時(shí)間：60分鐘）一. 選擇題1. 實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)（2）班有學(xué)生56人，已知男生人數(shù)比女生人數(shù)的2倍少11人，求男生和女生各多少人？下面設(shè)未知數(shù)的方法，合適的是 （ ） a. 設(shè)總?cè)藬?shù)為_人 b. 設(shè)男

10、生比女生多_人c. 設(shè)男生人數(shù)是女生人數(shù)的_倍 d. 設(shè)女生人數(shù)為_人2. 甲廠的年產(chǎn)值為7450萬元，比乙廠的年產(chǎn)值的5倍還多420萬元，若設(shè)乙廠的年產(chǎn)值為_萬元，下列所列方程中錯(cuò)誤的是 （ ） a. 5_4207450 b. 74505_420c. 7450（5_420）0 d. 5_420_*. 某種品牌的彩電降價(jià)30%后，每臺(tái)售價(jià)為a元，則該品牌彩電每臺(tái)原價(jià)應(yīng)為 （ ） a. 0.7a元 b. 0.3a元 c. 元 d. 元4. a、b兩城相距720km，普快列車從a城出發(fā)120km后，特快列車從b城開往a城，6h后兩車相遇. 若普快列車是特快列車速度的，且設(shè)普快列車速度為_km/h，

11、則下列所列方程錯(cuò)誤的是 （ ） a. 7206_6120 b. 7201206（_）c. 6_6120720 d. 6（_）1207205. 用兩根長12cm的鐵絲分別圍成正方形和長與寬之比為21的長方形，則長方形和正方形的面積依次為 （ ） a. 9cm2和8cm2 b. 8cm2和9cm2 c. 32cm2和36cm2 d. 36cm2和32cm2*6. 有一位旅客攜帶了30kg重的行李從上海乘飛機(jī)去北京，按民航總局規(guī)定：旅客最多可免費(fèi)攜帶20kg重的行李，超重部分每千克按飛機(jī)票價(jià)格1.5%購買行李票，現(xiàn)該旅客購買了180元的行李票，則他的飛機(jī)票價(jià)格應(yīng)是 （ ） a. 800元 b. 10

12、00元 c. 1200元 d. 1500元二. 填空題1. （_年河北）一件運(yùn)動(dòng)衣按原價(jià)的八折出售時(shí)，售價(jià)是40元，則原價(jià)為_元. 2. 買4本練習(xí)本與3枝鉛筆一共用了4.7元. 已知鉛筆每枝0.5元，則練習(xí)本每本_元. *3. 一個(gè)長方形雞場(chǎng)的一邊靠墻，墻的對(duì)面有一個(gè)2m寬的門，另三邊（門除外）用籬笆圍成，籬笆總長33m，若雞場(chǎng)的長寬32（盡量用墻），則雞場(chǎng)的長為_m，寬為_m. 4. 某市居民_年末的儲(chǔ)蓄存款達(dá)到9079萬元，比_年末的儲(chǔ)蓄存款的15倍還多4萬元，則_年末的存款為_. 5. （_年甘肅省白銀）某商店銷售一批服裝，每件售價(jià)150元，打8折出售后，仍可獲利20元，設(shè)這種服裝的成

13、本價(jià)為每件_元，則_滿足的方程是_. _6. （_年廣東茂名）依法納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)，新的中華人民共和國個(gè)人所得稅法規(guī)定，從_年3月1日起，公民全月工薪不超過_元的部分不必納稅，超過_元的部分應(yīng)繳納個(gè)人所得稅，此項(xiàng)稅款按下表分段累進(jìn)計(jì)算. 黃先生4月份繳納個(gè)人所得稅稅金55元，那么黃先生該月的工薪是_元.全月應(yīng)納稅所得稅額稅率不超過500元的部分5%超過500元至_元的部分10%三. 列方程解應(yīng)用題1. （_年吉林）據(jù)某統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，在我國的664座城市中，按水資源情況可分為三類：暫不缺水城市、一般缺水城市和嚴(yán)重缺水城市. 其中，暫不缺水城市數(shù)比嚴(yán)重缺水城市數(shù)的4倍少50座，一般缺水城市

14、數(shù)是嚴(yán)重缺水城市數(shù)的2倍. 求嚴(yán)重缺水城市有多少座？*2. 甲、乙兩個(gè)工人接受了加工一批服裝的任務(wù)，規(guī)定兩人各加工這批服裝的一半，已知乙的工作效率相當(dāng)于甲的，工作了8小時(shí)，甲完成了自己的任務(wù)，這時(shí)乙還差24件服裝沒有完成. 這批服裝共有多少件？3. 如圖所示，小紅將一個(gè)正方形剪去一個(gè)寬為4cm的長條后，再從剩下的長方形紙片上沿平行短邊的方向剪去一個(gè)寬為5cm的長條. 若兩次剪下的長條面積正好相等，那么每一長條的面積為多少？原正方形的面積為多少？_4. 為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí)，合理利用水資源，某市采用價(jià)格調(diào)控手段以達(dá)到節(jié)約用水的目的. 該市規(guī)定了如下的用水標(biāo)準(zhǔn)：每戶每月的用水不超過6m3時(shí)，水費(fèi)

15、按每立方米a元收費(fèi)；超過6m3時(shí)，不超過部分每立方米仍按a元收費(fèi)，超過部分每立方米按b元收費(fèi). 該市居民張大爺一家今年3、4月份的用水量和水費(fèi)如下表：月份用水量/m3水費(fèi)/元357.54927 設(shè)該戶每月用水量為_（m3），應(yīng)繳水費(fèi)y（元）. （1）求a、b的值，寫出用水不超過6m3和超過6m3時(shí)，y與_之間的代數(shù)表達(dá)式；（2）若張大爺一家今年5月份的用水量為8m3，該戶5月份應(yīng)繳的水費(fèi)是多少？_5. 振華中學(xué)為進(jìn)一步推進(jìn)素質(zhì)教育，把素質(zhì)教育落到實(shí)處，利用課外興趣小組活動(dòng)開展棋類教學(xué)活動(dòng)，以提高學(xué)生的思維能力，開發(fā)智力，七年級(jí)一班有50名同學(xué)，通過活動(dòng)發(fā)現(xiàn)只有1人象棋、圍棋都不會(huì)下，有30人象

16、棋、圍棋都會(huì)下，且會(huì)下象棋的學(xué)生比會(huì)下圍棋的學(xué)生多7人. （1）若設(shè)會(huì)下圍棋的有_個(gè)人，你能列出方程并證明_是35、36、37三個(gè)數(shù)中的哪一個(gè)嗎？（2）你知道只會(huì)下象棋不會(huì)下圍棋的人數(shù)嗎？【試題答案】一. 選擇題1. d 2. d 3. d 4. b 5. b 6. c二. 填空題1. 50 2. 0.8 3. 15 10 （提示：可設(shè)長為3_，寬為2_，則3_2_2_233）4. 605萬元 5. _ 200.81506. 2800 提示：設(shè)黃先生4月份的工薪是_元，如果_在_元2500元，則5%（_）55，解得_3100，不符合題意；如果_在2500元4000元，則10%（_500）5%5

17、0055，解得_2800. 所以黃先生4月份的工薪是2800元. 三. 列方程解應(yīng)用題1. 解：設(shè)嚴(yán)重缺水城市有_座，根據(jù)題意得：4_502_664解得，_102答：嚴(yán)重缺水城市有102座. 2. 解：設(shè)甲每小時(shí)加工服裝_件，則乙的工作效率是每小時(shí)加工_件，根據(jù)題意得：8_824去分母整理得：8_1208_正好是甲完成的工作量，這個(gè)工作量又是總數(shù)的一半，所以這批服裝有1202240件. 答：這批服裝共有240套. 另解：設(shè)這批服裝共有2_件，則（_24），解得_120，2_240. 3. 解：設(shè)原正方形的邊長為_cm，列方程為：4_5（_4）解得，_2042080（cm2），2020400（cm2）答：每一長條的面積為80cm2，原正方形的面積為400cm2. 4. 解：（1）3月份用水5m3不超過6m3，所以水費(fèi)按每立方米a元收取，