第二十九章“投影與視圖”簡(jiǎn)介

1、第二十九章“投影與視圖”簡(jiǎn)介課程教材研究所田載今 一、教科書內(nèi)容和課程學(xué)習(xí)目標(biāo)（一）教科書內(nèi)容本章的主要內(nèi)容包括：1投影的基礎(chǔ)知識(shí)，包括投影、平行投影、中心投影、正投影等概念，正投影的成像規(guī)律；2視圖、三視圖等概念，三視圖的位置和度量規(guī)定，一些基本幾何體的三視圖，簡(jiǎn)單立體圖形（包括相應(yīng)的表面展開圖）與它的三視圖的相互轉(zhuǎn)化；3課題學(xué)習(xí)：制作立體模型。這是由三視圖向立體圖形轉(zhuǎn)化的實(shí)踐活動(dòng)。全章共包括三節(jié)：291 投影292 三視圖293 課題學(xué)習(xí) 制作立體模型29.1 節(jié)首先從物體在日光或燈光下的影子說起，引出投影、平行投影、中心投影、正投影等概念；然后以鐵絲和正方形紙板的影子為例，討論當(dāng)直線和平

2、面多邊形與投影面成三種不同的位置關(guān)系時(shí)的正投影，歸納出其中蘊(yùn)涵的正投影的一般規(guī)律；最后以正方體為例，討論立體圖形與投影面成不同位置關(guān)系時(shí)的正投影。可以發(fā)現(xiàn)，整個(gè)討論過程是按照一維、二維和三維的順序發(fā)展的。29.2節(jié)討論的重點(diǎn)是三視圖，其中包括三視圖的成像原理、三視圖的位置和度量規(guī)定、一些基本幾何體的三視圖等，最后通過6道例題討論簡(jiǎn)單立體圖形（包括相應(yīng)的表面展開圖）與它的三視圖的相互轉(zhuǎn)化。這一節(jié)是全章的重點(diǎn)內(nèi)容，它不僅包括了有關(guān)三視圖的基本概念和規(guī)律，而且包括了反映立體圖形和平面圖形的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的內(nèi)容，與培養(yǎng)空間想象能力有直接的關(guān)系。293節(jié)安排了觀察、想象、制作相結(jié)合的實(shí)踐活動(dòng)“課題學(xué)習(xí) 制作

3、立體模型”，這是結(jié)合實(shí)際動(dòng)腦與動(dòng)手并重的學(xué)習(xí)內(nèi)容。進(jìn)行這個(gè)課題學(xué)習(xí)既可以采用獨(dú)立完成的形式，也可以采用合作式學(xué)習(xí)的方式。應(yīng)該把這個(gè)課題學(xué)習(xí)看作對(duì)前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容是否切實(shí)理解掌握以及能否靈活運(yùn)用的一次聯(lián)系實(shí)際的檢驗(yàn)。本章內(nèi)容與其他章有較為明顯的區(qū)別，它與直觀圖形的關(guān)系密切，需要在圖形形狀方面進(jìn)行想象和判斷，要完成的題目多是識(shí)圖、畫圖、制作模型等類型的問題，而很少涉及定量的計(jì)算。（二）本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖（三）課程學(xué)習(xí)目標(biāo)1以分析實(shí)際例子為背景，認(rèn)識(shí)投影和視圖的基本概念和基本性質(zhì)；2通過討論簡(jiǎn)單立體圖形（包括相應(yīng)的表面展開圖）與它的三視圖的相互轉(zhuǎn)化，使學(xué)生經(jīng)歷畫圖、識(shí)圖等過程，分析立體圖形和平面圖形之間

4、的聯(lián)系，提高空間想象能力；3通過制作立體模型的課題學(xué)習(xí)，在實(shí)際動(dòng)手中進(jìn)一步加深對(duì)投影和視圖知識(shí)的認(rèn)識(shí)，加強(qiáng)在實(shí)踐活動(dòng)中手腦結(jié)合的能力.（四）課時(shí)安排本章教學(xué)時(shí)間約需11課時(shí)，具體分配如下（僅供參考）：291投影 2課時(shí)292 三視圖 5課時(shí)293 課題學(xué)習(xí) 制作立體模型 2課時(shí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié) 2課時(shí)二、本章的編寫特點(diǎn)本章教科書在編寫中力圖體現(xiàn)以下兩個(gè)特點(diǎn)。（一）重視結(jié)合實(shí)際例子討論問題，在直觀認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上歸納基本規(guī)律數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對(duì)象的科學(xué)，數(shù)量關(guān)系和空間形式是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的。很明顯，關(guān)于投影和視圖的知識(shí)是從實(shí)際需要（建筑、制造等）中產(chǎn)生的，它們與實(shí)際模型聯(lián)系得非常

5、緊密。在本章之前，學(xué)生已經(jīng)數(shù)次接觸過“從不同方向看物體”等內(nèi)容，對(duì)投影和視圖的知識(shí)已有初步的、朦朧的了解，只是還沒有明確地接觸過一些基本名詞術(shù)語(yǔ)，對(duì)有關(guān)基本規(guī)律還缺乏歸納總結(jié)。感性認(rèn)識(shí)需要上升為理性認(rèn)識(shí)，理論指導(dǎo)下的實(shí)踐會(huì)更明確有效。本章要在學(xué)生已有的有關(guān)投影和視圖的初步感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，適當(dāng)引入基本概念，歸納基本規(guī)律，使認(rèn)識(shí)水平再次提升。從理論上說，投影和視圖知識(shí)是以立體幾何、畫法幾何等為基礎(chǔ)依據(jù)的，利用這些基礎(chǔ)可以對(duì)投影和視圖進(jìn)行比較深入的分析。但是由于初中學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備的局限，在初中投影和視圖內(nèi)容的教學(xué)不可能完全從理論角度深入進(jìn)行，而應(yīng)該借助直觀模型的作用，作好由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的過渡

6、，比較通俗易懂地介紹一些基本概念、基本原理（規(guī)律）。本章教科書的第一個(gè)編寫特點(diǎn)是：重視結(jié)合實(shí)際例子討論問題，在直觀認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上歸納基本規(guī)律。在引出投影、平行投影、中心投影、正投影等概念時(shí)，教科書利用了在日光或燈光下物體的影子，舉出皮影戲、日晷、探照燈、普通燈泡等實(shí)例；在歸納正投影規(guī)律時(shí)，教科書先后結(jié)合鐵絲、正方形紙板和正方體模型的例子，討論當(dāng)它們與投影面成不同的位置關(guān)系時(shí)的正投影，歸納出其中蘊(yùn)涵的一般規(guī)律；在引出三視圖的概念及規(guī)律時(shí)，先從一本書的簡(jiǎn)單例子分析起，借助它由特殊到一般地展開相關(guān)內(nèi)容，然后再用基本幾何體和支架、鋼管、密封罐等物體為例，進(jìn)行進(jìn)一步的討論。本章最后的課題學(xué)習(xí)，設(shè)計(jì)了動(dòng)手實(shí)

7、踐的活動(dòng)，通過制作簡(jiǎn)單立體模型來加強(qiáng)對(duì)三視圖等的理解認(rèn)識(shí)。這些安排都體現(xiàn)了利用典型例子、借助直觀、適當(dāng)歸納上升的編寫特點(diǎn)。（二）重視平面圖形與立體圖形的聯(lián)系，重在培養(yǎng)空間想象能力在學(xué)習(xí)本章之前，學(xué)生已經(jīng)具有一定的關(guān)于平面圖形與立體圖形的知識(shí)，并且接觸過“從不同方向觀察物體”、基本幾何體的平面展開圖等反映平面圖形與立體圖形之間的聯(lián)系的問題。本章從投影的角度對(duì)如何用三視圖這樣的平面圖形來表示三維立體圖形進(jìn)行進(jìn)一步討論，這有助于將學(xué)生對(duì)于圖形已有的認(rèn)識(shí)加以提高，增強(qiáng)將平面圖形與立體圖形相互轉(zhuǎn)化的能力，從而進(jìn)一步培養(yǎng)空間想象能力。本章教科書的第二個(gè)編寫特點(diǎn)是：重視平面圖形與立體圖形的聯(lián)系，重在培養(yǎng)空間

8、想象能力。教科書在第29.1節(jié) “投影”中，通過介紹有關(guān)投影的概念和規(guī)律，重點(diǎn)反映如何由物體得到其投影。客觀世界中一般的物體形狀都是三維的立體圖形，而它們的影子則是二維平面圖形，由物體產(chǎn)生投影是將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形的過程。從映射角度看，這是從三維空間到二維平面的映射。物體是原像，其投影是影射后的像，原像與像存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，正投影的規(guī)則就是一種映射規(guī)則。教科書在第29.2節(jié) “三視圖”中，從兩方面來反映平面圖形與立體圖形的聯(lián)系。這一節(jié)的前面部分（例4之前，不含例4），主要有三視圖的概念、規(guī)則以及畫形狀簡(jiǎn)單的幾何體的三視圖，這些是由立體圖形得到相應(yīng)平面圖形的過程；這一節(jié)的后面部分（例4以后，含例

9、4），主要為由三視圖想出相應(yīng)物體形狀的內(nèi)容，這些是由平面圖形得到相應(yīng)立體圖形的過程。兩方面結(jié)合起來，就從不同角度反映了平面圖形與相應(yīng)的立體圖形是如何聯(lián)系的。從技能上說，認(rèn)識(shí)平面圖形與立體圖形的聯(lián)系，有助于根據(jù)需要實(shí)現(xiàn)它們之間的相互轉(zhuǎn)化，即學(xué)會(huì)畫三視圖和由三視圖得出立體圖形。從能力上說，認(rèn)識(shí)平面圖形與立體圖形的聯(lián)系，對(duì)于培養(yǎng)空間想象能力上非常重要的。本章的知識(shí)內(nèi)容不多，介紹知識(shí)并不是編寫本章最主要的目的，而最主要的目的是通過學(xué)習(xí)本章能切實(shí)發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。三、兩個(gè)值得關(guān)注的問題本章教學(xué)應(yīng)特別關(guān)注以下問題。（一）教學(xué)中應(yīng)重視聯(lián)系實(shí)際問題，幫助學(xué)生克服立體幾何知識(shí)的不足在本章的教學(xué)中，不可避免

10、地要涉及立體幾何中的一些基礎(chǔ)知識(shí)，例如空間中直線與直線（簡(jiǎn)稱線線）、直線與平面（簡(jiǎn)稱線面）、平面與平面（簡(jiǎn)稱面面）的位置關(guān)系（相交、垂直和平行），但是學(xué)生此前缺乏對(duì)這些知識(shí)的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，只是有一些感性認(rèn)識(shí)。在學(xué)習(xí)本章之前先系統(tǒng)補(bǔ)充立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)是不合適的，因?yàn)檫@需要增加許多課時(shí)，而且擴(kuò)大了課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，加重了學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。教科書的編寫者認(rèn)為，解決這個(gè)問題的比較好的做法是重視相關(guān)內(nèi)容與實(shí)際的聯(lián)系，在不刻意追求對(duì)抽象概念有透徹理解的前提下，選擇一些實(shí)例，利用直觀的、感性的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生能結(jié)合例子了解這些空間位置關(guān)系并能把這種認(rèn)識(shí)遷移到類似情形即可。教科書中這是按照這種認(rèn)識(shí)處理相關(guān)內(nèi)容的

11、。例如，介紹正投影時(shí)涉及投影線與投影面的垂直關(guān)系（線面垂直），教科書在此處采用結(jié)合插圖并使用“投影線正對(duì)著投影面”這樣通俗易懂的語(yǔ)言加以解釋的處理方法，雖然不是十分準(zhǔn)確，但能使學(xué)生了解其基本意思就夠了。又如，介紹正投影的規(guī)律時(shí)，教科書先后選擇了鐵絲、正方形紙板和正方體模型等例子，插圖和文字相結(jié)合，按照維數(shù)從1到3的順序說明有關(guān)平行、斜交和垂直的位置關(guān)系。實(shí)際教學(xué)要比教科書有更大的靈活性，教學(xué)中能動(dòng)態(tài)地展示模型，能直接面對(duì)學(xué)生授業(yè)解惑，應(yīng)充分發(fā)揮這些優(yōu)勢(shì)。因此，建議教學(xué)中在上述問題的處理上，能注意結(jié)合實(shí)物模型，利用直觀演示，比較幾種不同的空間位置關(guān)系，使學(xué)生能夠聯(lián)系例子認(rèn)識(shí)到“像那樣，就是一條直

12、線平行（或垂直，或傾斜）于一個(gè)平面”等，達(dá)到這種認(rèn)識(shí)水平就完全可以繼續(xù)本章的學(xué)習(xí)了，所以沒有必要在本章進(jìn)行線線、線面、面面位置關(guān)系定義的學(xué)習(xí)，這些是學(xué)生今后要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。>（二）教學(xué)中應(yīng)結(jié)合本章內(nèi)容的特點(diǎn)，從不同角度綜合培養(yǎng)空間想象能力空間想象能力是一種重要的數(shù)學(xué)基本能力，本章內(nèi)容非常適合培養(yǎng)這種能力。本章所討論的對(duì)象是投影與視圖，其中沒有很多計(jì)算問題，也沒有形式上的推理證明。這與前面幾章形成明顯的區(qū)別。本章面臨的主要是立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化問題，而掌握立體圖形與相應(yīng)平面圖形的聯(lián)系是實(shí)現(xiàn)上述轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵。要掌握這種聯(lián)系，不僅需要認(rèn)識(shí)從立體圖形到平面圖形的轉(zhuǎn)化過程，還需要認(rèn)識(shí)從平面圖形

13、到立體圖形的轉(zhuǎn)化過程，即需要從兩方面雙向地認(rèn)識(shí)這種聯(lián)系。正因如此，本章教科書在編寫中特別先后安排了“由物畫圖”和“由圖想物”兩類問題，它們各有側(cè)重承擔(dān)了不同的任務(wù)，前者可以使人認(rèn)識(shí)到立體圖形的投影是什么樣的平面圖形，后者可以使人把相關(guān)的平面圖形在頭腦中綜合成為相應(yīng)的立體圖形。兩者又是互相聯(lián)系的，同樣的投影規(guī)則（規(guī)律）在兩類問題中都是考慮問題的依據(jù)。鑒于上述分析，建議在本章的教學(xué)中，注意從不同角度加強(qiáng)對(duì)于空間想象能力的培養(yǎng)。在不同教學(xué)階段，思考問題的角度可能有所不同，要解決的問題也有區(qū)別，“由物畫圖”可以看成是一個(gè)分解（或不同角度分析）的過程，而“由圖想物”是一個(gè)綜合的過程。解決問題有時(shí)需要分解，有時(shí)需要綜合，有時(shí)需要兩者結(jié)合。應(yīng)注意兩者的教學(xué)要有合理的順序，一般說“由物畫圖”是“由圖想物”的基礎(chǔ)，只有認(rèn)識(shí)了視圖所表示的意思，才可能把視圖立體化。教學(xué)中還應(yīng)注意不同階段內(nèi)容之間的聯(lián)系，注重全章教學(xué)的整體綜合