高等數(shù)學(xué)A教學(xué)大綱

1、高等數(shù)學(xué)A教學(xué)大綱(Higher Mathematics)課程代碼218.101.1-2編寫時間2004年6月課程名稱高等數(shù)學(xué)英文名稱Higher Mathematics學(xué)分數(shù)5+5周學(xué)時5+1,5+1任課教師*童裕孫等開課院系*數(shù)學(xué)學(xué)院預(yù)修課程高中數(shù)學(xué)課程性質(zhì)：理科基礎(chǔ)課（理科自然科學(xué)類和技術(shù)科學(xué)類本科一年級學(xué)生）基本要求和教學(xué)目的：要求學(xué)生掌握一元和多元微積分的基本理論、基本方法和基本運算，掌握線性代數(shù)的基本概念和基本方法，能用微積分、常微分方程和線性代數(shù)的工具解決自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)中提出的一些簡單的應(yīng)用問題。高等數(shù)學(xué)的教學(xué)目標不僅在于引導(dǎo)學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)工具，而且旨在培養(yǎng)學(xué)生理性思維的

2、能力，啟迪學(xué)生的智慧和創(chuàng)新意識。課程基本內(nèi)容簡介：一元函數(shù)微積分：55+11線性代數(shù)與空間解析幾何：48+10多元函數(shù)微積分：62+12常微分方程：15+3教學(xué)方式: 課堂講授、課后練習(xí)教材和教學(xué)參考資料作者教材名稱出版社出版年月教材童裕孫等高等數(shù)學(xué)（上），高等數(shù)學(xué)（下） （第二版）高等教育出版社2004年4月、5月參考資料李忠等高等數(shù)學(xué)簡明教程北京大學(xué)出版社1998年陳紀修等數(shù)學(xué)分析高等教育出版社2004年姚慕生高等代數(shù)復(fù)旦大學(xué)出版社2003年教學(xué)內(nèi)容安排：高 等 數(shù) 學(xué)（下） 線性代數(shù)與空間解析幾何（二）五、線性空間和線性變換（2）（學(xué)時數(shù)：6+2）教學(xué)內(nèi)容1二次型及其標準形式二次型與對稱

3、矩陣；化二次型為標準形的幾種方法。2正定二次型慣性定理；正定二次型和對稱正定矩陣；二次曲線的分類；用Cholesky分解解線性方程組。教學(xué)要求1掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型的標準形、規(guī)范形的概念，了解慣性定理。2掌握化二次型為標準形的幾種方法。3掌握二次型和對應(yīng)矩陣的正定性及其判別法。六、空間解析幾何（學(xué)時數(shù)：7+1）教學(xué)內(nèi)容1外積和混合積的性質(zhì)及運算。2直線和平面的各種常用方程。3點到平面、直線的距離，直線與直線、直線與平面的交角。4曲面方程的概念，常用二次曲面的方程及其圖形，以坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。5空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。教學(xué)要求1掌握向量的外

4、積和混合積的概念、性質(zhì)及運算。2掌握常用平面方程和直線方程及其求法，能根據(jù)平面和直線的相互關(guān)系解有關(guān)問題。3掌握點到平面、直線的距離的計算方法，掌握直線與直線、直線與平面的交角的計算方法。4理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求以坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。5了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。 多元函數(shù)微積分七、多元函數(shù)微分學(xué)（學(xué)時數(shù)：20+4）教學(xué)內(nèi)容1多元函數(shù)的極限與連續(xù)中的點集；多元函數(shù)的概念；多元函數(shù)的連續(xù)性；有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。2全微分與偏導(dǎo)數(shù)全微分；偏導(dǎo)數(shù)；偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計算；空間曲面的切平面（1）；高階偏導(dǎo)數(shù)；可微映射；空間曲

5、線的切線（1）。3鏈式求導(dǎo)法則多元函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則；全微分的形式不變性；復(fù)合映射的導(dǎo)數(shù)；坐標變換下的微分表達式。4隱函數(shù)微分法及其應(yīng)用一元函數(shù)的隱函數(shù)存在定理；多元函數(shù)的隱函數(shù)存在定理；多元函數(shù)組的隱函數(shù)存在定理；空間曲面的切平面（2）；空間曲線的切線（2）。5方向?qū)?shù)、梯度方向?qū)?shù)；數(shù)量場的梯度；等值面的法向量；勢量場。6Taylor公式二元函數(shù)的Taylor公式；元函數(shù)的Taylor公式。7極值多元函數(shù)的無條件極值；函數(shù)的最值；最小二乘法；條件極值。教學(xué)要求1了解中點的鄰域、內(nèi)點、開集、區(qū)域等概念。2理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義。3理解多元函數(shù)的極限及連續(xù)的概念，了解有界閉

6、區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。4理解多元函數(shù)的全微分和偏導(dǎo)數(shù)的概念，掌握偏導(dǎo)數(shù)和全微分的計算法，了解全微分在近似計算中的應(yīng)和，掌握高階偏導(dǎo)數(shù)的計算。5掌握多元函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則，了解全微分的形式不變性。6了解可微映射的概念，了解復(fù)合映射的求導(dǎo)法則。7會計算坐標變換下的微分表達式。8會求空間曲面的切平面和空間曲線的切線。9理解方向?qū)?shù)與梯度的概念，并掌握其計算方法。10了解二元函數(shù)和元函數(shù)的Taylor公式。11理解多元函數(shù)的極值與條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件和充分條件，會用Lagrange乘數(shù)法求條件極值，會求簡單的多元函數(shù)的最大值和最小值問題的解。八、多元函數(shù)積分學(xué)（學(xué)時數(shù)：20+

7、5）教學(xué)內(nèi)容1重積分的概念及其性質(zhì)重積分概念的背景；重積分的概念；重積分的性質(zhì)。2二重積分的計算直角坐標系下二重積分的計算；二重積分的交量代換法；極坐標系下二重積分的計算。3三重積分的計算及應(yīng)用直角坐標系下三重積分的計算；三重積分的變量代換；柱坐標變換和球坐標變換；重積分的應(yīng)用：重心與轉(zhuǎn)動慣量；引力。4兩類曲線積分曲線的弧長；第一類曲線積分的概念及性質(zhì)；第一類曲線積分的計算；第二類曲線積分的概念及性質(zhì)；第二類曲線積分的計算；兩類曲線積分的關(guān)系。5第一類曲面積分曲面的面積；第一類曲面積分的概念；第一類曲面積分的計算。6第二類曲面積分曲面的側(cè)與有向曲面；第二類曲面積分的概念及性質(zhì)；第二類曲面積分的

8、計算。7Green公式和Stokes公式Green公式；Stokes公式。8旋度和無旋場環(huán)量和旋度；無旋場、保守場和勢量場；原函數(shù)。9Gauss公式和散度流場的流出量；Gauss公式；散度；Hamilton算符和Laplace算符。教學(xué)要求1理解二重積分和三重積分的概念及性質(zhì)。2掌握直角坐標系下二重積分和三重積分的計算，掌握二重積分和三重積分計算中的變量代換法。3掌握用積分計算重心、轉(zhuǎn)動慣量和引力的方法。4理解曲線弧長的概念，理解第一類曲線積分的概念性質(zhì)，掌握第一類曲線積分的計算。5理解第二類曲線積分的概念，性質(zhì)，并掌握其計算。6了解兩類曲線積分的關(guān)系。7理解曲面面積的概念，理解第一類曲面積分

9、的概念，性質(zhì)并掌握其計算。8了解有向曲面的概念，理解第二類曲面積分的概念，性質(zhì)，并掌握其計算。9掌握Green公式、Stokes公式和Gauss公式，并會利用它們計算積分。10了解環(huán)量與通量的概念，理解旋度與散度的概念。11理解無旋場，保守場和勢量場的概念與關(guān)系，會求全微分的原函數(shù)，會運用曲線積分與路徑無關(guān)的條件。12了解Hamilton算符和Laplace算符，了解Green恒等式。九、級數(shù)（學(xué)時數(shù)：15+3）教學(xué)內(nèi)容1數(shù)項級數(shù)級數(shù)的概念；級數(shù)的基本性質(zhì)；級數(shù)的Cauchy收斂原理；正項級數(shù)的比較判別法；正項級數(shù)的Cauchy判別法與D'Alembert判別法；Leibniz級數(shù)；級

10、數(shù)的乘法。2冪級數(shù)函數(shù)項級數(shù)；冪級數(shù)；冪級數(shù)的收斂半徑；冪級數(shù)的性質(zhì)；Taylor級數(shù)與余項公式；初等函數(shù)的Taylor展開。3Fourier級數(shù)周期為的函數(shù)的Fourier展開；正弦級數(shù)和余弦級數(shù)；任意周期的函數(shù)的Fourier展開；Fourier級數(shù)的收斂性。4Fourier變換初步Fourier變換及其逆變換；Fourier變換的性質(zhì)；離散Fourier變換。教學(xué)要求1理解數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散及收斂級數(shù)和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件，了解級數(shù)的Cauchy收斂原理。2掌握幾何級數(shù)和級數(shù)收斂與發(fā)散的條件。3掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法，Cauchy判別法和D'Alem

11、bert判別法。4了解任意項數(shù)的絕對收斂與條件收斂的概念及關(guān)系，掌握交錯級數(shù)的Leibniz判別法。5了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。6掌握冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間的求法。7了解冪級數(shù)的連續(xù)性、逐項微分和逐項積分等性質(zhì)，并能利用這些性質(zhì)求一些冪級數(shù)的和函數(shù)與某些數(shù)項級數(shù)的和。8了解Taylor級數(shù)與余項公式，掌握基本初級函數(shù)的Taylor展開。9了解Fourier級數(shù)的概念，會將定義在-L，L上的函數(shù)展開面Fourier級數(shù)，會將定義于0，L上的函數(shù)展開成正弦級數(shù)或余弦級數(shù)，了解Fourier級數(shù)的收斂性。10了解Fourier變換及其逆變換的概念，了解Fourier變換的性質(zhì)。常微分

12、方程十、常微分方程（學(xué)時數(shù)：15+3）教學(xué)內(nèi)容1常微分方程的概念2一階常微分方程變量可分離方程；齊次方程；全微分方程；線性方程；Bernoulli方程。3二階線性微分方程二階線性微分方程；線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)；二階常系數(shù)齊次方程的通解；二階常系數(shù)非齊次方程；Euler方程。4可降階的高階微分方程形式為的方程；形式為方程；形式為的方程。5微分方程的冪級數(shù)解法6常系數(shù)線性微分方程組簡介教學(xué)要求1了解微分方程的階、通解、初始條件及特解的概念。2掌握變量可分離方程和一階線性方程的解法。3會解齊次方程、全微分方程和Bernoulli方程。4理解線性微分方程的概念，理解線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。5掌握二階常

13、系數(shù)齊次線性微分方程的解法。6會求自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解。7會解Euler方程。8會解一些可降階的高階微分方程。9掌握微分方程的冪級數(shù)解法。10會解簡單的常系數(shù)線性線分方程組。11會用微分方程解決一些簡單的應(yīng)用問題。高 等 數(shù) 學(xué)（上） 一元函數(shù)微積分一、極限與連續(xù)（學(xué)時數(shù)：15+3）教學(xué)內(nèi)容1函數(shù)函數(shù)概念；函數(shù)的圖象；函數(shù)的性質(zhì)；復(fù)合函數(shù)；反函數(shù)；初等函數(shù)。2數(shù)列的極限無窮小量；無窮小量的運算；數(shù)列的極限；收斂數(shù)列的性質(zhì)；單調(diào)有界數(shù)列；Cauchy收斂準則。3函數(shù)的極限自變量趨于有限值時函數(shù)的極限；極限的性質(zhì)；單側(cè)極限；無窮遠處

14、的極限；曲線的漸近線。4連續(xù)函數(shù)函數(shù)在一點的連續(xù)性；函數(shù)的間斷點；區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；無窮小和無窮大的連續(xù)變量。教學(xué)要求1理解函數(shù)、函數(shù)的圖象、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性等概念及性質(zhì)。2理解復(fù)合函數(shù)的概念，了解反函數(shù)的概念。3掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖象，了解初等函數(shù)的概念。4理解數(shù)列極限的概念。5掌握數(shù)列極限的性質(zhì)及四則運算法則。6掌握單調(diào)有界數(shù)列必有極限的準則，掌握數(shù)列極限的夾逼準則，并會利用它們求極限，了解Cauchy收斂原理。7理解函數(shù)極限的概念（含自變量趨于有限值或無窮大時的極限及單側(cè)極限）。8掌握函數(shù)極限的性質(zhì)及四則運算法則，掌握利用兩個重要的極限

15、求有關(guān)的極限。9會求曲線的水平、垂直和斜漸近線。10理解無窮小和無窮大的概念，掌握無窮小的比較法，會用等價無窮小求極限。11理解函數(shù)連續(xù)性的概念，會判斷函數(shù)的間斷性。12了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)的簡單應(yīng)用。二、微分與導(dǎo)數(shù)（學(xué)時數(shù)：20+4）教學(xué)內(nèi)容1微分與導(dǎo)數(shù)的概念微分的概念；導(dǎo)數(shù)的概念；導(dǎo)數(shù)的意義；微分的幾何意義。2求導(dǎo)運算初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；四則運算的求導(dǎo)法則；復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則；反函數(shù)求導(dǎo)法則；對數(shù)求導(dǎo)法；高階導(dǎo)數(shù)。3微分運算基本初等函數(shù)的微分公式；微分運算法則；一階微分的形式不變性；隱函數(shù)求導(dǎo)法；參數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo)；微分的應(yīng)用：

16、近似計算、誤差估計。4微分學(xué)中值定理局部極值與Fermat定理；Rolle定理；微分學(xué)中值定理；Cauchy中值定理。5L'Hospital法則型的極限；型的極限；其它不定型的極限。6Taylor公式帶Peano余項的Taylor公式；帶Lagrange余項的Taylor公式；Machlaurin公式。7函數(shù)的單調(diào)性和凸性函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的極值；最大值和最小值；函數(shù)的凸性；曲線的拐點；函數(shù)圖象的描繪。8方程的近似求解教學(xué)要求1理解微分和導(dǎo)數(shù)的概念、關(guān)系和幾何意義。會用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可微性和連續(xù)性的關(guān)系。2熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則，熟練掌握基本

17、初等函數(shù)的求導(dǎo)公式、掌握反函數(shù)求導(dǎo)方法，隱函數(shù)求導(dǎo)方法和參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法，掌握對數(shù)求導(dǎo)法。3理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。4了解微分的四則運算法則和一階微分的形式不變性，會求函數(shù)的微分，了解微分在近似計算和誤差估計中的應(yīng)用。5理解并能應(yīng)用Rolle定理，Lagrange微分學(xué)中值定理，了解并會用Cauchy中值定理。6掌握用L'Hospital法則求未定式極限的方法。7掌握帶Peano余項和Lagrange余項的Taylor公式，掌握Maclaurin公式。8理解函數(shù)極值的概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用。

18、9掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凸性和拐點的方法。10掌握根據(jù)函數(shù)的微分性質(zhì)描繪函數(shù)圖象的方法。11了解求方程近似解的Newton切線法。三、一元函數(shù)積分學(xué)（學(xué)時數(shù)：20+4）教學(xué)內(nèi)容1定積分的概念、性質(zhì)和微積分基本定理面積問題；路程問題；定積分的定義；定積分的性質(zhì)；原函數(shù)；微積分基本定理。2不定積分的計算不定積分；基本不定積分表；第一類換元積分法（湊微分法）；第二類換元積分法；分部積分法；有理函數(shù)的積分；某些無理函數(shù)的積分；三角函數(shù)有理式的積分。3定積分的計算分部積分法；換元積分法；數(shù)值積分：梯形公式、拋物線公式（Simpson公式）。4定積分的應(yīng)用微元法；面積問題：直角坐標下的區(qū)域、極坐標下的區(qū)域；

19、已知平行截面面積求體積；旋轉(zhuǎn)體的體積；曲線的弧長；旋轉(zhuǎn)曲面的面積；由分布密度求分布總量：質(zhì)量、引力、液體對垂直壁的壓力；動態(tài)過程的累積效應(yīng)：功。5廣義積分無窮限的廣義積分；比較判別法；無界函數(shù)的廣義積分；Cauchy主值積分；函數(shù)；函數(shù)。教學(xué)要求1理解定積分的概念、意義和性質(zhì)，理解原函數(shù)的概念。2掌握微積分基本定理。3掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的第一換元積分法和第二換元積分法，掌握分部積分法。4會計算有理函數(shù)的積分、某些無理函數(shù)的積分和三角函數(shù)有理式的積分。5掌握定積分計算的換元積分法和分部積分法。6了解數(shù)值積分的梯形公式和Simpson公式。7了解定積分應(yīng)用的微元法，掌握用定積分表

20、達和計算一些幾何量和物理量的方法（包括平面圖形的面積，已知平行截面面積求體積，旋轉(zhuǎn)體的體積，曲線的弧長，旋轉(zhuǎn)曲面的面積，質(zhì)量、引力、液體對垂直壁的壓力，功）。8了解廣義積分的概念，掌握關(guān)于廣義積分收斂性的比較判別法，了解Cauchy主值積分，會計算廣義積分。了解函數(shù)和函數(shù)的概念及基本性質(zhì)。 線性代數(shù)與空間解析幾何（一）四、矩陣和線性方程組（學(xué)時數(shù)：22+4）教學(xué)內(nèi)容1向量與矩陣向量；矩陣；矩陣的運算；分塊矩陣的運算。2行列式階行列式的定義；行列式的性質(zhì)。3逆陣逆陣的定義；用初等變換求逆陣；Cramer法則。4向量的線性關(guān)系線性相關(guān)與線性無關(guān)；與線性關(guān)系有關(guān)的性質(zhì)。5秩向量組的秩；矩陣的秩。6線性方程組齊次線性方程組；非齊次線性方程組；Causs消去法；Jacobi迭代法。教學(xué)要求1理解向量和矩陣的概念。掌握矩陣的線性運算、乘法、轉(zhuǎn)置、共軛轉(zhuǎn)置以及它們的運算規(guī)則，了解分塊矩陣的概念、性質(zhì)及運算。2理解階行列式的定義，掌握行列式的性質(zhì)，并能利用這些性質(zhì)計算行列式。3理解逆矩陣的概念，掌握矩陣可逆的主要條件，會用初等變換求逆陣，會用伴隨矩陣求矩陣的逆。4理解向量組線性相關(guān)和線性無