重力梯度對(duì)超大柔性空間結(jié)構(gòu)在軌動(dòng)力學(xué)特性的影響（

1、重力梯度對(duì)超大柔性空間結(jié)構(gòu)在軌動(dòng)力學(xué)特性的影響*收稿日期：2014-XX-XX 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11572069,11372056,11432010, 11502040）；作者簡(jiǎn)介：穆瑞楠（1990），男，遼寧大連人，博士研究生，E-mail：mrn2013； 譚述君（1979），男，山東濰坊人，副教授，博士，E-mail：tansj； 吳志剛（通信作者），男，河北邯鄲人，教授，博士，博士生導(dǎo)師，E-mail：wuzhg穆瑞楠1，譚述君2，吳志剛1,2（1. 大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024；2. 大連理工大學(xué) 航空航天學(xué)院，遼寧 大連

2、 116024）摘要：空間太陽能電站是一種具有超大和高柔性特征的空間結(jié)構(gòu)，這種空間結(jié)構(gòu)在尺寸上遠(yuǎn)超以往的航天器，給動(dòng)力學(xué)特性的研究帶來了新現(xiàn)象與新問題。以千米量級(jí)的啞鈴模型為研究對(duì)象，考慮重力梯度影響，建立了Hamilton體系下的在軌動(dòng)力學(xué)模型，利用辛龍格庫塔法得到了不同參數(shù)取值下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。通過對(duì)比仿真結(jié)果，得到了結(jié)構(gòu)尺寸與重力梯度對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)、姿態(tài)運(yùn)動(dòng)影響的定量關(guān)系。重點(diǎn)討論了姿態(tài)-柔性振動(dòng)耦合現(xiàn)象，包括姿態(tài)運(yùn)動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)曲線外部包絡(luò)線樣式的作用方式，以及柔性振動(dòng)對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)周期的改變。關(guān)鍵詞：空間太陽能電站；超大柔性空間結(jié)構(gòu)；Hamilton方程；啞鈴模型；重力梯度；耦合；中圖分類號(hào)：V

3、11 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)： Effect of gravity gradient on dynamical characteristics of very large flexible space structures in orbitMU ruinan2, TAN shujun1, WU zhigang1,2(1.School of Aeronautics and Astronautics, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China；2.State Key Laboratory of Structural Analysis

4、 for Industrial Equipment，Dalian University of Technology, Dalian 116024, China) Abstract: Space Solar Power Station is a kind of space structure with large size and high flexibility. It is far larger than the previous spacecraft in size, which results in new phenomenon and new problems on the study

5、 of dynamical characteristics. The kilometer-scale dumbbell model is studied. The Hamiltons dynamical model on orbit is established under the effect of gravity gradient. The symplectic Runge-Kutta method is used with different combinations of parametrical values to obtain dynamical responses. By com

6、paring the simulation results, the quantitative relationships are determined respectively between the size of space structure and the effect of gravity gradient on orbital motion and attitude motion. The coupling phenomenon between attitude motion and elastic vibration is discussed, including the in

7、fluence of attitude motion on the external envelope curve of elastic vibration response and the change of the period of attitude motion by elastic vibration對(duì)應(yīng)審稿意見2，修改單詞誤用.Keywords: Space solar power station; very large flexible space structure; Hamiltonian equation; dumbbell model; gravity gradient;

8、 coupling;0 引言早在1968年，美國(guó)科學(xué)家Glaser就首先提出了建造空間太陽能電站的構(gòu)想1。因其可實(shí)現(xiàn)連續(xù)工作、能量利用率高等諸多優(yōu)點(diǎn)，受到美國(guó)、日本、歐洲等發(fā)達(dá)國(guó)家的重點(diǎn)關(guān)注，并相繼開展了大量的研究工作2-5。目前，國(guó)際上提出的空間太陽能電站的概念設(shè)計(jì)已達(dá)幾十種。美國(guó)NASA先后提出了“1979SPS基準(zhǔn)系統(tǒng)” 以及“集成對(duì)稱聚光系統(tǒng)” 5,8，日本JAXA也先后提出了“SPS2003系統(tǒng)”以及“分布式繩系太陽能電站衛(wèi)星” 6,7，歐空局提出了“太陽帆塔”8。 在NASA創(chuàng)新概念項(xiàng)目支持下， 由美國(guó)、日本和英國(guó)科學(xué)家于2012年共同提出了一種新的空間太陽能電站概念方案“SPS-

9、ALPHA”8。在眾多的概念設(shè)計(jì)中有一個(gè)共同點(diǎn)，那就是結(jié)構(gòu)尺寸都達(dá)到千米量級(jí)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過目前低地球軌道(LEO)上最大的航天器國(guó)際空間站，具有超大和高柔性的結(jié)構(gòu)特性。這種超大和高柔性的空間結(jié)構(gòu)給動(dòng)力學(xué)特性的研究帶來了姿態(tài)-柔性振動(dòng)耦合等復(fù)雜的新現(xiàn)象和新問題。不論是在軌組裝，還是長(zhǎng)時(shí)間在軌運(yùn)行，都需要對(duì)結(jié)構(gòu)的軌道和姿態(tài)響應(yīng)做出準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)。因此，在軌動(dòng)力學(xué)特性分析是影響這種超大柔性空間結(jié)構(gòu)研究和發(fā)展的重要因素。已有很多學(xué)者利用簡(jiǎn)單的啞鈴結(jié)構(gòu)開展了大型空間結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性與耦合關(guān)系的研究。Malla9針對(duì)一維啞鈴模型提出了考慮重力梯度的Lagrange形式的動(dòng)力學(xué)方程，并通過比較在不同初始條件、質(zhì)量比

10、、軌道高度、軌道偏心率下的數(shù)值仿真結(jié)果，研究了結(jié)構(gòu)軸向變形、姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和軌道運(yùn)動(dòng)之間的耦合關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了三者之間復(fù)雜的耦合關(guān)系，同時(shí)研究了熱輻射對(duì)耦合關(guān)系的影響。Ishimura10基于Malla9建立的動(dòng)力學(xué)方程，將日本的繩系空間太陽能電站結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為啞鈴模型，并在平衡位置對(duì)方程進(jìn)行線性化，同樣采用數(shù)值仿真的方式，研究了質(zhì)量比、頻率比以及長(zhǎng)度比三個(gè)系統(tǒng)參數(shù)對(duì)軸向振動(dòng)、姿態(tài)以及軌道之間耦合關(guān)系的影響，用線性方程的特征值來表征系統(tǒng)參數(shù)的影響程度，發(fā)現(xiàn)軸向振動(dòng)頻率和軌道頻率的比值影響最大，兩端集中質(zhì)量的比值影響較大。McClamroch11,12在啞鈴模型的平衡位置處導(dǎo)出了線性化方程，研究了線性化方程在

11、啞鈴模型軸向和橫向驅(qū)動(dòng)力作用下的可控性問題，指出幾種欠驅(qū)動(dòng)可以完成軌道、姿態(tài)、變形的控制。結(jié)合軌道角動(dòng)量守恒，進(jìn)一步采用Routh簡(jiǎn)化得到的降階方程，該方程顯示只利用姿態(tài)和變形驅(qū)動(dòng)，就可以實(shí)現(xiàn)軌道、姿態(tài)和變形的控制。在以上工作均沒有開展關(guān)于重力梯度對(duì)耦合關(guān)系影響的研究，而這種影響在尺寸相對(duì)較小的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究中已有很多工作。Ashley13引入機(jī)翼研究的模態(tài)分析方法，建立了桿和梁在小變形、大變形時(shí)的模型，研究了重力梯度對(duì)姿態(tài)和結(jié)構(gòu)變形的影響，此外研究了旋轉(zhuǎn)對(duì)姿態(tài)和結(jié)構(gòu)變形的影響，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)的影響與重力梯度的影響量級(jí)相同。Hughes14導(dǎo)出了在中心引力場(chǎng)的剛體所受的重力梯度力矩，并得到保留到四階

12、的Taylor展開表達(dá)式，提出了一種慣性矩的新定義，討論了重力梯度力矩高階項(xiàng)的影響，發(fā)現(xiàn)高階項(xiàng)的作用不能忽略。通過以上工作可以發(fā)現(xiàn)，重力梯度對(duì)耦合關(guān)系的影響極其重要，尤其在超大柔性空間結(jié)構(gòu)在軌動(dòng)力學(xué)特性與耦合關(guān)系的研究中需要重點(diǎn)考慮。本文的主要工作是建立一維啞鈴模型的Hamilton體系的動(dòng)力學(xué)模型；分別分析了在低軌的圓軌道和小偏心率軌道重力梯度和對(duì)超大柔性空間結(jié)構(gòu)的軌道運(yùn)動(dòng)和姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響，同時(shí)研究了在重力梯度的作用下柔性振動(dòng)和姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的耦合效應(yīng)。1 啞鈴模型的動(dòng)力學(xué)方程一維啞鈴模型是一種簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)，其將結(jié)構(gòu)總質(zhì)量簡(jiǎn)化為兩端集中質(zhì)量，中間由只有軸向變形能力的柔性桿連接，啞鈴模型受理想地球（質(zhì)點(diǎn)

13、）的重力場(chǎng)作用，在軌道平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)審稿意見4，說明本文中為理想地球（質(zhì)點(diǎn)）重力場(chǎng)，如圖1所示。這種啞鈴模型可用于重力梯度穩(wěn)定衛(wèi)星的建模，又在JAXA繩系太陽能電站衛(wèi)星的研究中發(fā)揮重要作用6。盡管啞鈴模型結(jié)構(gòu)十分簡(jiǎn)單，但包含軌道、姿態(tài)和結(jié)構(gòu)變形的耦合，適合初步的研究工作。圖1 一維啞鈴模型示意圖Fig.圖1圖1 Model of a one-dimensional dumbbell首先基于Lagrange變分原理，建立了考慮重力梯度柔性體模型（FDBwithGG）的Hamilton正則方程。定義廣義坐標(biāo)為軌道半徑rc，軌道角，姿態(tài)角和結(jié)構(gòu)尺寸x。其中軌道半徑rc為結(jié)構(gòu)質(zhì)心到地心的距離；軌道角為

14、以零時(shí)刻結(jié)構(gòu)質(zhì)心和地心連線與當(dāng)前時(shí)刻質(zhì)心和地心連線之間的夾角；姿態(tài)角為結(jié)構(gòu)軸線方向與軌道法線方向之間的夾角；結(jié)構(gòu)尺寸x為兩個(gè)集中質(zhì)量之間的距離。則其系統(tǒng)動(dòng)能為(1)其中mc=m1+m2，m1和m2分別為兩端集中質(zhì)量，=(m1m2)/mc?？梢娤到y(tǒng)動(dòng)能是由軌道動(dòng)能、姿態(tài)動(dòng)能以及結(jié)構(gòu)動(dòng)能組成。系統(tǒng)勢(shì)能為 (2)其中r1，r2分別為兩端集中質(zhì)量的軌道半徑；x1，x2分別為兩端集中質(zhì)量到質(zhì)心的距離；為地球引力常數(shù)；為萬有引力常數(shù)；k=EA/xs為結(jié)構(gòu)等效剛度系數(shù)；E為桿的軸向彈性模量；A為桿的截面面積；xs為結(jié)構(gòu)原始尺寸。定義pr，p，p，px分別為廣義坐標(biāo)rc，x對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量，則Hamilton正

15、則方程為： (3) (4)其中Qr，Q，Q，Qx分別是廣義坐標(biāo)rc，和x對(duì)應(yīng)的外部非保守廣義力。式(3)和式(4)中含有地球引力常數(shù)的項(xiàng)為重力項(xiàng)?；谏厦娼⒌目紤]重力梯度的柔性體模型(FDBwithGG)，通過對(duì)考慮重力梯度的柔性體模型簡(jiǎn)化可以給出其他三種模型。如令x1= x2=0且r1= r2= rc，則上式簡(jiǎn)化為不考慮重力梯度的柔性體啞鈴模型(FDBwithoutGG)；如令x=xs，則上式簡(jiǎn)化為考慮重力梯度的剛體啞鈴模型(SDBwithGG)；如令x1= x2=0，x=xs且r1= r2= rc，不考慮柔性，則上式簡(jiǎn)化為不考慮重力梯度的剛體啞鈴模型(SDBwithoutGG)。對(duì)應(yīng)審稿

16、意見1，略去式(5)-式(10)，并用文字對(duì)略去公式進(jìn)行描述對(duì)比考慮重力梯度的剛體模型(SDBwithGG)與不考慮重力梯度的剛體模型(SDBwithoutGG)，可以研究重力梯度的影響；而對(duì)比考慮重力梯度的柔性體模型(FDBwithGG)和考慮重力梯度的剛體模型(SDBwithGG)可以研究在重力梯度作用下柔性振動(dòng)的影響。對(duì)比四種模型中軌道運(yùn)動(dòng)方程，可以發(fā)現(xiàn)考慮重力梯度時(shí)重力項(xiàng)與姿態(tài)角有關(guān)，而不考慮重力梯度時(shí)則無關(guān)；不考慮重力梯度時(shí)，姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程中不含有重力項(xiàng)，只受軌道角速度以及結(jié)構(gòu)變形的影響，而考慮重力梯度時(shí)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)受重力梯度、軌道角速度以及結(jié)構(gòu)變形的共同影響；柔性振動(dòng)方程中存在耦合項(xiàng)p，

17、當(dāng)不考慮重力梯度且外部廣義力Q為零時(shí)，p為常值，且可以由初始條件確定，則耦合項(xiàng)相當(dāng)于常力作用在結(jié)構(gòu)上，即結(jié)構(gòu)振動(dòng)只受初始條件影響。對(duì)應(yīng)審稿意見1，調(diào)整了相關(guān)公式引用2 模型參數(shù)的確定利用已經(jīng)建立的啞鈴模型，進(jìn)行了重力梯度對(duì)超大柔性空間結(jié)構(gòu)的軌道運(yùn)動(dòng)、姿態(tài)運(yùn)動(dòng)以及柔性振動(dòng)的影響的分析，并研究了結(jié)構(gòu)柔性振動(dòng)與姿態(tài)運(yùn)動(dòng)特殊的耦合效應(yīng)?？紤]到“低軌組裝和高軌運(yùn)行”是目前空間太陽能電站的一種主要設(shè)計(jì)方案，同時(shí)在低軌上重力梯度的影響更為顯著，所以本文分析中的軌道均選擇軌道高度為200 km的低地球軌道（LEO）。本文重點(diǎn)研究重力梯度對(duì)超大柔性空間結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響，因此忽略了熱輻射、太陽光壓等空間環(huán)境干

18、擾。因此，模型中在廣義動(dòng)量導(dǎo)數(shù)方程右端的外部非保守力均為零（即Qr=Q=Q=Qx=0）。軌道形狀分為在圓軌道和小偏心率軌道（e=0.0785）上兩種情況。2.1物理參數(shù)及初始條件選取啞鈴模型兩端集中質(zhì)量為m1=m2=5.0105 Nmin2/km（即1.8106 kg）對(duì)應(yīng)審稿意見2，增加國(guó)際單位形式的啞鈴模型兩端集中質(zhì)量數(shù)值，中間柔性桿的原始尺寸xs和軸向剛度k分別是影響重力梯度以及柔性振動(dòng)的重要參數(shù)，不同情況對(duì)應(yīng)不同取值，若無說明則xs=1.0 km，k=ks=1.63859108 N/km。涉及到的常數(shù)有：地球平均半徑R=6378 km，萬有引力常數(shù)G=8.6443210-9km4/(N

19、min4)，地球引力常數(shù)=1.43496109 km3/min2。柔性體模型需要8個(gè)初始條件，而剛體模型需要6個(gè)初始條件，分別對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)以及它們導(dǎo)數(shù)的初始值，分別表示為rc(0)，(0)，(0)，x(0)，(0)，(0)，(0)以及(0)。為了計(jì)算結(jié)果的有效性及可比較性，給出一些關(guān)于初始條件的假設(shè)。假設(shè)結(jié)構(gòu)從近地點(diǎn)或遠(yuǎn)地點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，則(0)=(0)=0，rc(0)=6578 km；在圓軌道時(shí)，(0)=0.071003391567 rad/min，在小偏心率軌道時(shí)，(0)=0.073737628934223 rad/min；而(0)和(0)沒有特殊要求，在所有情況下均假設(shè)為0；(0)和x(0

20、)分別是影響重力梯度以及柔性振動(dòng)的重要參數(shù)，不同情況對(duì)應(yīng)不同取值，若無說明則(0) =0，x(0)=xs。2.2數(shù)值求解方法的確定在以前的研究工作中9-12，啞鈴模型的動(dòng)力學(xué)方程通常采用的是Lagrange方程的形式，而數(shù)值算法采用的是傳統(tǒng)非保辛的Runge-Kutta對(duì)應(yīng)審稿意見2，修改單詞拼寫錯(cuò)誤（RK）法。而本文則采用了Hamilton形式的動(dòng)力學(xué)模型以及專著15對(duì)應(yīng)審稿意見3，增加SRK法出處引用中的Symplectic Runge-Kutta對(duì)應(yīng)審稿意見2，修改單詞拼寫錯(cuò)誤（SRK）法的數(shù)值算法。傳統(tǒng)的RK法是經(jīng)典的非保辛方法，而專著15中的SRK法是經(jīng)典的保辛方法，通過對(duì)比這兩種方

21、法的仿真結(jié)果，可以說明保辛方法在求解在軌動(dòng)力學(xué)響應(yīng)問題中的優(yōu)勢(shì)。對(duì)應(yīng)審稿意見3，明確數(shù)值求解方法對(duì)比的目的相比于RK法，SRK法具有保辛優(yōu)勢(shì)，能夠使得動(dòng)量及能量?jī)煞N守恒量殘差不會(huì)隨積分時(shí)間增大而增大，使得仿真結(jié)果更準(zhǔn)確的反映守恒系統(tǒng)的本質(zhì)特征，這對(duì)于揭示長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)行系統(tǒng)的特性是非常重要的。同時(shí)，Lagrange和Hamilton兩種模型形式在物理本質(zhì)上完全等價(jià)，但利用Hamilton形式動(dòng)力學(xué)方程可以得到更好的系統(tǒng)守恒特征。通過對(duì)比質(zhì)點(diǎn)模型軌道運(yùn)動(dòng)的守恒量變化可以簡(jiǎn)要說明Hamilton形式動(dòng)力學(xué)方程與SRK法組合的優(yōu)勢(shì)。質(zhì)點(diǎn)的初始條件為rc(0)=6578 km，(0)=0.04 rad/mi

22、n，(0)= (0)=0；設(shè)置求解步長(zhǎng)為0.5 min，求解時(shí)長(zhǎng)1000 min。表1給出了RK法與Hamilton形式方程，SRK法與Hamilton形式方程，以及SRK法與Lagrange形式方程的結(jié)果。在這個(gè)算例中RK法給出的殘差隨著時(shí)間發(fā)散，導(dǎo)致軌道運(yùn)動(dòng)也隨之發(fā)散了。同時(shí)，Hamilton形式對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量殘差始終保持為零，而Lagrange形式對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量殘差達(dá)到107量級(jí)。因此，在分析超大柔性空間結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性時(shí)，使用Hamilton正則方程以及SRK法數(shù)值方法更為合理?？紤]到姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的大周期與柔性振動(dòng)的小周期，數(shù)值仿真步長(zhǎng)設(shè)置為0.1min較為合適。接下來本文分別給出了圓軌道和小

23、偏心率軌道的重力梯度影響以及結(jié)構(gòu)姿態(tài)耦合效應(yīng)的仿真結(jié)果。選取不同的初始姿態(tài)角、初始軸向伸長(zhǎng)量、結(jié)構(gòu)尺寸以及結(jié)構(gòu)柔性，通過對(duì)比多種參數(shù)取值下的仿真結(jié)果來分析重力梯度和結(jié)構(gòu)尺寸對(duì)軌道-姿態(tài)-結(jié)構(gòu)耦合動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響表 1 不同方程形式與數(shù)值算法組合的計(jì)算結(jié)果Tab.1 Computational results of different combinations of formulations and algorithms方程與算法組合形式總角動(dòng)量殘差最大值總能量殘差最大值Hamilton & SRK04.6107Hamilton & RK01.41010（發(fā)散）Lagrange & SRK6.5

24、1079.21073 圓軌道的動(dòng)力學(xué)特性3.1重力梯度對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)的影響在不同初始姿態(tài)角(0)情況下，選取結(jié)構(gòu)尺寸xs為0.1 km，1.0 km，10.0 km三種情況，用SDBwithGG模型和SDBwithoutGG模型響應(yīng)之差表征重力梯度對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)的影響。圖2(a)(c)和圖3(a)(c)分別給出了(0)=0時(shí)重力梯度對(duì)軌道半徑和軌道角速度的影響曲線，其中(a)(c)分別對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)尺寸為0.1 km，1.0 km，10.0 km三種情況。從圖2(b)和圖3(b)可以觀察到，xs=1.0 km時(shí)，軌道半徑有向負(fù)向小幅波動(dòng)，最大波動(dòng)值為-2.510-4 km，軌道角速度有向正向小幅波動(dòng)，最大波

25、動(dòng)值為4.510-9 rad/min，可見重力梯度對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)影響的量級(jí)很?。煌瑫r(shí)，上述情況中軌道運(yùn)動(dòng)周期均為88.4 min，與不考慮重力梯度時(shí)的軌道運(yùn)動(dòng)周期相同，說明重力梯度對(duì)軌道周期沒有影響。結(jié)構(gòu)尺寸對(duì)重力梯度作用存在影響，從SDBwithGG模型中的軌道運(yùn)動(dòng)方程可得對(duì)應(yīng)審稿意見1，調(diào)整了相關(guān)公式引用，結(jié)構(gòu)尺寸增大使得重力梯度增大。從圖2(a)(c)發(fā)現(xiàn)，隨著結(jié)構(gòu)尺寸的增大，重力梯度對(duì)軌道半徑變化的影響按尺寸平方量級(jí)增長(zhǎng)，從圖3也可以發(fā)現(xiàn)軌道角速度有相同趨勢(shì)。(0)=/4 rad時(shí)對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)尺寸變化的影響與(0)=0時(shí)一致，也是使重力梯度的影響按結(jié)構(gòu)尺寸的平方量級(jí)增長(zhǎng)。此外，注意到SDBwi

26、thGG模型軌道運(yùn)動(dòng)方程中的重力項(xiàng)與姿態(tài)角有關(guān)對(duì)應(yīng)審稿意見1，調(diào)整了相關(guān)公式引用，這說明重力梯度引起了軌道運(yùn)動(dòng)與姿態(tài)運(yùn)動(dòng)耦合，因此(0)=/4 rad中的結(jié)果出現(xiàn)不規(guī)則波動(dòng)。對(duì)比FDBwithGG模型和FDBwithoutGG模型也得到相同結(jié)論。圖2 軌道半徑變化（(0)=0）(a)xs=0.1 km; (b) xs=1.0 km; (c) xs=10.0 kmFig.圖2圖2 Change of orbital radius (0)=0)(a)xs=0.1 km; (b) xs=1.0 km; (c) xs=10.0 km圖3 軌道角速度變化（(0)=0），(a)xs=0.1 km; (b)

27、 xs=1.0 km; (c) xs=10.0 kmFig.圖3圖3 Change of velocity of orbital angle (0)=0) , (a)xs=0.1 km; (b) xs=1.0 km; (c) xs=10.0 km3.2重力梯度對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響在不同的初始姿態(tài)角(0)情況下，選取結(jié)構(gòu)尺寸xs為0.1 km，1.0 km兩種情況，用姿態(tài)角和姿態(tài)角速度響應(yīng)表征重力梯度對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響。在不考慮重力梯度時(shí)，從其對(duì)應(yīng)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程可以看出對(duì)應(yīng)審稿意見1，調(diào)整了相關(guān)公式引用， =const.，即姿態(tài)角動(dòng)量為常數(shù)，這使得姿態(tài)運(yùn)動(dòng)只與軌道角速度以及初值有關(guān)。圖4給出了對(duì)應(yīng)的姿

28、態(tài)角速度變化曲線，觀察到姿態(tài)角速度一直為負(fù)，使得對(duì)應(yīng)的姿態(tài)角始終反向運(yùn)動(dòng)，這說明不考慮重力梯度時(shí)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)逐漸累積最后發(fā)散。而考慮重力梯度后，在對(duì)應(yīng)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程中可以看出姿態(tài)角動(dòng)量受到重力梯度影響而不斷變化對(duì)應(yīng)審稿意見1，調(diào)整了相關(guān)公式引用，即姿態(tài)運(yùn)動(dòng)除了受軌道角速度影響，也受到重力梯度力矩的影響。圖5(a)和(b)分別給出了(0)=0時(shí)考慮重力梯度的姿態(tài)角速度和姿態(tài)角變化曲線，顯示姿態(tài)角始終在平衡點(diǎn)附近振蕩。可見軌道角速度的攝動(dòng)使得姿態(tài)角從平衡點(diǎn)發(fā)散，而恢復(fù)力矩總是使姿態(tài)角回到平衡點(diǎn)，且影響量級(jí)相當(dāng)。圖4 不考慮重力梯度的姿態(tài)角速度Fig.圖4圖4 Velocity of attitude a

29、ngle without effect of gravity gradient(a)姿態(tài)角速度(a)Velocity of attitude angle(b)姿態(tài)角(b)Attitude angle圖5 考慮重力梯度的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)（(0)=0）Fig.圖5圖5 Attitude motion with effect of gravity gradient (0)=0)圖6(a)和(b)分別給出了(0)=0時(shí)xs為0.1 km和1.0 km時(shí)考慮重力梯度的姿態(tài)角響應(yīng)。從圖中可以看出隨著結(jié)構(gòu)尺寸的增加，姿態(tài)角響應(yīng)量級(jí)按尺寸平方的量級(jí)增加。在其他初始姿態(tài)角情況下，結(jié)構(gòu)尺寸帶來的影響略有不同。圖7(a)和

30、(b)分別給出了(0)=0.1 rad時(shí)xs為0.1 km和1.0 km時(shí)考慮重力梯度的姿態(tài)角速度響應(yīng)。可以看出，隨著尺寸的增加，姿態(tài)角速度響應(yīng)幾乎沒有變化。注意到啞鈴結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與尺寸的平方成正比，這要求重力梯度產(chǎn)生的恢復(fù)力矩也與尺寸的平方成正比。對(duì)于(0)=/4 rad的情況也有相同現(xiàn)象。圖6 考慮重力梯度的姿態(tài)角響應(yīng)（(0)=0）(a) xs=0.1 km; (b) xs=1.0 kmFig.圖6圖6 Attitude angle with effect of gravity gradient (0)=0), (a)xs=0.1 km; (b) xs=1.0 km圖7 考慮重力梯度的姿

31、態(tài)角響應(yīng)（(0)=0.1 rad）(a) xs=0.1 km; (b) xs=1.0 kmFig.圖7圖7 Attitude angle with effect of gravity gradient (0)=0.1 rad), (a)xs=0.1 km; (b) xs=1.0 km3.3姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和柔性振動(dòng)的耦合效應(yīng)3.3.1姿態(tài)運(yùn)動(dòng)對(duì)柔性振動(dòng)的影響在重力梯度的影響下，姿態(tài)運(yùn)動(dòng)與柔性振動(dòng)之間出現(xiàn)耦合現(xiàn)象。圖8(a)(c)分別給出了(0)為0，0.1 rad和/4 rad時(shí)的結(jié)構(gòu)變形量曲線，可以觀察到曲線外部出現(xiàn)包絡(luò)線，且包絡(luò)線樣式隨初始姿態(tài)角變化而變化。在式(4)中的柔性振動(dòng)方程中，左側(cè)第一項(xiàng)

32、為姿態(tài)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)，左側(cè)第二項(xiàng)為重力軸向分力項(xiàng)，可以看出重力軸向分力項(xiàng)與姿態(tài)角有關(guān)。圖8 考慮重力梯度情況下的柔性振動(dòng)響應(yīng)(a) (0)=0; (b) (0)=0.1 rad; (c) (0)= /4 radFig.圖8圖8 Elastic vibration response with gravity gradient(a) (0)=0; (b) (0)=0.1 rad; (c) (0)= /4 rad圖9給出了(0)為0.1 rad時(shí)方程中部分項(xiàng)的數(shù)值變化曲線，其中虛線表示姿態(tài)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)，實(shí)線表示重力軸向分力項(xiàng)，點(diǎn)劃線表示兩項(xiàng)之和?？梢钥闯龃藭r(shí)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)的變化幅度較大，重力軸向分力項(xiàng)的變化幅度很小，

33、振動(dòng)曲線的外部包絡(luò)線樣式與姿態(tài)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)的變化樣式一致。圖9 柔性振動(dòng)方程中部分項(xiàng)變化曲線（(0)=0）Fig.圖9圖9 Variation curve of several items in elastic vibration equation(0)=0)圖10給出了(0)為/4 rad時(shí)的結(jié)果。發(fā)現(xiàn)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)的變化幅度仍比重力軸向分力項(xiàng)的變化幅度大，但兩者的數(shù)量級(jí)相同，在兩者的共同作用下，出現(xiàn)了復(fù)雜的振動(dòng)曲線外部包絡(luò)線樣式（如圖8(c)所示）。從圖9和圖10可以看出，重力梯度引起了姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的變化，同時(shí)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)影響了重力軸向分力，姿態(tài)運(yùn)動(dòng)與重力軸向分力共同影響了柔性振動(dòng)曲線外部包絡(luò)線樣式，其中姿

34、態(tài)運(yùn)動(dòng)影響起主要作用。圖10 柔性振動(dòng)方程中部分項(xiàng)隨時(shí)間變化曲線（(0)= /4 rad） Fig.圖10圖10 Variation curve of several items in elastic vibration equation(0)= /4 rad)3.3.2柔性振動(dòng)對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響在重力梯度影響下，柔性振動(dòng)對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)也有影響，當(dāng)尺寸較大時(shí)，這種影響尤為明顯。圖11給出了當(dāng)k=0.001ks，(0)=1.37 rad時(shí)考慮柔性與不考慮柔性的姿態(tài)角響應(yīng)對(duì)比圖，其中實(shí)線表示柔性體模型響應(yīng)，虛線表示剛體模型響應(yīng)。發(fā)現(xiàn)剛體模型的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)周期保持不變，而柔性體模型的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)周期持續(xù)變大。進(jìn)一

35、步增大結(jié)構(gòu)的柔性振動(dòng)，發(fā)現(xiàn)柔性振動(dòng)對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響加強(qiáng)了。圖11 柔性體模型和剛體模型的姿態(tài)角Fig.圖11圖11 Attitude angle of flexible and rigid對(duì)應(yīng)審稿意見2，修改單詞誤用 model圖12給出了分別給出了初始伸長(zhǎng)量為0和0.1 km（對(duì)應(yīng)x(0)分別為1.0 km和1.1 km），k=0.01ks，(0)=1.26 rad時(shí)的結(jié)構(gòu)變形量。姿態(tài)角響應(yīng)曲線，其中實(shí)線表示初始伸長(zhǎng)量為0.1 km。虛線表示初始伸長(zhǎng)量為0?？吹匠跏忌扉L(zhǎng)量為0.1 km（x(0)=1.1 km）的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)周期大于初始伸長(zhǎng)量為0（x(0)=1 km）的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)周期，說明結(jié)構(gòu)的柔

36、性振動(dòng)加劇后，柔性振動(dòng)進(jìn)一步增加了姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的周期。圖12 不同初始軸向變形量的姿態(tài)角Fig.圖12圖12 Attitude angle with different initial axial deformations圖13給出了在(0)= /2 rad時(shí)柔性體模型和剛體模型的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，其中實(shí)線表示柔性體模型響應(yīng)，虛線表示剛體模型響應(yīng)。看到剛體模型始終保持在平衡位置附近，而柔性體模型則持續(xù)向負(fù)向翻滾，與Malla5的結(jié)論一致，即在重力梯度影響下，柔性振動(dòng)使結(jié)構(gòu)更容易發(fā)生翻滾現(xiàn)象。圖13 柔性體模型和剛體模型的姿態(tài)角Fig.圖13圖13 Attitude angle of flexible an

37、d rigid對(duì)應(yīng)審稿意見2，修改單詞誤用 model4小偏心率軌道的動(dòng)力學(xué)特性在小偏心率軌道下的結(jié)果基本與圓軌道下的結(jié)論一致，但是情況更為復(fù)雜。這主要是由于在小偏心率軌道下的軌道角速度變化幅度較大，在與重力梯度共同影響了姿態(tài)運(yùn)動(dòng)。圖14給出了小偏心率軌道和圓軌道在(0)= 0.1 rad時(shí)姿態(tài)角響應(yīng)對(duì)比，其中實(shí)線表示小偏心率軌道，虛線表示圓軌道，可以看到在小偏心率軌道下的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)變得復(fù)雜。圖15(a)(c)分別給出了(0)為0，0.1 rad和/4 rad時(shí)的結(jié)構(gòu)變形量曲線。與圓軌道的結(jié)果（圖8）對(duì)比發(fā)現(xiàn)，柔性振動(dòng)曲線的外部包絡(luò)線樣式也變得復(fù)雜了。 圖14 小偏心率軌道和圓軌道下的姿態(tài)角Fi

38、g.圖14圖14 Attitude angle in a circular orbit and an orbit with small eccentricity圖15 小偏心率軌道下的柔性振動(dòng)響應(yīng)(a) (0)=0; (b) (0)=0.1 rad; (c) (0)= /4 radFig.圖15圖15 Response of elastic vibration in orbit with small eccentricity, (a) (0)=0; (b) (0)=0.1 rad; (c) (0)= /4 rad此外，柔性振動(dòng)對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響也有變化。圖16給出了在小偏心率軌道，k=0.01

39、ks，(0)=/4 rad時(shí)，柔性體模型和剛體模型的姿態(tài)角結(jié)果，其中實(shí)線表示柔性體響應(yīng)，虛線表示剛體響應(yīng)。不同于圓軌道在(0)=/2 rad時(shí)發(fā)生翻滾，在小偏心率軌道(0)=/4 rad附近時(shí)發(fā)生翻滾。發(fā)生翻滾對(duì)應(yīng)的初始姿態(tài)角稱為臨界初始姿態(tài)角，通過數(shù)值仿真，圖17給出了臨界初始姿態(tài)角與軌道偏心率的變化曲線，可以看到臨界初始姿態(tài)角隨軌道偏心率的增大呈近似于指數(shù)型的趨勢(shì)減小。圖16 小偏心率軌道下柔性體和剛體模型的姿態(tài)角Fig.圖16圖16 Attitude angle of flexible and rigid對(duì)應(yīng)審稿意見2，修改單詞誤用 model in an orbit with smal

40、l eccentricity圖17 臨界初始姿態(tài)角隨軌道偏心率變化曲線Fig.圖17圖17 Variation curve of critical initial attitude angle with orbit eccentricity5 總結(jié)本文針對(duì)超大柔性空間結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化啞鈴模型，建立了考慮重力梯度影響的Hamilton體系動(dòng)力學(xué)方程，分別在圓軌道和小偏心率軌道分析了重力梯度對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)、姿態(tài)運(yùn)動(dòng)以及柔性振動(dòng)的影響，同時(shí)研究了柔性振動(dòng)和姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的耦合效應(yīng)。得到主要結(jié)論如下：（1）重力梯度對(duì)結(jié)構(gòu)的軌道運(yùn)動(dòng)影響較小，但隨著結(jié)構(gòu)尺寸的增加，重力梯度影響的量級(jí)按結(jié)構(gòu)尺寸的平方量級(jí)增長(zhǎng)；（2）重力梯

41、度力矩對(duì)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)影響顯著，重力梯度力矩與結(jié)構(gòu)尺寸的平方成正比；（3）重力梯度使結(jié)構(gòu)振動(dòng)與姿態(tài)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生耦合，姿態(tài)運(yùn)動(dòng)會(huì)影響結(jié)構(gòu)振動(dòng)的模式，而結(jié)構(gòu)振動(dòng)則使得姿態(tài)運(yùn)動(dòng)周期增大，并且結(jié)構(gòu)振動(dòng)使結(jié)構(gòu)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)更易于翻滾。（4）小偏心率軌道下的結(jié)果與圓軌道的結(jié)果基本一致，但響應(yīng)特性更加復(fù)雜。目前本文工作主要是采用數(shù)值仿真的手段揭示超大柔性空間結(jié)構(gòu)在軌運(yùn)行的特殊動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，接下來的工作將從理論上對(duì)重力梯度的影響方式、結(jié)構(gòu)翻滾運(yùn)動(dòng)和穩(wěn)定性等問題開展研究。參考文獻(xiàn)（References）1 Glaser P E. Power from the sun: its futureJ. Science, 1968, 1

42、62(3856): 857-861.2 JohNsoN W N, Bartolo R, Dorsey M, et al. Space-based Solar Power: Possible Defense Applications and Opportunities for NRL ContributionsR. NAVAL RESEARCH LAB WASHINGTON DC SPACE SCIENCE DIV, 2009.3 Belvin W K, Dorsey J T, Watson J J. Technology Challenges and Opportunities for Ver

43、y Large In-Space Structural SystemsC/International Symposium on Solar Energy from Space, International Academy of Astronautics, Toronto Canada. 2009.4 侯欣賓, 王立. 未來能源之路-太空發(fā)電站J. 國(guó)際太空, 2014 (5).HOU Xinbin, WANG Li., Future energy path-Solar Power StationJ.Space International, 2014 (5).5 Mankins J C. A f

44、resh look at space solar power: New architectures, concepts and technologiesJ. Acta Astronautica, 1997, 41(4): 347-359.6 Sasaki S, Tanaka K, Higuchi K, et al. A new concept of solar power satellite: Tethered-SPSJ. Acta Astronautica, 2007, 60(3): 153-165.7 Mori M, Kagawa H, Saito Y. Summary of studies on space solar power systems of Japan Aerospace Explorati