追及與相遇問題知識詳解及典型例題（精品）

1、追及與相遇問題知識詳解及典型例題（精品）知識要點  追及和相遇問題主要涉及在同一直線上運動的兩個物體的運動關(guān)系，所應用的規(guī)律是勻變速直線運動的相關(guān)規(guī)律。追及、相遇問題常常涉及到臨界問題，分析臨界狀態(tài)，找出臨界條件是解決這類問題的關(guān)鍵。速度相等是物體恰能追上或恰不相碰、或間距最大或最小的臨界條件。在兩物體沿同一直線上的追及、相遇或避免碰撞問題中關(guān)鍵的條件是：兩物體能否同時到達空間某位置。因此應分別對兩物體研究，列出位移方程，然后利用時間關(guān)系、速度關(guān)系、位移關(guān)系解出。解答追及、相遇問題時要特別注意明確兩物體的位移關(guān)系、時間關(guān)系、速度關(guān)系，這些關(guān)系是我們根據(jù)相關(guān)運動學公式列方程的

2、依據(jù)。1. 追及追和被追的兩者的速度相等常是能追上、追不上、二者距離有極值的臨界條件。如勻減速運動的物體追從不同地點出發(fā)同向的勻速運動的物體時，若二者速度相等了，還沒有追上，則永遠追不上，此時二者間有最小距離。若二者相遇時（追上了），追者速度等于被追者的速度，則恰能追上，也是二者避免碰撞的臨界條件；若二者相遇時追者速度仍大于被追者的速度，則被追者還有一次追上追者的機會，其間速度相等時二者的距離有一個較大值。再如初速度為零的勻加速運動的物體追從同一地點出發(fā)同向勻速運動的物體時，當二者速度相等時二者有最大距離，位移相等即追上?！白飞稀钡闹饕獥l件是兩個物體在追趕過程中處在同一位置，常見的情形有三種：

3、一是初速度為零的勻加速運動的物體甲追趕同方向的勻速運動的物體乙時，一定能追上，在追上之前兩者有最大距離的條件是兩物體速度相等，即v甲=v乙；二是勻速運動的物體甲追趕同方向做勻加速運動的物體乙時，存在一個恰好追上或恰好追不上的臨界條件：兩物體速度相等，即v甲v乙，此臨界條件給出了一個判斷此種追趕情形能否追上的方法，即可通過比較兩物體處在同一位置時的速度大小來分析，具體方法是：假定在追趕過程中兩者能處在同一位置，比較此時的速度大小，若v甲v乙，則能追上去，若v甲v乙，則追不上，如果始終追不上，當兩物體速度相等時，兩物體的間距最?。蝗莿驕p速運動的物體追趕同方向的勻速運動的物體時，情形跟第二種相類似

4、。兩物體恰能“相遇”的臨界條件：兩物體處在同一位置時，兩物體的速度恰好相同。2. 相遇    同向運動的兩物體追及即相遇，分析同1。    相向運動的物體，當各自發(fā)生的位移的絕對值的和等于開始時兩物體間的距離時即相遇。三. 解題方法指導：1. 解“追及”“相遇”問題的思路：解決“追及”和“相遇”問題大致分為兩種方法，即數(shù)學方法和物理方法求解過程中可以有不同的思路，例如考慮圖象法等等。解題的基本思路是： 根據(jù)對兩物體運動過程的分析，畫出物體的運動示意圖； 根據(jù)兩物體的運動性質(zhì)，分別列出兩個物體的位移方程。注意要將兩物體運動時間的關(guān)系反映

5、在方程中。 由運動示意圖找出兩物體位移間關(guān)聯(lián)方程。 聯(lián)立方程求解。運動物體的追趕、相遇問題，一般解法較多：解析法、圖象法、極值法等。應適當?shù)刈鲂┮活}多解的練習，以開啟思路，培養(yǎng)發(fā)散思維的能力。但平時訓練仍應以物理意義突出的解析法為主。通過適當?shù)木毩暫螅偨Y(jié)一下追趕、相遇、避碰問題的特點、分析方法，特別是對其中所涉及的“相距最遠”、“相距最近”、“恰好不相碰”等臨界問題，應在思考的基礎(chǔ)上總結(jié)出臨界狀態(tài)的特點，找出臨界條件。2. 分析“追及”“相遇”問題應注意： 分析“追及”“相遇”問題時，一定要抓住一個條件，兩個關(guān)系：一個條件是兩物體的速度滿足的臨界條件，如“兩物體距離最大、最小，恰好追上或恰好

6、追不上等”。兩個關(guān)系是時間關(guān)系和位移關(guān)系。其中通過畫草圖找到兩物體位移之間的數(shù)量關(guān)系，是解題的突破口，也是解題常用方法。因此，在學習中一定要養(yǎng)成畫草圖分析問題的良好習慣，對幫助我們理解題意，啟迪思維大有裨益。養(yǎng)成根據(jù)題意畫出物體運動示意圖的習慣。特別對較復雜的運動，畫出草圖可使運動過程直觀，物理圖景清晰，便于分析研究。 分析研究對象的運動過程，搞清整個運動過程按運動性質(zhì)的轉(zhuǎn)換可分為哪幾個運動階段，各個階段遵循什么規(guī)律，各個階段間存在什么聯(lián)系。特別是，若被追趕的物體做勻減速運動，一定要注意追上前該物體是否停止運動。 仔細審題，注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘題目中的隱合條件，如“剛好”、“恰巧

7、”、“最多”、“至少”等。往往對應一個臨界狀態(tài)，由此找出滿足相應的臨界條件。還要注意：由于公式較多，且公式間有相互聯(lián)系，因此，題目?？梢活}多解。解題時要思路開闊，聯(lián)想比較，篩選最簡捷的解題方案。解題時除采用常規(guī)的公式解析法外，圖象法、比例法、極值法、逆向轉(zhuǎn)換法（如將一勻減速直線運動視為反向的勻加速直線運動）等也是解題中常用的方法?！镜湫屠}】例1 火車以速度v1向前行駛。司機忽然發(fā)現(xiàn)，在前方同一軌道上距車為s處有另一輛火車，它沿相同的方向以較小的速度v2作勻速運動，于是他立即使車作勻減速運動，加速度大小為a，要使兩車不致相撞，則a應滿足的關(guān)系式為_。分析：司機使火車作勻減速運動，當后面的火車與

8、前方火車時的速度相等時，兩車再也不能接近了，也就是后面的火車與前面火車的速度相等時，后面火車的位移與前面火車的位移之差要小于s時，兩車才不致相撞，本題解法中有四種。解法一：當兩車速度相等時，兩車沒有相撞，以后再也不會相撞，前車減速的時間為t，則                 解法二：以前車為參照系，后車的速度為，當后車的速度減為零時，其位移小于s，兩車不會相撞，即解法三：作出兩車運動的速度時間圖像如圖所示，由圖像可知：在兩圖像相交前與時間軸所圍

9、面積之差（即圖中陰影部分）小于s時，兩車不會相撞。即解法四：后車的位移為，前車的位移為，要使兩車不相撞，即說明此二次函數(shù)無解，即   以上四種解法中，以第二種解法最簡捷。例2 甲、乙兩車相距s，同時同向運動，乙在前面做加速度為a1、初速度為零的勻加速運動，甲在后面做加速度為a2、初速度為v0的勻加速運動，試討論兩車在運動過程中相遇次數(shù)與加速度的關(guān)系。解析：由于兩車同時同向運動，故有v甲=v0+a2t，v乙=a1t    當a1<a2時，a1t<a2t，可得兩車在運動過程中始終有v甲> v乙，由于原來甲在后，乙在前，所以甲、乙兩

10、車的距離在不斷縮短，經(jīng)過一段時間后甲車必然超過乙車，且甲超過乙后相距越來越大，因此甲、乙兩車只能相遇一次； 當a1=a2時，alt=a2t，可得v甲>v乙，因此甲、乙兩車也只能相遇一次： 當a1>a2時，a1t>a2t，v甲和v乙的大小關(guān)系會隨著運動時間的增加而發(fā)生變化，剛開始，a1t和a2t相差不大且甲有初速v0，所以，v甲>v乙，隨著時間的推移，a1t和a2t相差越來越大；當alta2t=v0時，v甲=v乙，接下來a1ta2t>v0，則有v甲<v乙，若在v甲=v乙之前，甲車還沒有超過乙車，隨后由于v甲<v乙，甲車就沒有機會超過乙車，即兩車不相遇；若

11、在v甲=v乙時，兩車剛好相遇，隨后v甲=v乙，甲車又要落后乙車，這樣兩車只能相遇一次；若在v甲=v乙前甲車己超過乙車，即已相遇過一次，隨后由于v甲<v乙，甲、乙距離又縮短，直到乙車反超甲車時，再相遇一次，別兩車能相遇兩次。解法一：由于x甲=v0t+a2t2，x乙=a1t2，相遇時有x甲x乙=x，則：v0t+a2t2a1t2=x，（a1a2）t2v0t+x=0所以t=     當a1<a2 時，式t只有一個正解，別相遇一次。 當a1=a2 時，x甲x乙= v0t十a(chǎn)2t2a1t2=v0t=x，所以t=，t只有一個解，則相遇一次。 當a1a2 時

12、，若<2（a1a2）x，式無解，即不相遇，若=2（a1a2）x，式t只有一個解，即相遇一次。若2（a1a2）x，式t有兩個正解，即相遇兩次。解法二：利用vt圖象求解， 當a1<a2時，甲、乙兩車的運動圖線分別為如右上圖中：的I和，其中劃斜線部分的面積表示t時間內(nèi)甲車比乙車多發(fā)生的位移，若此面積為S，則t時刻甲車追上乙車而相遇，以后在相等時間內(nèi)甲車發(fā)生的位移都比乙車多，所以只能相遇一次。 當a1<a2 時，甲、乙兩車的運動圖線分別為如上左圖中的I和，討論方法同，所以兩車也只能相遇一次。 當a1=a2 時，甲、乙兩車的運動圖線分別為如上右圖中的I和，其中劃實斜線部分的面積表示甲車

13、比乙車多發(fā)生的位移。若劃實斜線部分面積小于S，則不能相遇；若劃實斜線部分面積等于S，說明甲車剛追上乙車又被反超，則相遇一次；若劃實斜線部分的面積大于s，如圖中0t1內(nèi)劃實斜線部分的面積為S，說明t1時刻甲車追上乙車，以后在t1t時間內(nèi)，甲車超前乙車的位移為t1t時間內(nèi)劃實斜線部分的面積，隨后在tt2時間內(nèi)，乙車比甲車多發(fā)生劃虛線部分的面積，如果兩者相等，則t2時刻乙車反超甲車，故兩車先后相遇兩次。【模擬試題】1. 甲、乙兩物體由同一位置出發(fā)沿同一直線運動，其速度圖象由圖所示，下列說法正確的是（  B   ）A. 甲做勻速直線運動，乙做勻變速直線運動B.

14、兩物體兩次相遇的時刻分別為2 s末和6 s末C. 乙在前4 s內(nèi)的平均速度等于甲的速度D. 2 s后甲、乙兩物體的速度方向相反2. 甲乙丙三輛汽車以相同的速度同時經(jīng)過某一個路標，從此開始甲車一直勻速運動，乙車先加速后減速，丙車先減速后加速，它們經(jīng)過下一個路標時速度又相等，則（  B   ）A. 甲車先通過下一個路標           B. 乙車先通過下一個路標C. 丙車先通過下一個路標      

15、;     D. 條件不足，無法判斷3. 摩托車以速度v1沿平直公路行駛，突然駕駛員發(fā)現(xiàn)正前方s處，有一輛汽車正以v2<v1的速度開始減速，加速度大小為2。為了避免發(fā)生碰撞，摩托車也同時減速。求其加速度至少需要多少？ 13. 解：（1）如圖（甲）所示，其相對位移為    即   (甲)（2）如圖（乙）所示，當兩車間距較小，即時，兩車不發(fā)生碰撞的條件是，其相對速度為0，即二者有共同速度。因為，所以，由此可得摩托車的加速度為（3）如圖（丙）所示，兩車間距較大，即，汽車經(jīng)過時間先停下，摩托車經(jīng)時

16、間后停下，這種情況下兩車不發(fā)生碰撞的條件為。有這時摩托車的加速度為4. 甲、乙、丙三輛車行駛在平直公路上，車速分別為6m/s、8m/s、9m/s。當甲、乙、丙三車依次相距5m時，乙駕駛員發(fā)現(xiàn)甲車開始以1m/s2的加速度做減速運動，于是乙也立即做減速運動，丙車亦同樣處理。如圖所示。直到三車都停下來時均未發(fā)生撞車事故。求丙車減速運動的加速度至少應為多大？ 解：先研究兩車行駛中的一種特殊臨界狀態(tài)，兩車同時停下且剛好接觸在一起。則    （1）若，要使其同時停下則必然相碰。即是說仍要增大，按DC線所示規(guī)律變化，在D處時二者相距最近，如圖所示。由題意知，有 

17、60; （1）（2）如果，則還可再小些，二者不同時停下，停止時相對位移為，如圖中線那樣變化。有    三式聯(lián)立得（2）將題中數(shù)據(jù)代入可得由（1）式得乙、丙兩車間距由（2）式得一道“追及和相遇問題”試題的思考和引申A、B兩列火車在同一軌道上同向行駛，A在前，速度為vA 10m/s，B在后，速度為vB30m/s，因大霧能見度低，B車在距A車500m時，才發(fā)現(xiàn)前方有A車，這時B車立即剎車，但要經(jīng)過1800mB車才能停下，問：(1)車若要仍按原速前進，兩車是否相撞？試說明理由。(2)B在剎車的同時發(fā)出信號，A車司機在收到信號1.5s后加速前進，A車加速度為多大時，才能避免

18、事故發(fā)生？（不計信號從A傳到B的時間）第一問的解法如下：lsAsBs0解：先求B車從剎車到停下來所需時間tB由sB =vB·tB得 B A A B tB= =2×s=120s 再求在相同的時間內(nèi)A車通過的位移sA sA=vA·tB=10×120m=1200m 最后比較sA+s0和sB的大小關(guān)系即可判斷結(jié)果 由于sA+s0=(1200+500)m=1700m故sA+s0sB由位置關(guān)系圖可知兩車會相撞。提問1：通過上面的計算我們知道兩車能相撞，試問它們何時相撞？解：設(shè)B車剎車后經(jīng)過時間t兩車相遇，依題意有sA+s0=sB 而sA=vA·t，sB=v

19、B·t+at2（其中a為B車剎車過程中的加速度，根據(jù)已知條件很易求出a-0.25m/s2），將sA、sB的表達式代入上式解得t1=31s，t2=129s提問2：為什么有兩個解？t2是否有意義？答：A、B兩車相撞兩次，第一次是B車追上A車，第二次是A車追上B車。兩車只能相撞一次，故t2沒有意義。提問3：B車追上A車時，哪車的速度大？ 答：B車的速度大， 因為B車從減速到和A車的速度相等所需的時間為：t= =s=80s，因為t t1，故B車的速度大。提問4：若A、B兩車相遇但不會相撞，A車又追上B車時，B車的速度是多大？從B車開始減速到兩車第二次相遇共需多少時間？ 答：由于B車剎車后經(jīng)過

20、120s后就停下來，故129s時它的速度仍為零。由于B車停止后不能往后倒，故第二次相遇所需時間為：t2= =s=130s。這是一個實際問題，要注意解的合理性。提問5：若開始兩車相距700m，試問兩車是否會相撞？ 答：由于sA+s0=1200+700m=1900m，而sB=1800m，即sA+s0sB，故兩車不會相撞。提問6：若用第二種方法，即設(shè)B剎車后經(jīng)過時間t兩車相撞，方程是否有解呢？ 答：由sA+s0=sB得 vA·t+ s0=vB·t+at2 即10t+700=30t-0.125t2移項并整理得 t2-160t+5600=0 該方程的判別式為 =1602-4×5600=32000，故該方程有解，即相撞，并且有相遇兩次的可能。原來先是B超過A，后來A又超過B，我們不能認為開始時A在B的前面，后來A仍在B的前面，就得出兩車不相撞的結(jié)論。由此可見用簡單的位移關(guān)系是得不出正確結(jié)果的。提問7：試問：若要使兩車不相撞，開始時兩車間的距離s0至少為多少？解：設(shè)兩車經(jīng)過時間t后相撞，由位置關(guān)系易得出：vA·t+ s0=vB·t +at2即10t+s0=30t-0.125t2移項并整理得t2-160t+8s0=0 要使兩車不相撞，即要使該