清華大學(xué)保送生考試數(shù)學(xué)試題

1、2022年清華大學(xué)保送生考試試題一、填空題1.假設(shè)復(fù)數(shù) z 為虛數(shù)，且 |z|=1, Re(z (12i) = 1,那么 z=12.在數(shù)列an中，a1 = 1 , a. 1 二 a. 2 .假設(shè)數(shù)列anan 舟的前n項(xiàng)和為丄8，那么37n =.3.現(xiàn)有6人會(huì)英語，4人會(huì)日語，2人都會(huì)(共12人),從其中選出3人做翻譯，要求兩種語言都有人做翻譯，那么符合條件的選法種數(shù)為 .個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途4.有一人進(jìn)行投籃訓(xùn)練，投籃5次，失誤一次扣1分，進(jìn)一次得1分，連進(jìn)2次得3分，連進(jìn)3次2得5分假設(shè)投籃的命中率為 -,那么投籃3次恰好得2分的概率為 .個(gè)人收集整理 勿5做商業(yè)用途1115.不定方程一

2、 + + - =1 (x蘭y Ez)的解(x, y,z)的組數(shù)為xyz6.某幾何體的三視圖如右圖所示 ，用,分別表示主視圖、左 視圖、俯視圖，設(shè)S., S S是實(shí)際幾何體中能看到的面積 ，那么Sq, Sp, S?從小到大的順序?yàn)?.個(gè)人收集整理 勿做商業(yè)左視圖3用途、解答題7.拋物線y =才2與直線l:x4所圍成區(qū)域中有一個(gè)矩形ABCD,且點(diǎn)代B在拋物線上，點(diǎn)D在直線l 上,其中點(diǎn)B在y軸右側(cè)，且| AB2t (t 0).(1)當(dāng)AB與x軸平行時(shí)，求矩形ABCD面積S(t)的函數(shù)關(guān)系式; 當(dāng)邊CD在直線l上時(shí)，求矩形ABCD面積的最大值8.函數(shù)f (x)二 2cos x (sin 2x)-si

3、 n3x,且 x 0,2 二.(1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值;求方程f (x)二. 3的解.e -19.函數(shù)f (x) =ln ,且數(shù)列a*滿足：印=1, an .1 = f (an) x(1) 求證:x ex -ex 1亠0恒成立；(2) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； 求證:數(shù)列an單調(diào)遞減，且an 0恒成立10. 在 OAB內(nèi)(含邊界),其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A, B分別在在x軸，y軸的正半軸上，且OA = OB =2.(1)用方程或不等式表示OAB圍成的區(qū)域; 求證:在 OAB內(nèi)的任意11個(gè)點(diǎn)，總可以分成兩組，一組中各點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和不大于 6,另一組中各點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和不大于6 .個(gè)人收

4、集整理 勿做商業(yè)用途局部解答:7、解：(1)由題歌 心且慮Z?在A/K上九故曲)打厲一卜溝創(chuàng)一卻"所以翼広卩(2)由于護(hù)與"“4程篇二勰前交總是卜辭人設(shè)£t-X2)T 那么JEW.且點(diǎn)衛(wèi)在瞬蛭開口內(nèi)的鏡段上從上(包括左端Q*故點(diǎn)乂必在軸右側(cè)(慢茴庫點(diǎn)0).諭扭方程為嚴(yán)W那么占“I x1 _J .MWi).*T). t( + rj - 2» -2i * 所以 p£| - g* + 蕊j A.由平行線何的距離益式.得pi汗所以弘曲心喘的T、令用恨(山的所以妙些(1st").心0,間為增函數(shù)4所以AC -代助=電(1R -M)-乳此時(shí)點(diǎn)北與

5、原點(diǎn)o重合4所以矩形如面積的最大值為B.攝 /W=2(sm2x+cosx-sin(2x+x)=2sin Zxcosr+5 cos x - sinZxcosx- cos2xsnuc-sinIxcos x - cos2x sinx + 的 cosx=Einx4 cosx2tin(+y)(1)因?yàn)?,21，所以當(dāng)兀二彳時(shí).= 2 ；J-J當(dāng)“彳時(shí)，2由 2sin(r+ y) - 得£in(jr+y)-.因»xe(0,2h所臥"0或彳或方r證明I(1)令=+ 持得0(工)之比當(dāng)兀弋0時(shí)，sXx) < 0 J當(dāng)尤>0時(shí)，/W >0 所lilgW在(P0內(nèi)為

6、減函數(shù) 在e詢內(nèi)為增函數(shù) 所以或©2g(0XQ即總吆-疋十。0恒成立(2)對(duì)于(忑)=出手求導(dǎo)，得忤.亠一 Qy =亠心嚴(yán) 倚e-1 x 八1 ?由(1 內(nèi)h 當(dāng)X*O0ft>0,又所以<(x)>O®i因?yàn)?(x)的定義域?yàn)?-軻刀)U (比+a), 所ai/(x)的單卿詛間瀚(80)血).P)用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意處皿-當(dāng)n=l時(shí).珂三】=由于 1 <e-l <,所臥 0 < hi(# _1)1.如0 <02假設(shè)當(dāng)“k (iero 呼吉劭立，即0<+1<. 因?yàn)?孤)在(呻 內(nèi)劃曹國數(shù)，Z-1. 宀】且 lim /(x

7、) = lim Qu)=k(lim ) = lal = O (士 040¥H«0l*OXlO 叱 忑所以兒即。農(nóng)叫乜弋玨小 因此當(dāng)"hi (址rO時(shí)結(jié)論也成立 由可知* C <«ui <弧對(duì)任意處MSF咸立 所以數(shù)列%為遞潔妍嘰且叫>0恒咸立2022年清華大學(xué)保送生試題:亡_-n J3一廣-n-3<izfl1證明:2n2n(1-xk) (1xk)2、求證：Vn匚0麗為整系數(shù)多項(xiàng)式。kkk(1 -X ) (1 -X )i【(1 -X )kkk 衛(wèi)2555c c a = t，求 ab bc ca 的值。a b 223、己知 abc -