微積分課件：6-8 多元函數(shù)的極值

1、第八節(jié)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值和最值多元函數(shù)的極值和最值條件極值條件極值實例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每實例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進價瓶進價1元，外地牌子每瓶進價元，外地牌子每瓶進價1.2元，店主估元，店主估計，如果本地牌子的每瓶賣計，如果本地牌子的每瓶賣 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶賣每瓶賣 元，則每天可賣出元，則每天可賣出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁問：店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁可問：店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？取得最大收益？xyyx4570 yx7680 每天的

2、收益為每天的收益為 ),(yxf)7680)(2 . 1()4570)(1(yxyyxx 求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.一、問題的提出一、問題的提出 設函數(shù)設函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx的某鄰域內的某鄰域內有定義，對于該鄰域內異于有定義，對于該鄰域內異于),(00yx的點的點),(yx：若滿足不等式若滿足不等式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)在在),(00yx有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)在，則稱函數(shù)在),(00yx有極有極小值；小值

3、；1 1、二元函數(shù)極值的定義、二元函數(shù)極值的定義極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. .使函數(shù)取得極值的點稱為極值點使函數(shù)取得極值的點稱為極值點. .二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值(1)例例1 1處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 例例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz -10-50510 x-10-50510y-10-50z-10-50510 xxyz定理定理 1 1（必要條件）（必要條件）設函數(shù)設函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx具有偏導數(shù)，且具有偏

4、導數(shù)，且在點在點),(00yx處有極值，則它在該點的偏導數(shù)必處有極值，則它在該點的偏導數(shù)必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取得極值的條件不妨設不妨設),(yxfz 在點在點),(00yx處有極大值處有極大值,則則對對于于),(00yx的的某某鄰鄰域域內內任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,證證故故當當0yy ，0 xx 時時，有有 ),(0yxf),(00yxf,說明一元函數(shù)說明一元函數(shù)),(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值,必必有有 0),(00 yxfx;類類似似

5、地地可可證證 0),(00 yxfy.例如例如, 點點)0 , 0(是函數(shù)是函數(shù)xyz 的駐點，的駐點，但但不不是是極極值值點點. 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導數(shù)同時為零仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導數(shù)同時為零的點，均稱為函數(shù)的的點，均稱為函數(shù)的駐點駐點.偏導數(shù)存在下偏導數(shù)存在下, 駐點駐點極值點極值點問題：如何判定一個駐點是否為極值點？問題：如何判定一個駐點是否為極值點？定理定理 2 2（充分條件）（充分條件）設函數(shù)設函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx的某鄰域內連續(xù)，的某鄰域內連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，注意：注意：又又 0),(00 yxfx, , 0),(

6、00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，則則),(yxf在點在點),(00yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下：（1 1）02 BAC時具有極值，時具有極值， 當當0 A時有極大值，時有極大值， 當當0 A時有極小值；時有極小值；（2 2）02 BAC時沒有極值；時沒有極值；（3 3）02 BAC時可能有極值時可能有極值, ,也可能沒有極值，也可能沒有極值，還需另作討論還需另作討論求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步驟：第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求

7、出實數(shù)解，得駐點求出實數(shù)解，得駐點.第二步第二步 對于每一個駐點對于每一個駐點),(00yx，求出二階偏導數(shù)的值求出二階偏導數(shù)的值 A、B、C.第三步第三步 定出定出2BAC 的符號，再判定是否是極值的符號，再判定是否是極值.33224( , )339f x yxyxyx 例例 ：討討論論的的極極值值 06y-3yf 0963:2y2 xxfx解解2 , 0y3, 1x 駐點駐點:(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)xyyy66, f0, f66xxfxy 在在(1,0)處處A=120,B=0,C=606122 BAC在在(1,0)處取得極小值處取得極小值-5在在(1,2)處處A

8、=120,B=0,C=-606122 BAC在在(1,2)處沒有極值處沒有極值在在(-3,0)處處 A=-12,B=0,C=606122 BAC在在(-3,0)處沒有極值處沒有極值在在(-3,2)處處A=-120,B=0,C=-606122 BAC在在(-3,2)處取得極大值處取得極大值31求最值的一般方法求最值的一般方法： 將函數(shù)在將函數(shù)在D D內的所有駐點處的函數(shù)值及在內的所有駐點處的函數(shù)值及在D D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值大者即為最大值，最小者即為最小值. . 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的與一

9、元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值極值來求函數(shù)的最大值和最小值.3 3、多元函數(shù)的最值、多元函數(shù)的最值解解先先求求函函數(shù)數(shù)在在D內內的的駐駐點點，xyo6 yxDD如圖如圖,解方程組解方程組 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得區(qū)區(qū)域域D內內唯唯一一駐駐點點)1 , 2(,且且4)1 , 2( f,再再求求),(yxf在在D邊邊界界上上的的最最值值， 在邊界在邊界0 x和和0 y上上0),( yxf,在邊界在邊界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,6

10、4)2 , 4( f 比較后可知比較后可知4)1 , 2( f為最大值為最大值,64)2 , 4( f為最小值為最小值.xyo6 yxD例例 6 6 求求122 yxyxz的的最最大大值值和和最最小小值值., 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得駐點得駐點)21,21(和和)21,21( ,解解 由由即邊界上的值為零即邊界上的值為零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值為所以最大值為21，最小值為，最小值為21 .因為因為01lim22 yxyxyx無條件極值無條件極值：對自變量除了限制在定義域內對自變

11、量除了限制在定義域內外，并無其他條件外，并無其他條件.問題的實質：求問題的實質：求 在條在條件件 下的極值點下的極值點A(x,y)2(xyyzzx) xyz2 三、條件極值三、條件極值-拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法3 3實實例例: :某某工工廠廠要要用用鐵鐵板板做做成成一一體體積積為為2m2m 的的有有蓋蓋長長方方體體水水箱箱, ,問問當當長長, ,寬寬, ,高高各各取取多多少少尺尺寸寸時時, ,可可以以使使用用料料最最省省? ?條件極值的求法條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)求一元函數(shù)的無條件極值問題的無條件極值問題例如例如 ,轉化轉化(x,y)0,在在條條件件下下zf(

12、x,y) 求求函函數(shù)數(shù)的的極極值值(x,y)0y(x) 從從條條件件中中解解出出zf(x, (x)( )yx 注注: :此此方方法法僅僅適適用用于于可可解解出出情情況況(x,y)0,在在條條件件下下方法方法2 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法.如方法如方法 1 所述所述 ,則問題等價于一元函數(shù)則問題等價于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題的極值問題,極值點必滿足極值點必滿足設設 記zf(x,y). 求求函函數(shù)數(shù)的的極極值值(x,y)0y(x), zf(x, (x)故故 xydzdyff0dxdxxydy,dx 因因xxyyff0 yxxyff 故有故有極值點必滿足極值點必滿足xxf0 yy

13、f0 (x,y)0例例 7 7 將正數(shù)將正數(shù) 12 分成三個正數(shù)分成三個正數(shù)zyx,之和之和 使得使得zyxu23 為最大為最大.解解22x3y32zL3x y z0L2x yz0Lx y0Lxyz12 解解得得唯唯一一駐駐點點)2 , 4 , 6(，.691224623max u則則故最大值為故最大值為例例 8 8 在在第第一一卦卦限限內內作作橢橢球球面面 1222222 czbyax的的切切平平面面，使使切切平平面面與與三三個個坐坐標標面面所所圍圍成成的的四四面面體體體體積積最最小小，求求切切點點坐坐標標.解解設設),(000zyxP為為橢橢球球面面上上一一點點,令令1),(222222

14、czbyaxzyxF, 過過),(000zyxP的切平面方程為的切平面方程為 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化簡為化簡為 1202020 czzbyyaxx,該切平面在三個軸上的截距各為該切平面在三個軸上的截距各為 02xax ，02yby ，02zcz ,所所圍圍四四面面體體的的體體積積 000222661zyxcbaxyzV ,在條件在條件1220220220 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,可得可得即即30ax 30by ，30cz 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法（取得極值的必要條件、充分條件）（取得極值的必要條件、

15、充分條件）多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的最值四、小結四、小結思考題思考題 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx點均取得點均取得極值， 則極值， 則),(yxf在點在點),(00yx是否也取得極值？是否也取得極值？思考題解答思考題解答不是不是.例例如如 22),(yxyxf ,當當0 x時時，2), 0(yyf 在在)0 , 0(取取極極大大值值;當當0 y時，時，2)0 ,(xxf 在在)0 , 0(取極小值取極小值;但但22),(yxyxf 在在)0 , 0(不取極值不取極值.一、一、 填空題填空題: :1 1、 函數(shù)函數(shù))4)(6(),(22yyxxyxf 在在_點取點取得極得

16、極_值為值為_._.2 2、 函數(shù)函數(shù)xyz 在附加條件在附加條件1 yx下的極下的極_值值為為_._.3 3、 方程方程02642222 zyxzyx所確定的所確定的函數(shù)函數(shù)),(yxfz 的極大值是的極大值是_,_,極小值極小值是是_._.二二、 在在 平平 面面xoy上上 求求 一一 點點 , , 使使 它它 到到0, 0 yx及及0162 yx三三直直線線的的距距離離平平方方之之和和為為最最小小. .三三、 求求內內接接于于半半徑徑為為a的的球球且且有有最最大大體體積積的的長長方方體體. .練練 習習 題題四、四、 在第一卦限內作球面在第一卦限內作球面1222 zyx的切平面的切平面,

17、 ,使使得切平面與三坐標面所圍的四面體的體積最小得切平面與三坐標面所圍的四面體的體積最小, ,求求切點的坐標切點的坐標. .一一、1 1、( (3 3, ,2 2) ), ,大大, ,3 36 6； 2 2、大大, ,41； 3 3、7 7, ,- -1 1. .二二、)516,58(. .三三、當當長長, ,寬寬, ,高高都都是是32a時時, ,可可得得最最大大的的體體積積. .四四、).31,31,31(練習題答案練習題答案的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 二、多元函數(shù)