微積分課件：7-4 重積分的應(yīng)用

1、一、問題的提出一、問題的提出二、曲面的面積、立體的體積二、曲面的面積、立體的體積三、重心三、重心四、轉(zhuǎn)動慣量四、轉(zhuǎn)動慣量五、引力五、引力六、小結(jié)六、小結(jié) 第四節(jié)第四節(jié) 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用一、問題的提出一、問題的提出把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中. .若要計算的某個量若要計算的某個量U對于閉區(qū)域?qū)τ陂]區(qū)域D具有可加具有可加性性(即當(dāng)閉區(qū)域即當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時，所求量分成許多小閉區(qū)域時，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且相應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域內(nèi)任取一個

2、直徑很小的閉區(qū)域 d時，相應(yīng)地部分量可近似地表示為時，相應(yīng)地部分量可近似地表示為f(x,y) d的形的形式，其中式，其中(x,y)在在 d內(nèi)，內(nèi)， f(x,y) d稱為所求量稱為所求量U的的元元素素，記為，記為dU, 所求量的積分表達式為所求量的積分表達式為 Dd)y, x( fU二、曲面的面積二、曲面的面積 立體的體積立體的體積設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(yxfz ,Dxoy 面上的投影區(qū)域為面上的投影區(qū)域為在在,Dd 設(shè)小區(qū)域設(shè)小區(qū)域,),( dyx 點點.),(,(的切平面的切平面上過上過為為yxfyxMS .dsdAdAdsszd 則有則有，為為；截切平面；截切平面為為柱面，

3、截曲面柱面，截曲面軸的小軸的小于于邊界為準(zhǔn)線，母線平行邊界為準(zhǔn)線，母線平行以以如圖，如圖， d),(yxMdAxyzs o ,面上的投影面上的投影在在為為xoydAd d dd dA Ac co os s , , 2222xyxy1 1coscos, ,1ff1ff dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面曲面S的面積元素的面積元素曲面面積公式為：曲面面積公式為：dxdyAxyDyzxz 22)()(1設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(xzhy 曲面面積公式為：曲面面積公式為： .122dzdxAzxDxyzy 設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(zygx 曲面面積公式為：曲面

4、面積公式為： ;122dydzAyzDzxyx 同理可得同理可得例例 1 1 求球面求球面2222azyx ，含在圓柱體，含在圓柱體axyx 22內(nèi)部的那部分面積內(nèi)部的那部分面積.由由對對稱稱性性知知14AA , 1D：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx面面積積dxdyzzADyx 12214 12224Ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa 222222222222例例3 3：計計算算由由曲曲面面xyz2az(a0)xyz2az(a0)與與zxy (zxy (含含有有z z軸軸的的

5、部部分分) )所所圍圍成成的的立立體體體體積積。（見見習(xí)習(xí)題題課課的的課課外外作作業(yè)業(yè)）22222222例例2 2：求求錐錐面面zxyzxy 被被柱柱面面xy2yxy2y截截下下部部分分的的面面積積（見見自自測測題題） 設(shè)設(shè)xoy平面上有平面上有n個質(zhì)點，它們分別位于個質(zhì)點，它們分別位于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx處，質(zhì)量分別處，質(zhì)量分別為為nmmm,21則該質(zhì)點系的則該質(zhì)點系的重心重心的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 niiniiiymxmMMx11， niiniiixmymMMy11三、重心三、重心當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心形心.,1 DxdAx .1 Dyd

6、Ay DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 由元素法由元素法 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點點),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的重重心心4例例4:4:求位于兩圓求位于兩圓sin2rsin4r和和的質(zhì)心的質(zhì)心. . 2D解解: : 利用對稱性可知利用對稱性可知0 x而而D D1 1yydxdyyydxdyA A 2 2D D1 1r sinr sindrddrd3 3 4 sin4 sin2 22 sin2 sinr dr

7、r dr 4 40 05656sinsind d9 9 56562 29 9 4 42 20 056562sin2sind d9 9 37之間均勻薄片之間均勻薄片0 01 1sinsind d3 3 431 12 2 2oyxC,),(),( dvzyxdvzyxxx .),(),( dvzyxdvzyxyy 由元素法由元素法.),(),( dvzyxdvzyxzz 當(dāng)物體是均勻的，重心稱為當(dāng)物體是均勻的，重心稱為形心形心.,1 xdvVx ydvVy1 dvV其中其中.1 zdvVzzy1zy1例例: :由由曲曲線線繞繞y y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)得得一一曲曲面面, ,求求y1y1x0 x0到到y(tǒng)3y

8、3所所圍圍成成立立體體的的重重心心坐坐標(biāo)標(biāo)( (密密度度為為常常量量).).（見見習(xí)習(xí)題題課課的的課課外外作作業(yè)業(yè)） 設(shè)設(shè)xoy平平面面上上有有n個個質(zhì)質(zhì)點點，它它們們分分別別位位于于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx處處，質(zhì)質(zhì)量量分分別別為為nmmm,21則則該該質(zhì)質(zhì)點點系系對對于于x軸軸和和y軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量依依次次為為 niiixymI12， niiiyxmI12.四、轉(zhuǎn)動慣量四、轉(zhuǎn)動慣量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 薄片對于薄片對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量x薄片對于薄片對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量y解解設(shè)三角形的兩直角邊分別在設(shè)三角形

9、的兩直角邊分別在x軸和軸和y軸上，如圖軸上，如圖aboyx對對y軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸的轉(zhuǎn)動慣量為,2dxdyxIDy babydxxdy0)1(02 .1213 ba 同理：對同理：對x軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸的轉(zhuǎn)動慣量為dxdyyIDx 2 .1213 ab 解解oyx 因因為為矩矩形形板板均均勻勻,由由對對稱稱性性知知形形心心坐坐標(biāo)標(biāo)2bx ，2hy .hb2 2b bx xD D2 2b bI I (x) dxdy(x) dxdy2 2 bhbh2 20000b bdx(x)dydx(x)dy2 2.123 hb 2 2h hy yD D2 2h hI I (y) dxdy(y) dxdy2 2 .

10、123 bh ,dv)z ,y, x()zy(I22x 對于對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量x 對于對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量y 對于對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量z,dv)z ,y, x()yx(I22z ,dv)z ,y, x()zx(I22y 五、引力五、引力 空空間間一一物物體體對對物物體體外外一一點點),(0000zyxp處處的的單單位位質(zhì)質(zhì)量量質(zhì)質(zhì)點點的的引引力力為為: ,)()()()(,(232020200 dvzzyyxxxxzyxkFx ,)()()()(,(232020200 dvzzyyxxyyzyxkFy ,)()()()(,(232020200 dvzzyyxxz

11、zzyxkFz 為引力常數(shù)為引力常數(shù)k為體密度為體密度( , , )x y z 薄片對薄片對軸上單位質(zhì)點的引力軸上單位質(zhì)點的引力z),(zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxkFDx ,)(),(23222 dayxyyxkFDy .)(),(23222 dayxayxkFDz 為引力常數(shù)為引力常數(shù)k解解由積分區(qū)域的對稱性知由積分區(qū)域的對稱性知, 0 yxFF dayxayxkFDz 23)(),(222 dayxakD 23)(1222oyzxFdrrardakR 0222023)(1 .11222 aaRka 所求引力為所求引力為.112, 0, 022 aaRka 幾何應(yīng)

12、用：曲面的面積、立體的體積幾何應(yīng)用：曲面的面積、立體的體積物理應(yīng)用：重心、轉(zhuǎn)動慣量、物理應(yīng)用：重心、轉(zhuǎn)動慣量、對質(zhì)點的引力對質(zhì)點的引力（注意審題，熟悉相關(guān)物理知識）（注意審題，熟悉相關(guān)物理知識）六、小結(jié)六、小結(jié)思考題思考題.)0(cos,cos之間的均勻薄片的重心之間的均勻薄片的重心求位于兩圓求位于兩圓babrar ab xyo薄片關(guān)于薄片關(guān)于 軸對稱軸對稱x, 0 y則則 DDddxxDrdrrdba 20coscoscos2)()(224338abab .)(222ababab 思考題解答思考題解答一、一、 求錐面求錐面22yxz 被柱面被柱面xz22 所割下部分的所割下部分的曲面面積曲面

13、面積. .二、二、 設(shè) 薄 片 所 占 的 閉 區(qū) 域設(shè) 薄 片 所 占 的 閉 區(qū) 域D是 介 于 兩 個 圓是 介 于 兩 個 圓 cos,cosbrar )0(ba 之間的閉區(qū)域之間的閉區(qū)域, ,求求均勻薄片的重心均勻薄片的重心. .三、三、 設(shè)有一等腰直角三角形薄片設(shè)有一等腰直角三角形薄片, ,腰長為腰長為a, ,各點處的各點處的面密度等于該點到直角頂點的距離的平方面密度等于該點到直角頂點的距離的平方, ,求薄片求薄片的重心的重心. .四、四、 設(shè)均勻薄片設(shè)均勻薄片( (面密度為常數(shù)面密度為常數(shù) 1)1)所占閉區(qū)域所占閉區(qū)域D由拋物由拋物線線xy292 與直線與直線2 x所圍成所圍成, ,求求xI和和yI. .練練 習(xí)習(xí) 題題五、求面密度為常量五、求面密度為常量 的勻質(zhì)半圓環(huán)形薄片的勻質(zhì)半圓環(huán)形薄片: : 0,222221 zyRxyR對位于對位于z軸上點軸上點 )0)(, 0 , 0(0 aaM處單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力處單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力F. .六、 設(shè)由六、 設(shè)由exoyxy 及及,ln所圍的