經(jīng)典力學(xué)：習(xí)題課5－功與能

1、力學(xué)力學(xué)習(xí)題課習(xí)題課五、功能原理五、功能原理例例5.1 5.1 半徑為半徑為R R、質(zhì)量為、質(zhì)量為M M的半球放置在光滑的水平的半球放置在光滑的水平臺上，在球頂部有一個質(zhì)量為臺上，在球頂部有一個質(zhì)量為m m的小滑塊，初始靜止，的小滑塊，初始靜止，而后受到擾動下滑。而后受到擾動下滑。(1)(1)求小滑塊的速度求小滑塊的速度v()v()表達(dá)式表達(dá)式(為滑塊到半球心的連線與鉛垂線的夾角為滑塊到半球心的連線與鉛垂線的夾角) )；(2)(2)若若滑塊脫離半球時的角度滑塊脫離半球時的角度45450 0，求質(zhì)量比，求質(zhì)量比 M /m M /m ？vMvmvmMRmvMvm【解解】（1 1）滑塊滑至與鉛垂線成

2、）滑塊滑至與鉛垂線成 角時，其速度是角時，其速度是v vm m，相對半球，相對半球的速率為的速率為v vm m。此時半球?qū)⑾蜃筮\動，設(shè)其速度為。此時半球?qū)⑾蜃筮\動，設(shè)其速度為V VMM。以地面。以地面為參考系，對于滑塊、半球系統(tǒng)，水平方向的動量守恒，機械為參考系，對于滑塊、半球系統(tǒng)，水平方向的動量守恒，機械能守恒，則有能守恒，則有() cos0mMMmvVM Vq q-=（1 1）()22111cos22mMmgRmvM Vq q-=+（3 3）顯然有顯然有()()222coscosmmMmvvVvq qq q=-+（2 2）將（將（1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）式聯(lián)立可解得）式

3、聯(lián)立可解得()()221cossinmRgmMvMmq qq q-+=+（4 4）（2 2）在以半球為參考系之中，滑塊受力為：重力）在以半球為參考系之中，滑塊受力為：重力G G，支撐力，支撐力N N和半球加速運動引起的平動慣性力和半球加速運動引起的平動慣性力F F0 0，方向向右。在徑向，滑塊，方向向右。在徑向，滑塊的運動方程為的運動方程為2cossinmMvmgNmamRqqqq-=（6 6）0N =0Ma= 2c o smvm gmRq q=當(dāng)滑塊要脫離半球時，當(dāng)滑塊要脫離半球時，于是有于是有 mv()()21coscossingmMgMmq qq qq q-+=+以（以（4 4）式的）式

4、的的值代入，得的值代入，得 （5 5）（7 7）()()22 1cossincoscos2 1cosMm-=-q qq qq qq qq q45=q q85 21.9146 28Mm-=-由此解得由此解得以以代入，可得代入，可得（8 8）例例5.2 5.2 質(zhì)量各為質(zhì)量各為m m和和M M的兩物塊用橡皮繩相連放在水平的兩物塊用橡皮繩相連放在水平臺上，橡皮繩原長為臺上，橡皮繩原長為a a，當(dāng)它伸長時，如同一掘強系數(shù)，當(dāng)它伸長時，如同一掘強系數(shù)為為k k的彈簧，物塊與臺面的摩擦系數(shù)為的彈簧，物塊與臺面的摩擦系數(shù)為。今將兩物塊。今將兩物塊拉開至相距拉開至相距b b（baba）靜止釋放，求兩物塊相碰時

5、的相）靜止釋放，求兩物塊相碰時的相對速度。對速度。oMmxXxm m：M M：MXk XxaMg mxk Xxamg （上式中，當(dāng)（上式中，當(dāng)）0,0Xxak用用m m-M-M可得可得2Mm Xxk MmXxaMmg 令令mMmyXxMm ，上式為上式為2mkXxyag 方法方法1.1.直接用牛頓定律直接用牛頓定律注意：動量不守恒；機械能不守恒。注意：動量不守恒；機械能不守恒。m m、M M運動方程為運動方程為即即2mmkkyyag 而而dydy dydyyydtdy dtdy則有則有2mmkkydyydyadygdy 積分得積分得 22001222yaabbbmmkkyya yg yb 22

6、21222mmkkyaba abgb 即即（當(dāng)（當(dāng)yaya時，時，k=0k=0）2224rmmkkyvaba abgb 得到得到方法方法2.2. 用質(zhì)心系方法簡單，理由：用質(zhì)心系方法簡單，理由：質(zhì)心系為零動量系，可確定速度和位移關(guān)系；質(zhì)心系為零動量系，可確定速度和位移關(guān)系；位移關(guān)系確定，摩擦力做功可計算位移關(guān)系確定，摩擦力做功可計算在質(zhì)心系，功能原理形式不變。在質(zhì)心系，功能原理形式不變。,mMvv設(shè)在質(zhì)心系，兩物塊的速度分別為：設(shè)在質(zhì)心系，兩物塊的速度分別為：位移分別為：位移分別為：, l L0cmlMLxmM據(jù)據(jù)和和Llb,Mmlb LbmMmM得到得到MmmvvM相對速度相對速度1+rmM

7、mmvvvvM據(jù)質(zhì)心系的功能原理，據(jù)質(zhì)心系的功能原理，則有則有 00exkcpkcpAmglMgLEEEE 代入代入，式有，式有相對速度相對速度24rmMk mMvvvbabgmM 2220011100222kcpkcpmMEEEEmvMvk ba222111222mMmlMLgmvMvk ba 22222111222mmmMmbgvmvk bamMM 22224mmMvk babgMmMmM 例例5.3 5.3 一內(nèi)部連有彈簧的架子靜置于光滑的水平桌面一內(nèi)部連有彈簧的架子靜置于光滑的水平桌面上，架子質(zhì)量為上，架子質(zhì)量為M M，彈簧的掘強系數(shù)為，彈簧的掘強系數(shù)為k k?，F(xiàn)有一個質(zhì)。現(xiàn)有一個質(zhì)量

8、為量為m m的小球以的小球以v v0 0的速度水平方向射入架子內(nèi)，并壓縮的速度水平方向射入架子內(nèi)，并壓縮彈簧。忽略一切摩擦影響，試求彈簧。忽略一切摩擦影響，試求：（：（1 1）彈簧的最大壓）彈簧的最大壓縮量縮量L L；（；（2 2）在）在t t時間內(nèi)架子的位移量；（時間內(nèi)架子的位移量；（3 3）從彈簧）從彈簧開始被壓縮到壓縮量最大所需的時間開始被壓縮到壓縮量最大所需的時間。Mmv0【解】【解】（1 1）以小球）以小球- -架子為系統(tǒng)，碰撞過程無外力，系統(tǒng)機械架子為系統(tǒng)，碰撞過程無外力，系統(tǒng)機械能守恒，水平方向動量不變。能守恒，水平方向動量不變。 初態(tài)：小球即將與彈簧接觸，設(shè)小球速度為初態(tài)：小球

9、即將與彈簧接觸，設(shè)小球速度為v v0 0； 末態(tài)：小球與壓縮彈簧至最大壓縮量，系統(tǒng)的速度為末態(tài)：小球與壓縮彈簧至最大壓縮量，系統(tǒng)的速度為v v。 水平動量恒量：水平動量恒量：0mvmM v 機械能守恒：機械能守恒：0222111222mvmM vkl 上兩式聯(lián)立解上兩式聯(lián)立解00mmMvvlvmMk mM,【解】【解】（2 2）設(shè)）設(shè)l l0 0為彈簧的原長度，寫出運動方程為彈簧的原長度，寫出運動方程 m m：202mMmd xmk lXxdt MM：202MMmd XMk lXxdt111Mm0MmX = XxlMmMm =,令令整理可得整理可得20211MmMmdXxk XxldtMm 式

10、變成式變成220dkXXdt 式為典型的簡諧運動方程式為典型的簡諧運動方程彈簧從剛壓縮到最大壓縮量歷經(jīng)時間為彈簧從剛壓縮到最大壓縮量歷經(jīng)時間為: t=T/4: t=T/4式為典型的簡諧運動方程，振動周期為式為典型的簡諧運動方程，振動周期為T T：22mMTkk mM 422TmMtkk mM 【解】【解】（3 3）因系統(tǒng)合外力為零，系統(tǒng)質(zhì)心作勻速直線運動，速）因系統(tǒng)合外力為零，系統(tǒng)質(zhì)心作勻速直線運動，速度為：度為：0cmvvmM歷經(jīng)時間歷經(jīng)時間 t=T/4 t=T/4 后，質(zhì)心位移后，質(zhì)心位移x xc c042ccTm vmMxvmMk mM 例例5.4 5.4 一條長為一條長為2 2L L，

11、質(zhì)量，質(zhì)量m m的軟的軟繩掛在一個光滑的水平軸釘上繩掛在一個光滑的水平軸釘上（軸釘?shù)拇旨?xì)可忽略），當(dāng)兩邊（軸釘?shù)拇旨?xì)可忽略），當(dāng)兩邊的繩長均為的繩長均為l l0 0時，繩索處于平衡時，繩索處于平衡狀態(tài)。若給繩的一端施加一個豎狀態(tài)。若給繩的一端施加一個豎直方向的微小擾動當(dāng)較長的，繩直方向的微小擾動當(dāng)較長的，繩索開始從軸釘上下滑，試求（索開始從軸釘上下滑，試求（1 1）當(dāng)繩索剛脫離軸釘時繩的速度；當(dāng)繩索剛脫離軸釘時繩的速度；（2 2）當(dāng)較長一邊繩長為）當(dāng)較長一邊繩長為x x時軸釘時軸釘上所受的力。上所受的力。xox2Lx【解解】(1)(1)先求任意時刻繩的速度，系統(tǒng)機械能守恒，取軸釘處為先求任意時

12、刻繩的速度，系統(tǒng)機械能守恒，取軸釘處為重力勢能零點，即有重力勢能零點，即有0EE 22222211(2)(222222EmvgxgLxmvg xLxL ）22022EgLgL 可得可得()gvxxLL【解解】(2)(2) 系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)2222221111(2)(22)(22)222cxxLxxLxLxLxLmmL 質(zhì)心質(zhì)心對時間求微商得，對時間求微商得，111(22)()()2cxxxLxxL xxL vLLL代入代入v v表達(dá)式得表達(dá)式得211()()()cggxxLxLxLLLLL 221122()2()()()cggggxxL xxLxLxLLLLLLL222()cm g

13、m xxLm gTL222()m gTxLm gL初始時，初始時，x=Lx=L2022()mgTTLLmgmgL 脫離時，脫離時，x=2Lx=2L222(2)mgTLLmgmgL例例5.5 5.5 在鉛直平面內(nèi)由一光滑的半圓形管道，圓的半在鉛直平面內(nèi)由一光滑的半圓形管道，圓的半徑為徑為R R。在管道內(nèi)由一條長度剛好為。在管道內(nèi)由一條長度剛好為RR的軟鏈條，其的軟鏈條，其質(zhì)量密度為質(zhì)量密度為，鏈條初始靜止，然后鏈條開始滑動，鏈條初始靜止，然后鏈條開始滑動，并從管道滑出。試求并從管道滑出。試求：（：（1 1）當(dāng)鏈條剛好從管道口全部）當(dāng)鏈條剛好從管道口全部滑出時的速度；（滑出時的速度；（2 2）當(dāng)鏈

14、條從管道口滑出長度為）當(dāng)鏈條從管道口滑出長度為z zR/3R/3時的速度和加速度。時的速度和加速度。RE1zxozE2【解解】以以x x軸（軸（z=0z=0）為勢能零點）為勢能零點t=0t=0時刻，勢能：時刻，勢能：E Ep0p0，t t時刻，勢能：時刻，勢能：E Ep p012ppEEEE其中：其中：E Ep p為管子空了為管子空了z z長度的那段鏈長度的那段鏈條的勢能，條的勢能，E2E2是下垂的是下垂的z z長度（已脫長度（已脫離管子）的勢能。離管子）的勢能。2202zEgzdzgz 021pppEEEEE而而2210022sinsincos11cosEgRdgRdgRgR 2210022

15、sinsincos11cosEgRdgRdgRgR ,lzlzRR 則有則有211coszEgRR 22211cos2pkzEEEgzgRER 即有即有2222111cos222kpzEmvRvEgzgRR 2221cosgzvzRRR 得到得到2221cosgzvzRRR 13sin3332gaRRgR 當(dāng)當(dāng)3zR 當(dāng)當(dāng)zR 22244ggRvRRRR 因為因為2221cosdvdgzazRdtdtRR singzazRRR 例例5.6 5.6 質(zhì)量為質(zhì)量為m m，長為，長為2a2a的軟繩，一端的軟繩，一端A A系在半徑為系在半徑為a a的輕輪的邊緣，緊繞在該輪上，正好饒滿一圈，輪可的輕輪的

16、邊緣，緊繞在該輪上，正好饒滿一圈，輪可饒過中心的水平光滑軸饒過中心的水平光滑軸O O轉(zhuǎn)動。起初，轉(zhuǎn)動。起初，O O與與A A的連線在水的連線在水平方位，由于繩的尾部有一小段（長度可忽略）自由平方位，由于繩的尾部有一小段（長度可忽略）自由懸掛著，使得輪子由靜止開始轉(zhuǎn)動，同時繩逐漸松開，懸掛著，使得輪子由靜止開始轉(zhuǎn)動，同時繩逐漸松開，求求A A點轉(zhuǎn)過點轉(zhuǎn)過角時輪的角速度。角時輪的角速度。xyOasdss/a【解解】系統(tǒng)僅有重力作功?？疾煸谙到y(tǒng)僅有重力作功?？疾煸趚 x軸以下軸以下s s處長為處長為dsds的繩元，它的繩元，它的的y y坐標(biāo)為坐標(biāo)為:-s:-s，當(dāng)它未松開時，其，當(dāng)它未松開時，其y

17、y坐標(biāo)為坐標(biāo)為: -asin(s/a): -asin(s/a)，它自未松，它自未松開到松開至下垂的過程中，重力作功為開到松開至下垂的過程中，重力作功為(sin)(sin)2smsdAdsg sag sadsaaa 重力在長為重力在長為aa的繩索下垂過程中作的總功為的繩索下垂過程中作的總功為02(sin)2(2 cos2)4amsAdAg sadsaam gaA 即即據(jù)質(zhì)點系的動能定理據(jù)質(zhì)點系的動能定理 ，總功等于體系動能的增量。設(shè)此時，總功等于體系動能的增量。設(shè)此時輪子轉(zhuǎn)動的角速度為輪子轉(zhuǎn)動的角速度為 有有2221()(2cos2)24(2cos2)2mgam aga 例例5.7 5.7 在水

18、平臺上有一輕木板，其上有兩物體在水平臺上有一輕木板，其上有兩物體A A，B B，質(zhì)量均為質(zhì)量均為m m。B B與木塊固連，其上并有一掘強系數(shù)為與木塊固連，其上并有一掘強系數(shù)為k k的輕彈簧，其自然長度為的輕彈簧，其自然長度為a a，物體，物體A A位于彈簧的自由端位于彈簧的自由端（但不與之相連），它與木板間的摩擦系數(shù)為（但不與之相連），它與木板間的摩擦系數(shù)為，設(shè)，設(shè)不大。今給物體不大。今給物體A A以沖力，使其獲得初速度以沖力，使其獲得初速度u u1 1，求，求彈簧的最大壓縮量和彈簧恢復(fù)原形時兩物體的速度。彈簧的最大壓縮量和彈簧恢復(fù)原形時兩物體的速度。ABammu1【解解】 在實驗室參照系，質(zhì)

19、心速度在實驗室參照系，質(zhì)心速度1122cmuuvm在質(zhì)心系，兩物體的初速度各為在質(zhì)心系，兩物體的初速度各為111222uuuu， 初速動能為初速動能為12 221211224kcmEmumuu 在質(zhì)心系，當(dāng)彈簧最大壓縮量時，體系動能為在質(zhì)心系，當(dāng)彈簧最大壓縮量時，體系動能為0 0，據(jù)功能定理，據(jù)功能定理，若最大壓縮時彈簧長若最大壓縮時彈簧長l l，則有，則有22111()()42muk almg al 因摩擦內(nèi)力的總功與參照系無關(guān)，可直接寫為因摩擦內(nèi)力的總功與參照系無關(guān)，可直接寫為()m g al 解上述方程，得最大壓縮量解上述方程，得最大壓縮量2222112()m gmkumgalk 當(dāng)彈簧

20、形變消失時，兩物體具有相同速度（方向相反）當(dāng)彈簧形變消失時，兩物體具有相同速度（方向相反）vv和和-v-v，此時體系僅有動能，據(jù)動能定理得此時體系僅有動能，據(jù)動能定理得2211122()42mumvmg al 2222122211121122()44gm gmkumgvug aluk 222221112142gvumgm kum gk 回到回到 實驗室參照系，此時兩物體的速度實驗室參照系，此時兩物體的速度222221112222211111212421121242AcBcgvvvuum gmkumgkgvvvuum gmkumgk 由于由于vuvu1 1/2/2，碰后，碰后v vA A不再為零

21、（大于零），不再為零（大于零）， v vB B不等于不等于u u1 1（?。ㄐ∮谟趗 u1 1），碰后兩物塊分離的速度為），碰后兩物塊分離的速度為2vu2vu1 1，小于碰前的接近速，小于碰前的接近速度。這是非彈性碰撞的情況。度。這是非彈性碰撞的情況。例例5.8 5.8 設(shè)作用在質(zhì)點上的力為如下形式，問該力是否設(shè)作用在質(zhì)點上的力為如下形式，問該力是否為保守力？若是保守力，導(dǎo)出勢能函數(shù)。為保守力？若是保守力，導(dǎo)出勢能函數(shù)。(2)(2)()Fxyz ixyz jxyz k【解解】 110110220yzxzyxFFFFyzzxFFxy ， 即即 0F ，F(xiàn) F 是保守力。是保守力。 222(2)(

22、2)()()2()()-1()2()2PExyz dxxyz dyxyz dzxdxydyzdzydxxdyzdxxdzzdyydzxyzxyxzyzxyzoP(x, y, z)P0(x0, y0, z0)A(x, y0, z0)B(x, y, z0)02200000000011(2)2222xxxyzdxxxy xy xz xz xP0AP0A段積分：段積分：y=yy=y0 0, z=z0, dy=dz=0, z=z0, dy=dz=0ABAB段積分：段積分：z=z0, dx=z=z0, dx=dzdz=0=002200000011(2)2222yyxyzdyyyxyxyz yz yBPBP段積分：段積分：dx=dx=dydy=0=002200011()22zzxyz dzxzxzyzyzzz2222222000000002201()221()21()222ppExyzxyxzyzxyzy xEx