第八章數值積分與微分

1、第8章返回前進第8章目錄返回前進第8章目錄返回前進序(1)baxxf d)(baaFbFdxxfI )()()(返回前進序(2)等321,ln1,sin,sin)(2xxxexxxfx返回前進1 數值積分的基本概念 )()()( fabdxxfIba)(xfy )(f返回前進構造數值求積公式的基本思想（續(xù)）中矩形公式取梯形公式 2)()( ,2 )()(2)( bafabdxxfIbabfafabdxxfIbaba1)-(7 )()(0 nnkkkbaIxfAdxxfI返回前進構造數值求積公式的基本思想nkkkxMaxnbaxxfdxxfIknk00 )(lim)(0或nkkknkkkbaxf

2、AxxfdxxfI00 )()()(nkkkbannxfAdxxfIIRfR0 )()()(返回前進1.2 代數精度 返回前進代數精度(續(xù)1）.,1.,),(2),(31d,)( .2)(2),(21d,)(.,) 11 (2d1,1)(, 22233 222222 一次梯形公式的代數精度為知故由定理不精確成立即公式對右端左端此時右端左端時當公式也精確成立右端左端時當此時公式精確成立右端左端時當對于梯形公式解xbaababxxxxfabbaababxxxxfabababxxfbababa返回前進代數精度（續(xù)2）2)-(7 1211110022110010nabxAxAxAabxAxAxAabA

3、AAnnnnnnnnnn返回前進 ) 37 ()() 0 ()()(101 hfAfAhfAdxxfIhh34,3)(32)(02011112311101hAhAAAAhhAAhAAAh)47()(3)0(34)(3)( hfhfhhfhdxxfba返回前進bahfhfhhfhdxxffR )(3)0(34)(3()()( 檢查（檢查（7-4）對）對 m = 3 是否成立，為此，令是否成立，為此，令 f(x)=x3 代入（代入（7-4），此時左邊），此時左邊 。 ,3)(333右邊hhhh),(3)(344hhhh 右邊左邊再檢查（再檢查（7-4）對）對m=4是否成立，令是否成立，令f(x)=

4、x4代入（代入（7-），），此時此時:因此近似式（因此近似式（7-4）的代數精度為）的代數精度為m=3.返回前進)()()(gRfRgfR00000)()()() 1 ()(332210332210 xRaxRaxRaRaxaxaxaaR因此：返回前進待定系數法注釋返回前進1.3 插值型求積公式 nkkknxlxfxL0)()()( nkkbakbankkkbanbaxfxxlxxlxfxxLxxfI0 0 )(d)(d)()(d )(d )(5)-(7 ), 1 , 0( d)( nkxxlAbakknknkkbaIxfAxxfI0 )(d)(返回前進插值型求積公式（續(xù)）6)-(7 d )(

5、)!1()(d )()( 0) 1( bankknbannnxxxnfxxLxfIIR返回前進插值型求積公式代數精度定理是插值型的。所以，求積公式故：所以：滿足：由于) 17(), 1 , 0( d)()()( 0)( 1)()()(d)( 0 0niAxxlAxlAikikxlxlxlAxxlibainkikikkiibankkiki返回前進返回前進插值型求積公式舉例)1 ()0(2) 1(21)(11fffdxxf次代數精度。所以此求積公式具有一右邊左邊時當右邊左邊時當右邊公式左邊時檢查當解：1) 1021 (2132d ,)(0) 1021(210d ,)(2) 121 (212d ,1

6、)( 1 1 221 1 1 1 xxxxfxxxxfxxf返回前進2 牛頓一柯特斯(Newton-Cotes)公式 nnknkbabankjjjkjkknktjtknknabtjkjthAthaxnkxxxxxxxlA 0 0 nkj0jnkj0j 0), 1 , 0( d)()!( !) 1(d:), 1 , 0( dd)(則有引入變換返回前進牛頓一柯特斯(Newton-Cotes)公式（續(xù)）)(nkC7)-(7 ), 1 , 0( d)()!( !) 1( 0 nkj0j)(nktjtknnkCnknnk 于是得求積公式則,)()(nkkCabA8)-(7 )()(0)(nkknknxf

7、CabI返回前進989 5888 -928 10496 -4540 10496 -928 5888 9891/283508751 3577 1323 2989 2989 1323 3577 7511/172807 41 216 27 272 27 216 411/8406 19 75 50 50 75 191/2885 7 32 12 32 71/904 1 3 3 11/83 1 4 11/62 1 11/21), 1 , 0( )(nkBACknk返回前進牛頓一柯特斯(Newton-Cotes)公式（續(xù)1） 21 21) 1(! 1! 0111 0 )1(11 0 )1(0tdtCdttC

8、9)-(7 )()(2)()(10) 1(1TbfafabxfCabIkkk2 0 1)2(22 0 1)2(12 0 2)2(021061)2(! 1! 12) 1(64)2(! 1! 12) 1(61)2)(1(! 2! 02) 1(: )77(,2,2dtttCdtttCdtttCbxbaxaxn按公式相應的節(jié)點時當10)-(7 )(24)(62SbfbafafabI 返回前進牛頓一柯特斯(Newton-Cotes)公式4 0 0) 4(44 0 1) 4(34 0 2) 4(24 0 3) 4(14 0 4) 4(0907) 3)(2)(1(! 0! 44) 1(9032) 4)(2)

9、(1(! 1! 34) 1(9012) 4)(3)(1(! 2! 24) 1(9032) 4)(3)(2(! 3! 14) 1(907) 4)(3)(2)(1(! 4! 04) 1(dtttttCdtttttCdtttttCdtttttCdtttttC，11)-(7 )(7)(32)(12)(32)(7 9043210 xfxfxfxfxfabC4 ),4 , 3 , 2 , 1 , 0( abhkkhaxk其中返回前進柯特斯系數的性質10)(nknkC)()(nknnkCC)( 0 )( 0 0 )( 0 )()() 11)() 1(!)!() 1()() 1)(1() 1() 1()!(

10、!) 1()() 1)(1() 1)()!( !) 1() 1()() 1)(1() 1()!( !) 1(nknnknnnnknnknnknknnkCdunuknuknuuukknndunukunkunuuknnkduukunkunununknnkCtnudtntktktttknnkC，則：令由：返回前進返回前進N為偶時的?？鹿降拇鷶稻茸C明 nnnnnnnnnnnjnnnnbajnbanjjnnnnnnnnndxntttthadxnttttntnthadxjnthaPRthnhaxdxxxadxxxnPPRnaxaxaxaxP 222222212 2212 202212122 2n0j1

11、2 20) 12(121220122121212)()2)(1()() 1() 1() 1)()()(:)()()!12()()() 67(,12,)(:代入上式得令由式次多項式為設證明0)(122nnPR為奇為偶公式的代數精度實際上是說定理nnnnmCN , 13返回前進N-C公式應用舉例)()2(4)(6bfbafafabS4)(24)(61)2(4(6)()2(4)(6 4)(4432244333 443ababbabaaabbbaaabbfbafafabSabdxxdxxfIbaba而返回前進2449787. 011179 . 011328 . 011127 . 011326 . 01

12、17906 . 0122222CI24497866. 0d1116 . 01 6 . 0 2arctgxxxI1 6 . 0 2d11xxI2449546. 01118 . 01146 . 01166 . 01222SI2470588. 01116 . 01126 . 0122TI返回前進2.2 幾種低價N-C求積公式的余項 xbxaxfTIRbaTd)(!2)( 12)-(7 ,)(12)(d )(2)(3 baabfxbxaxfRbaT 返回前進辛卜生公式誤差估計式的 推導bababHbaHaHabdxxHdxxf )()2()(6)()(xbxbaxaxfSIRbaSd)()2)(! 4

13、)(2 )4()2()2(),()(),2()2(),()(bafbaHbfbHbafbaHafaH),(),()2)(! 4)()()()(2)4(babxbaxaxfxHxfxR返回前進13)-(7 ),( )()2(180d )()2)(! 4)() 4(4 2) 4(bafababxbxbaxaxfRbaS)147 (, ),(4945)( 2) 6(6 bafababCIRC由廣義積分中值定理有非正內不變號在由于),(,)()2)(2babxbaxax辛卜生公式誤差估計式的返回前進2.3 牛頓一柯特斯公式的穩(wěn)定性和收斂 nknkbaCabx0)( )(1d10)(nknkCknk0m

14、axabECCCCabCabxfCabxfCabEnknknknknknknknkknknkkknknkknk:, 1,)()()()(0)(0)()(0)(0)(0)(0)(從而有全為正數時當返回前進方法可能不穩(wěn)定大很多初始數據的誤差可能擴因此可能很大則注意有正有負時當,., 1,0)(0)()(nknknknknkCCC0limnnR返回前進3 復化求積公式 返回前進101 10 1)()(2d)(d)(,) 1, 1 , 0(,)., 1 , 0(,1nkkkbankxxkkkxfxfhxxfxxfnkxxnkkhaxnabhnbakk得上用梯形公式并求和在每個小區(qū)間記等分將積分區(qū)間返回

15、前進復化梯形公式15)-(7 )(2)()(2)d( 11 nnkkbaTxfbfafhxxf整理得)(xfy 返回前進復化梯形公式的截斷誤差 bankknTkkkxxkkkkkfhTxxffRxxfhxfxfhxxfxxbaCxfkk 1031 311)2()(12)d()(),( )(12)()(2d)(,)(1因此：梯形公式的截斷誤差為上在小區(qū)間如果 10)(1)(nkkfnf16)-(7 ),( )(12)(12d)()(23 bafhabf nhTxxffRnbaT 返回前進復化梯形公式的數值穩(wěn)定性討論knkknknkknabnhh00110max)(max22返回前進3.2 復化S

16、impson公式和復化Cotes公式 )()(2)(4)(6)()(4)(6d)(d)()()(4)(6d)(:,), 1 , 0(,11102/11012/1 10 12/12/1111nkknkknkkkkbankxxxxkkkkkkkbfxfxfafhxfxfxfhxxfxxfxfxfxfhxxfSimpsonxxxnabhnkkhaxnbakkkk求和得：則有公式求積分用的中點為小區(qū)間分點為等分分成將區(qū)間17)-(7 )(4)(2)()(6d)( 11102/1banknknkkSxfxfbfafhxxf返回前進復化Simpson公式的截斷誤差 nkkkkkbanknkkkSxxfhh

17、xfxfbfafhxxffR11)4(4 10102/1, )()2(180)(4)(2)()(6d)()(18)-(7 ),( )()2(180)() 4(4bafhabfRS返回前進復化Cotes公式 nabhnkkhaxk), 1 , 0(,1kkxx1434241,kkkkkxxxxx19)-(7 )(7)(14)(32)(12)(32)(79010104/31010424/1nknkkknknkkknbfxfxfxfxfafhC20)-(7 ),(),(4945)( 2)() 6(6bafhabCIfRnc返回前進的近似值計算積分1 0 dsinxxxI945691. 0)8(2)

18、1 ()0(16171kkfffI返回前進946084. 0 )812(4)4(2) 1 () 0(2413141kkkfkfffI返回前進1 0 dexIx1de3 .01 0 xx422102112)(121 hfhRT8.40106142nn即：44)4(41021)2(1801)()2(1801hfhRS 1 ,0 1e)()(xxfxk返回前進返回前進881125, 0,1342. 01631810213112)()01 (1231)(,211d)2cos(max)(d)2cos(d)cos()(,dcossin)(3221 0 1 0 10)(1 0 1 0 )(1 0 abhhh

19、fhRxfkkdtttkntxtxftktxttxtdxdxftxtxxxfTkkxkkkkk 因此可取時當故：所以由于1 0 sindxxxI返回前進4 逐次分半算法(變步長方法) 返回前進4.1 梯形法的遞推公式 abhbfafabT),()(211、)2(22)()2(2)(4)2)()2(21(2)2(212)(22,2,2,212bafabTbfbafafabbfbafabbafafabTabhbbabaaba分半為、將 ,)d( baxxfI對返回前進3122312422)(2)()(2)(21)()(21(44 , 3 , 2 , 1 , 0 ,4,4)(3kkkkhafbfaf

20、hbfkhafafabTkkabakhaxabh再分半、加密一次區(qū)間)3()(21 )4)( 3()4(421)4)( 3()4(4)4)( 2(2)(2)(4222222241212hafhafhTTabafabafabTabafabafababafbfafabTT，亦即即, 2 , 1 , 0 )(2)()(21212mkhafbfafhTmmkmm返回前進1,kkxx)(21121kkkxxx1,kkxx)()(2)(411kkkxfxfxfhnabh返回前進21)-(7 ) 1(2(21112122mmmkmmhkafhTT )( 2 )()(41 -n0211012knkkknxfh

21、xfxfhT返回前進)()(4)(12)(44)(12)()(12)(12)d(),()(12)d(),()d(121212211212221212 2222 2 211111mmmmmmmhhmmmmmmbammbabaffhabfhfhabfhfhabTTfhabTxxfTfRTfhabTxxfTfRxxfITmmmmmmmmmm 將此兩式相減作近似：以誤差為：近似積分以。上當前步長加節(jié)點的函數值之和乘加上新增等于一次區(qū)間時，小一半區(qū)間或稱為加密即相當于縮時縮小一半變?yōu)楫敳介L由mmmmmhTTabhabhmm2,2212211返回前進11222222231),(),(3)(123 mmmm

22、mmTTTfRTfRfhabTTmm復化梯形公式的停止計算控制 )()(1mmff )(180)d(),()(180d)(),(:,)(151d)(),(3,1)4(412 22)4(42 22 222222211111mmbambabafhabSxxfSfRISfhabSxxfSfRISSSSxxfSfRITTTmmmmmmmmmmmmm：近似積分以誤差為近似積分以（下面推導）同樣關于時可結束計算而以則當若預先給定返回前進)227(151),(),(15)(15180)()(112222)4(422)4(1)4(mmmmmmSSSfRSfRfhabSSffmmmm即：可得由復化simpson

23、的停止計算控制 )()(16)(180)(1616)(180)()(18021)4(1)4(41)4(41)4(421411)4()4(422111mmmmmmmhhmmmmmmffhabfhfhabhffhabSShhmmmm將上兩式相減注意到返回前進4.2 Simpson公式的逐次分半法 :,),217(15,15,)227(22222211公式但可由復化也較難但很復雜梯形的遞推公式公式也可導出類似復化對復化的停機標準。作為并以。可用時則當對預先給定由式SimpsonSimpsonSSSISSSmmmmmmISmSSimpsonhkafkhafbfafhSabhbadxxfImmmmmkm

24、kmmmmmba22211212 ,) ) 12(4)2(2)()(32,2,)(11時，當序列可由此計算等分將區(qū)間返回前進Simpson公式的逐次分半法（續(xù)）121111212112112121121212112121111111111)()()(2231 ) )2(2) 12(2)()(322)(2)()2(32 ) )2(4) 12(4)(2)(2(3) )2(2) 12(4)()(3 ) 12(4)2(2)()(3mmmmmmmmmmmkmmkmkmmkmmkmkmmkmkmmkmkmmbfafkhafhkhafhkafbfafhbfafkhafhkhafhkafbfafhkhafhk

25、afbfafhhkafkhafbfafhS12223134mmmTTS即返回前進梯形公式的逐次分半法舉例xxxfdxxxIsin)(,sin10211069465909. 0)(81219445135. 04121)(41)2(41(21)(41)(21(41 )(21)(21)(21)(21419397933. 0212121)(2121 )2(41)(21)(21(219207355. 0)8414710. 01 (21)(21)1 ()0(218/78/58/38/ 14824/34/ 124/34/ 12/ 1104/34/ 14/24/2104/44/34/34/24/24/ 14/

26、 10422/ 112/ 1102/ 11012/ 12/ 1021023210ffffTTTffTfffffffffffffffffffTTfTffffffffffTffffT返回前進例8（續(xù)）9460827. 0dsin1021311021310210011776. 031)9465909. 0(3131,9460827. 09460815. 01 0 6226226222212826426767223376xxxITTTTTTTITTTTT即而再繼續(xù)分區(qū)間由于若以返回前進例8說明813134)(31,9460827. 0,79460831. 0dsin9460833. 031343134

27、)(31:)(3184822212821 0 4822222222233723233323SSTTTTTTTxxxTTTTTTTTTT而實際上還準確這個結果比位有效數字的值相比較這是有與上這個差加到或者將)2()(31)2(34)(61)2(64)(61)()()(21(3)(21)2()(21(23431343134:212212hShThTSbfbafafabbfafabbfbafafabTTSTT即下面再次推導驗證返回前進例8說明（續(xù)1）)(31:,)d(122 2mmmTTxxfITba結束控制的誤差估計為近似積分若以mmmmmmSTTTTT222222113134)(3122mmSS

28、impsonT序列構造列亦即：可由復化梯形序返回前進mmmCST222: 構造構造我們可由綜上可見mmmmmmmmmmCSSSSSSSSIS22222222221111511516)(151:),(151:,并且可證得到新的近似序列上補充到也可將此誤差補此誤差控制結束的誤差為近似積分若以mC2由于由于為復化為復化Cotes序列，序列，即由即由Simpson序列可構造出收斂更快的序列可構造出收斂更快的Cotes序列序列 。mC2例8說明（續(xù)2）返回前進例8說明（續(xù)3）111111222222222222222221411441511516)(1511411443134)(31mmmmmmmmmm

29、mmmmSSSSSSSTTTTTTT返回前進例8說明（續(xù)4）)(945)(2),(Cotes(1411446316364)(631)6(622323322222111mmfhabCfRCCCCCCCmmmmmmmm公式的誤差估計式的復化繼續(xù)下去。于系數的規(guī)律性，還可由積分序列并且上述過程即是下面將要介紹的可繼續(xù)上述構造過程：記按照上述系數規(guī)律性因此記為RombergRRCSTRCCmmmmmmmm222222232331141144,返回前進5 龍貝格（Romberg）求積公式 138988493. 3 03. 030073. 0138988493. 3)87()85()83()81(8121

30、13117607. 3)4/3()41(41211 . 3)21(2121 :,121,21, 03)1 ()0(21 1 , 014)(10 d14232321022222212221221 0 2ITTffffTTffTTfTTTffTTxxfxxI停止若用復化梯形公式返回前進外推法（續(xù)1）140704293. 3)1615()1613()1611()169()165()163()161(1612100000015. 0,0000005. 01021,731415926. 331341415926. 3444d14 343332332322262222222101 0 2fffffffTT

31、SSimpsonSTTTSTTarctgxxxI而要達到此精度：，要達到此精度并且若式（序列）準確得多。公式（序列）比梯形公對同一步長位有效數字具有位有效數字，具有可構造出：與若利用注意到返回前進)(kmT)(),(22)(mkkmhOTfRkkkkkkkRCCSSTTTTTTkkkk2222222)(3)(2)(1)(0RombergCotes,Simpson),(,Romberg序列構造而由序列構造再由序列加速構造然后利用利用遞推式實際計算時形序列而這實際上是先計算梯構造求積公式實際上是由25)-(7 ), 2 , 1 , 0 , , 2 , 1(144)(1) 1(1)(kmTTTmkm

32、kmmkm返回前進外推公式)6316364(63646364)1511516(1511516)3134(3134:111222)(2)1(2)(3222)(1)1(1)(2222)(0)1(0)(1mmmmmmmmmCCRTTTSSCTTTTTSTTTkkkkkkkkk外推公式為結束)0(1)0(mmTT返回前進外推公式（續(xù)）否則結束，若加速可求而由加速可求以、再分區(qū)間求求加速，以、分區(qū)間求、先計算第一列為復化梯形序列對按此表,1511516,3134,)4)(3()4(22133134,)2(222)()(21,)d(,)0(1)0(2)0(1)1(1)0(2)0(1)1(1)1(0)2(0

33、)1(1)1(0)2(0)1(0)2(0)0(0)1(0)0(1)0(0)1(000)1(0)0(0 TTTTTTTTTTTTabafabafabTTTTTTTbafabTTbfafabTxxfIba.,6316364,151516,151516,3134,)8)( 7()8)( 5()8)( 3()8(824)0(1)0()()0(2) 1 (2)0(3)0(2) 1 (2) 1 (1)2(1) 1 (2) 1 (1)2(1) 1 (1)2(1) 1 (2) 1 (1)2(1)2(0) 3(0)2(1)2(0) 3(0)2(0) 3(0為止直到收斂越快越大，可以、再分區(qū)間，求：mmkmTTT

34、mTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTabafabafabafabafabTT 為止即序列所以一般只到和的增大而趨于隨但由于等亦即還可計算組合按通常還可以由)(32)0(44442, 01141,144,141,144kmmmkTRRombergmTRm返回前進Romberg方法舉例9460832. 0dsin10211029460832. 063649460832. 015169460835. 0349456910. 0)875. 0()625. 0()375. 0()125. 0(81219460830. 015169460870. 0349445136. 0)75. 0()25. 0

35、(41219461457. 0349397932. 0)5 . 0(21219207355. 0)1 ()0(211067)0(2)0(3)0(2)1(2)0(3)1(1)2(1)1(2)2(0)3(0)2(1)2(0)3(0)0(1)1(1)0(2)1(0)2(0)1(1)1(0)2(0)0(0)1(0)0(1)0(0)1(0)0(0 xxxITTTTTTTTTTTffffTTTTTTTTffTTTTTfTTffT，1 0 dsinxxxI61021返回前進6 高斯型求積公式dxxnffRxfCabxfAdxxffIbaninininiiiba )( )!1()()()()()()()( )

36、 1(0)(0 返回前進dxxffIba )()( 返回前進)( )(0 iniibaxfAdxxf返回前進niiibaxfAdxxffI1 )( )()()()()(1 iniibaxfAdxxffI返回前進0)( )(0 )( )()( )(),()()()( )()(121 2 221 1ininiiniibanbannnbaniiixAxfAdxxdxxfxxfxxxxxxxxfAdxxffI而此時：并取設返回前進一般理論舉例)()()( )(22111 0 21xfAxfAxfAdxxfiii 112 0 11122 0 12221122 0 13331122 01121314AAd

37、xx Ax Axdxx Ax Ax dxx Ax Ax dx)277(4131)267(2111121323122212121AAxxxxAAxx）（代入由28-7 2114131 11)267(4131 )277(1323122212113231222121xxxxxxxxxxAA返回前進一般理論舉例（續(xù)1）BxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxAAAAxxxxT2121212212122122212122121231232122213132122221213122322112222113231222

38、121213122321222212122313222313221*11323122211)()()(111)(111)(11,1因此：陣）代數余子式構成的伴隨（而211413114131211413110,2114131)287(2222222121vvuvuvvuvvuvuvvuxxvxxuB即：，令：中得：代入返回前進一般理論舉例（續(xù)2）0 ,6143, 10374924169681238316323844121322941232384213212321324421321234422222222222vuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuvuvuvu2121178868.0211

39、32.03112121132.078868.031121061 ,61)1(6110043 6112122112121121112121AAAxAxAAxxxxxxxxxxvvuvu再代入這組，舍去，兩組解：返回前進一般理論舉例（續(xù)3）311213112121)(1 0 ffdxxf可得求積公式為：返回前進帶權函數的Gauss型求積公式 )()()( 1 knkkbaxfAdxxfx返回前進次代數精度具有使求積公式：確定3)()( )(,22111 1 2121xfAxfAdxxfAAxx)()()()()()()(10211021xbbxxxxxaaxrxxxxxgxf)() 1)() 1(

40、) 1)(24(1324)(2223xrxxgxxxxxxxf則：返回前進）（ 297)()()()()()( )()( )( )(22112102110122111 1 10211 1 101 1 xrAxrAxbbAxbbAxfAxfAdxxbbdxxxxxxaadxxf)()( )(22111 1 xfAxfAdxxf返回前進例11（續(xù)2）0)( )()297()()( )()()( )( )(21 1 110210211011 1 1022111 1 1 1 dxxxxxxaaxbbAxbbAdxxbbxrAxrAdxxrdxxf式，則有：將此結論代入亦即： 10112 1 10112

41、 1 1 0()() 0 0 1()() 0aaxxxxdxaax xxxxdx）（ 297)()()()()()( )()( )( )(22112102110122111 1 10211 1 101 1 xrAxrAxbbAxbbAxfAxfAdxxbbdxxxxxxaadxxf返回前進具有三次代數精度。則可得求積公式為：3131)(1 1 ffdxxf例11（續(xù)3）1313102)()( )(, 1)()( 0)(32 31 023221211 1 - 1 1 2122111 1 - 212121AAAAxdxAAdxxfAxfAdxxfxxfxfGaussxxxxxx代入為特殊的再取點所

42、以為因為達到三次返回前進求解例11方法小結)()()()(21xrxxxxxgxf)307(0)( )( 211 1 dxxxxxxg返回前進求Gauss點的一般方法中將其代入其中：nkkkbaxfAaxxfxnxrxg1 )()()(1)(),(）（3170 )( )( )( dxxxgxnba返回前進Gauss點的充要條件正交。上帶權在次多項式與點的充要條件是：為即點為中，點）（求積公式：)(,)(1)(0)( )()(), 2 , 1(327)()()( 1 xbaxpnxGaussxdxxxpxGaussnkxxfAdxxfxnknbaknkkkbanknnknnnnxxxxaxxax

43、axg11 )()()()()()(1)( xgaxnnn返回前進)(1)( xgaxnnn返回前進nkjjnkkkkkknkkjkjknknkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxp, 1111111 )()()()()()()( )()()()(,)()()()()(,)()()()()(2321231212121xpxxxxxxxxxxxxxpxxxxxxxxxpnnnnnklknllknknbajkAxpAdxxxxxxxfkjkjxp)()()()()()327()(,0 , 1)(1 應準確成立，即：的特殊多項式代入以此作為且返回前進定理7.4證明)nkkkbaxfAdxxfx1 )( )()(0)( )( )( )()(1 knknkknbaxxpAdxxxpx返回前進定理7.4證明（充分性）111221111221