克里金插值法

1、克里金插值法及其適用范圍2012301610099 巴任若 測繪學院克里金插值法又稱空間局部插值法，是以變異函數(shù)理論和結(jié)構(gòu)分析為基礎，在有限區(qū)域內(nèi)對區(qū)域化變量進行無偏最優(yōu)估計的一種方法，是地統(tǒng)計學的主要內(nèi)容之一，由南非礦產(chǎn)工程師D. Matheron于1951年在尋找金礦時首次提出，法國著名統(tǒng)計學家G. Matheron隨后將該方法理論化、系統(tǒng)化，并命名為Kriging，即克里金插值法。1 克里金插值法原理克里金插值法的適用范圍為區(qū)域化變量存在空間相關性，即如果變異函數(shù)和結(jié)構(gòu)分析的結(jié)果表明區(qū)域化變量存在空間相關性，則可以利用克里金插值法進行內(nèi)插或外推。其實質(zhì)是利用區(qū)域化變量的原始數(shù)據(jù)和變異函數(shù)

2、的結(jié)構(gòu)特點，對未知樣點進行線性無偏、最優(yōu)估計，無偏是指偏差的數(shù)學期望為0，最優(yōu)是指估計值與實際值之差的平方和最小1。因此，克里金插值法是根據(jù)未知樣點有限領域內(nèi)的若干已知樣本點數(shù)據(jù)，在考慮了樣本點的形狀、大小和空間方位，與未知樣點的相互空間關系，以及變異函數(shù)提供的結(jié)構(gòu)信息之后，對未知樣點進行的一種線性無偏最優(yōu)估計。假設研究區(qū)域a上研究變量Z（x），在點xiA（i=1，2，n）處屬性值為Z（xi），則待插點x0A處的屬性值Z（x0）的克里金插值結(jié)果Z*（x0）是已知采樣點屬性值Z（xi）（i=1，2，n）的加權和，即： （1）式中是待定權重系數(shù)。其中Z(xi)之間存在一定的相關關系，這種相關性除與

3、距離有關外，還與其相對方向變化有關，克里金插值方法將研究的對象稱“區(qū)域化變量”針對克里金方法無偏、最小方差條件可得到無偏條件可得待定權系數(shù) (i=1，2，n)滿足關系式： （2）以無偏為前提，kriging方差為最小可得到求解待定權系數(shù)的方程組： （3）式中，C（xi，xj）是Z(xi)和Z(xj)的協(xié)方差函數(shù)。2 國內(nèi)外研究進展從克里金方法被提出到現(xiàn)在已有完善的理論，并在很多領域得到了實際的應用，在某些領域的應用又推動了克里金理論的發(fā)展3。它的發(fā)展可歸納為四個時期，每個時期都是以每一屆地質(zhì)統(tǒng)計學大會的召開為標志。第一時期，初次提出了地質(zhì)統(tǒng)計學理論，將地質(zhì)統(tǒng)計學與傳統(tǒng)的統(tǒng)計學分開，且提出了區(qū)域

4、化變量、簡單克里金、普通克里金、泛克里金的概念。第二時期，地質(zhì)統(tǒng)計學的理論逐步的幵始改進和完善。第三時期，地質(zhì)統(tǒng)計學克里金在實踐應用的發(fā)展相對理論發(fā)展更快，形成了兩種類型的理論體系：一類是有參數(shù)的克里金方法，另一類是沒有參數(shù)的克里金方法，有參數(shù)的克里金方法是指所研究的數(shù)據(jù)必須符合正態(tài)分布，如析取克里金；而沒有參數(shù)的克里金方法對所研究的變量的分布沒有特殊要求，如指示克里金和概率克里金。第四時期，克里金方法的應用領域不斷擴展壯大，在研究中有很多新的課題產(chǎn)生，克里金所研究對象已經(jīng)不再局限于空間領域的變量，隨著某些領域的需求，正在向時間-空間領域擴展4。從目前來看，克里金技術的發(fā)展可以概括如下：(1)

5、形成了一套完整的理論體系。線性平穩(wěn)地質(zhì)統(tǒng)計學是地質(zhì)統(tǒng)計學的基礎部分，包含基本概念：區(qū)域化變量理論；基本工具：變差函數(shù)；基本假設：二階平穩(wěn)假設和本征假設；基本公式：估計反差和普通克里金法；線性非平穩(wěn)地質(zhì)統(tǒng)計學包括了泛克里金和K階本征函數(shù)法等。平穩(wěn)非線性地質(zhì)統(tǒng)計學包含析取克里金等。(2)編制了一些實際有效的程序以及軟件。例如斯坦福大學的Geostatistical Earth Modeling Software。(3)地質(zhì)統(tǒng)計學的提出原本是為了解決礦產(chǎn)儲量的估計，但是隨著地質(zhì)統(tǒng)計學的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)其研究對象存在于很多種自然現(xiàn)象中。于是，地質(zhì)統(tǒng)計學不再是研究地質(zhì)領域的特有方法，而成為研究某類自然現(xiàn)象

6、通用的方法，例如降水量的分布、水文層的滲透率和孔隙度等屬性值、在醫(yī)學上對骨豁的三維重建5等等。目前國內(nèi)外學者利用克里金插值法做了大量研究。翟進乾應用克里金插值方法對煤層分布監(jiān)測進行了系統(tǒng)分析研究6；張蕾、陳曉宏將克里金插值方法用于珠江三角洲網(wǎng)河區(qū)水位空間插值7；尚慶生、郭建文等將克里金插值方法用于計算青藏鐵路鉆孔地溫數(shù)據(jù)，實現(xiàn)了數(shù)據(jù)的體視化8；顏輝武，祝國瑞等采用克里金插值方法建立水文地質(zhì)層三維模型9，并利用體繪制技術進行可視化表達，取得了良好的效果；劉承香、阮雙深、伍小芹提出基于克里金插值方法進行水深數(shù)據(jù)插值形成規(guī)則網(wǎng)格數(shù)字高程模型的算法，對海底數(shù)字地圖的模擬具有重要參考價值，數(shù)字仿真結(jié)果證

7、明該算法可行10。3 方法步驟克里金插值法的應用步驟如下：1、輸入原始數(shù)據(jù)，即采樣點，下面以輸入三個采樣點求待估插值為例來進行說明。如圖1所示：圖1 采樣點圖示2、網(wǎng)格化，選擇區(qū)域的范圍和網(wǎng)格的大小，對區(qū)域進行網(wǎng)格化處理。3、數(shù)據(jù)檢驗與分析，根據(jù)采樣值是否合乎實際情況，剔除明顯差異點。4、直方圖的計算，直方圖有助于掌握區(qū)域變化的分布規(guī)律，以便決定是否對原始數(shù)據(jù)進行轉(zhuǎn)換。5、利用變異函數(shù)進行變異函數(shù)計算，了解變量的空間結(jié)構(gòu)。6、克里金插值估計（1）待估點權重系數(shù)估計利用多邊形估計的方法，首先確定離待估點最近的采樣點的權重，根據(jù)公式（4）進行采樣點權重估計： （4）（2）根據(jù)搜索策略選擇合適的參估

8、點，如圖2：圖2 參估點圖示（3）根據(jù)已經(jīng)求出的變異函數(shù)以及采樣點數(shù)量，三個采樣點列出三個等式，求出方程組的系數(shù)，公式為： （5）（4）分析在各向同性條件下改變塊金值與在塊金值相同條件下改變各向異性對權重值的影響2。各向同性條件下改變塊金值時對權重值的影響效果如圖3（a），在塊金值相同條件下改變各向異性對權重值帶來的影響如圖3（b）：（a） （b）圖3 各向同性條件下改變塊金值與在塊金值相同條件下改變各向異性對權重值的影響（5）根據(jù)求出的權重值，代入公式（1），即可求得評估領域內(nèi)n個采樣值的線性組合2?？死锝鸩逯捣ǖ姆椒肪€圖如下：進行預測導入數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)分析是否服從正態(tài)分布是否存在趨勢根據(jù)數(shù)據(jù)選

9、擇合適的方法計算樣點間的距離矩陣計算樣點間的屬性方差按距離分組數(shù)據(jù)變換泛克里金方法按組統(tǒng)計平均距離及對應的平均方差繪制方差變異云圖繪制經(jīng)驗半變異函數(shù)圖擬合理論半變異函數(shù)圖計算克里金系數(shù)是否是否圖4 方法路線圖4 克里金插值法分類及適用類型克里金插值法主要有以下幾種類型：普通克里金（Ordinary Kriging）、簡單克里金（Simple Kriging）、泛克里金（Universal Kriging）、協(xié)同克里金（Co-Kriging）、對數(shù)正態(tài)克里金（Logistic Normal Kriging）、指示克里金（Indicator Kriging）、概率克里金（Probability K

10、riging）和析取克里金（Disjunctive Kriging）等1?？死锝鸩逯捣梢院唵蔚乇磉_為： (6)式中，s為不同位置的點，可以人為是用經(jīng)緯度表示的空間坐標；Z（s）為s處的變量值，它可以分解為確定趨勢值和自相關隨機誤差。通過對這個公式進行變化，可以生成克里金插值法的不同類型。首先，對于趨勢值，可以簡單地賦予一個常量，即在任何位置s處=，如果是未知的，這便是普通克里金基本模型；也可表示為空間坐標的線性函數(shù)，如： (7)如果趨勢面方程中的回歸系數(shù)是未知的，則形成泛克里金模型；如果在任何時候趨勢已知的（如所有系數(shù)和協(xié)方差均已知），無論趨勢常量與否，都會形成簡單克里金模型。其次，無論趨勢

11、如何復雜，仍無法獲得很好的預測，在這種情況下需要對誤差項進行一些假設，即假設誤差項的期望均值為0，且和之間的自相關不取決于s點的位置，而取決于位移量h。為了確保自相關方程有解，必須允許某兩點間自相關可以相等。然后，可以對方程式左邊進行變換。例如，可以將其轉(zhuǎn)換成指示變量，即如果低于一定的閾值，則將其值轉(zhuǎn)換為0，將高于閾值的部分轉(zhuǎn)換為1，然后對高于閾值部分作出預測，基于此模型作出預測便形成了指示克里金模型。如果將指示值轉(zhuǎn)變成含有變量的函數(shù)，即形成析取克里金的指示函數(shù)。最后，如果有多個變量的情況，則模型為：，其中j表示第j個變量。除了為每個變量考慮不同的趨勢外，隨機誤差之間還存在交叉相關性。這種基于多個變量的克里金模型即為協(xié)同克里金模型。不同的方法有其適用的條件，當數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布時，若服從對數(shù)正態(tài)分布，則選用對數(shù)正態(tài)克里金；若不服從簡單分布時，選用析取克里金；當數(shù)據(jù)存在主導趨勢時，選用泛克里金；當只需要了解屬性值是否超過某一閾值時，選用指示克里金；當同一事物的兩種屬性存在相關關系時，且一種屬性不易獲取時，選用協(xié)同克里金，借助另一屬性實現(xiàn)該屬性的空間內(nèi)插；當假設屬性值的期望值為某一已知常數(shù)時，選用簡單克里金；當假設屬性值的期望值是未知的，選用普通克里金。參考文獻：1 湯國安,楊昕.ArcGIS地理信息系統(tǒng)空間分析實驗教程M.北京:科學出版社