理科-數學歸納法練習

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上數學歸納法導學目標： 1.了解數學歸納法的原理.2.能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題自主梳理1歸納法由一系列有限的特殊事例得出_的推理方法叫歸納法根據推理過程中考查的對象是涉及事物的全體或部分可分為_歸納法和_歸納法2數學歸納法設Pn是一個與正整數相關的命題集合，如果：(1)證明起始命題_(或_)成立；(2)在假設_成立的前提下，推出_也成立，那么可以斷定Pn對一切正整數成立3數學歸納法證題的步驟(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值_時命題成立(2)(歸納遞推)假設_時命題成立，證明當_時命題也成立只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立

2、自我檢測1用數學歸納法證明：“1aa2an1 (a1)”在驗證n1時，左端計算所得的項為()A1 B1aC1aa2 D1aa2a32如果命題P(n)對于nk (kN*)時成立，則它對nk2也成立，又若P(n)對于n2時成立，則下列結論正確的是()AP(n)對所有正整數n成立BP(n)對所有正偶數n成立CP(n)對所有正奇數n成立DP(n)對所有大于1的正整數n成立3(2011·臺州月考)證明<1<n1(n>1)，當n2時，中間式子等于()A1 B1C1 D14用數學歸納法證明“2n>n21對于n>n0的正整數n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應取()

3、A2 B3 C5 D65用數學歸納法證明“n3(n1)3(n2)3 (nN*)能被9整除”，要利用歸納假設證nk1時的情況，只需展開()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3探究點一用數學歸納法證明等式例1對于nN*，用數學歸納法證明：1·n2·(n1)3·(n2)(n1)·2n·1n(n1)(n2)變式遷移1(2011·金華月考)用數學歸納法證明：對任意的nN*,1.探究點二用數學歸納法證明不等式例2用數學歸納法證明：對一切大于1的自然數，不等式>均成立變式遷移2已知m為正整數，用數學歸納法證明：當x&

4、gt;1時，(1x)m1mx.探究點三用數學歸納法證明整除問題例3用數學歸納法證明：當nN*時，an1(a1)2n1能被a2a1整除變式遷移3用數學歸納法證明：當n為正整數時，f(n)32n28n9能被64整除從特殊到一般的思想例(14分)已知等差數列an的公差d大于0，且a2、a5是方程x212x270的兩根，數列bn的前n項和為Tn，且Tn1bn.(1)求數列an、bn的通項公式；(2)設數列an的前n項和為Sn，試比較與Sn1的大小，并說明理由【答題模板】解(1)由已知得，又an的公差大于0，a5>a2，a23，a59.d2，a11，an1(n1)×22n1.2分Tn1b

5、n，b1，當n2時，Tn11bn1，bnTnTn11bn，化簡，得bnbn1，4分bn是首項為，公比為的等比數列，即bn·n1，an2n1，bn.6分(2)Snnn2，Sn1(n1)2，.以下比較與Sn1的大?。寒攏1時，S24，<S2，當n2時，S39，<S3，當n3時，S416，<S4，當n4時，S525，>S5.猜想：n4時，>Sn1.9分下面用數學歸納法證明：當n4時，已證假設當nk (kN*，k4)時，>Sk1，即>(k1)2.10分那么，nk1時，3·>3(k1)23k26k3(k24k4)2k22k1>(k

6、1)12S(k1)1，nk1時，>Sn1也成立12分由可知nN*，n4時，>Sn1都成立綜上所述，當n1,2,3時，<Sn1，當n4時，>Sn1.14分【突破思維障礙】1歸納猜想證明是高考重點考查的內容之一，此類問題可分為歸納性問題和存在性問題，本例中歸納性問題需要從特殊情況入手，通過觀察、分析、歸納、猜想，探索出一般規(guī)律2數列是定義在N*上的函數，這與數學歸納法運用的范圍是一致的，并且數列的遞推公式與歸納原理實質上是一致的，數列中有不少問題常用數學歸納法解決【易錯點剖析】1嚴格按照數學歸納法的三個步驟書寫，特別是對初始值的驗證不可省略，有時要取兩個(或兩個以上)初始值

7、進行驗證；初始值的驗證是歸納假設的基礎2在進行nk1命題證明時，一定要用nk時的命題，沒有用到該命題而推理證明的方法不是數學歸納法1數學歸納法：先證明當n取第一個值n0時命題成立，然后假設當nk (kN*，kn0)時命題成立，并證明當nk1時命題也成立，那么就證明了這個命題成立這是因為第一步首先證明了n取第一個值n0時，命題成立，這樣假設就有了存在的基礎，至少kn0時命題成立，由假設合理推證出nk1時命題也成立，這實質上是證明了一種循環(huán)，如驗證了n01成立，又證明了nk1也成立，這就一定有n2成立，n2成立，則n3成立，n3成立，則n4也成立，如此反復以至無窮，對所有nn0的整數就都成立了2(

8、1)第步驗證nn0使命題成立時n0不一定是1，是使命題成立的最小正整數(2)第步證明nk1時命題也成立的過程中一定要用到歸納遞推，否則就不是數學歸納法 (滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1用數學歸納法證明命題“當n是正奇數時，xnyn能被xy整除”，在第二步時，正確的證法是()A假設nk(kN*)時命題成立，證明nk1命題成立B假設nk(k是正奇數)時命題成立，證明nk1命題成立C假設n2k1 (kN*)時命題成立，證明nk1命題成立D假設nk(k是正奇數)時命題成立，證明nk2命題成立2已知f(n)，則()Af(n)中共有n項，當n2時，f(2)Bf(n)中共有n1項，當n2

9、時，f(2)Cf(n)中共有n2n項，當n2時，f(2)Df(n)中共有n2n1項，當n2時，f(2)3如果命題P(n)對nk成立，則它對nk1也成立，現已知P(n)對n4不成立，則下列結論正確的是()AP(n)對nN*成立BP(n)對n>4且nN*成立CP(n)對n<4且nN*成立DP(n)對n4且nN*不成立4(2011·日照模擬)用數學歸納法證明123n2，則當nk1時左端應在nk的基礎上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k23)(k1)25(2011·湛江月考)已知f(x)是定義域為正整數集的函數，對于定義域內任意的k，若f(k)k

10、2成立，則f(k1)(k1)2成立，下列命題成立的是()A若f(3)9成立，且對于任意的k1，均有f(k)k2成立B若f(4)16成立，則對于任意的k4，均有f(k)<k2成立C若f(7)49成立，則對于任意的k<7，均有f(k)<k2成立D若f(4)25成立，則對于任意的k4，均有f(k)k2成立二、填空題(每小題4分，共12分)6用數學歸納法證明“123n321n2 (nN*)”時，從nk到nk1時，該式左邊應添加的代數式是_7(2011·南京模擬)用數學歸納法證明不等式>的過程中，由nk推導nk1時，不等式的左邊增加的式子是_8凸n邊形有f(n)條對角線

11、，凸n1邊形有f(n1)條對角線，則f(n1)f(n)_.三、解答題(共38分)9(12分)用數學歸納法證明11n (nN*)10(12分)(2011·新鄉(xiāng)月考)數列an滿足an>0，Sn(an)，求S1，S2，猜想Sn，并用數學歸納法證明11(14分)(2011·鄭州月考)已知函數f(x)e(其中e為自然對數的底數)(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)在(，0)上求函數f(x)的極值；(3)用數學歸納法證明：當x>0時，對任意正整數n都有f()<n！·x2n.39數學歸納法自主梳理1一般結論完全不完全2.(1)P1P0(2)PkPk13(1)n0

12、 (n0N*)(2)nk (kn0，kN*)nk1自我檢測1C當n1時左端有n2項，左端1aa2.2B由n2成立，根據遞推關系“P(n)對于nk時成立，則它對nk2也成立”，可以推出n4時成立，再推出n6時成立，依次類推，P(n)對所有正偶數n成立”3D當n2時，中間的式子11.4C當n1時，21121；當n2時，22<221；當n3時，23<321；當n4時，24<421.而當n5時，25>521，n05.5A假設當nk時，原式能被9整除，即k3(k1)3(k2)3能被9整除當nk1時，(k1)3(k2)3(k3)3為了能用上面的歸納假設，只需將(k3)3展開，讓其出

13、現k3即可課堂活動區(qū)例1解題導引用數學歸納法證明與正整數有關的一些等式命題，關鍵在于弄清等式兩邊的構成規(guī)律：等式的兩邊各有多少項，由nk到nk1時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項證明設f(n)1·n2·(n1)3·(n2)(n1)·2n·1.(1)當n1時，左邊1，右邊1，等式成立；(2)假設當nk (k1且kN*)時等式成立，即1·k2·(k1)3·(k2)(k1)·2k·1k(k1)(k2)，則當nk1時，f(k1)1·(k1)2(k1)13(k1)2(k1)1·2

14、(k1)·1f(k)123k(k1)k(k1)(k2)(k1)(k11)(k1)(k2)(k3)由(1)(2)可知當nN*時等式都成立變式遷移1證明(1)當n1時，左邊1右邊，等式成立(2)假設當nk (k1，kN*)時，等式成立，即1.則當nk1時，1，即當nk1時，等式也成立，所以由(1)(2)知對任意的nN*等式都成立例2解題導引用數學歸納法證明不等式問題時，從nk到nk1的推證過程中，證明不等式的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等證明(1)當n2時，左邊1；右邊.左邊>右邊，不等式成立(2)假設當nk (k2，且kN*)時不等式成立，即>.則當nk1時，&

15、gt;·>.當nk1時，不等式也成立由(1)(2)知，對于一切大于1的自然數n，不等式都成立變式遷移2證明(1)當m1時，原不等式成立；當m2時，左邊12xx2，右邊12x，因為x20，所以左邊右邊，原不等式成立；(2)假設當mk(k2，kN*)時，不等式成立，即(1x)k1kx，則當mk1時，x>1，1x>0.于是在不等式(1x)k1kx兩邊同時乘以1x得，(1x)k·(1x)(1kx)(1x)1(k1)xkx21(k1)x.所以(1x)k11(k1)x，即當mk1時，不等式也成立綜合(1)(2)知，對一切正整數m，不等式都成立例3解題導引用數學歸納法證

16、明整除問題，由k過渡到k1時常使用“配湊法”在證明nk1成立時，先將nk1時的原式進行分拆、重組或者添加項等方式進行整理，最終將其變成一個或多個部分的和，其中每個部分都能被約定的數(或式子)整除，從而由部分的整除性得出整體的整除性，最終證得nk1時也成立證明(1)當n1時，a2(a1)a2a1能被a2a1整除(2)假設當nk (k1且kN*)時，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，則當nk1時，ak2(a1)2k1a·ak1(a1)2(a1)2k1a·ak1a·(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1，由假設可知a

17、ak1(a1)2k1能被a2a1整除，ak2(a1)2k1也能被a2a1整除，即nk1時命題也成立綜合(1)(2)知，對任意的nN*命題都成立變式遷移3證明(1)當n1時，f(1)348964，命題顯然成立(2)假設當nk (k1，kN*)時，f(k)32k28k9能被64整除則當nk1時，32(k1)28(k1)99(32k28k9)9·8k9·98(k1)99(32k28k9)64(k1)即f(k1)9f(k)64(k1)nk1時命題也成立綜合(1)(2)可知，對任意的nN*，命題都成立課后練習區(qū)1DA、B、C中，k1不一定表示奇數，只有D中k為奇數，k2為奇數2D3D

18、由題意可知，P(n)對n3不成立(否則P(n)對n4也成立)同理可推P(n)對n2，n1也不成立4D當nk時，左端123k2，當nk1時，左端123k2(k21)(k1)2，當nk1時，左端應在nk的基礎上加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.5Df(4)25>42，k4，均有f(k)k2.僅有D選項符合題意62k1解析當nk1時，左邊12k(k1)k21，從nk到nk1時，應添加的代數式為(k1)k2k1.7.解析不等式的左邊增加的式子是.8n1解析f(4)f(3)2，f(5)f(4)3，f(6)f(5)4，f(n1)f(n)n1.9證明(1)當n1時，左邊1，右邊1，1，命題

19、成立(2分)當n2時，左邊12；右邊2，2<1<，命題成立(4分)(2)假設當nk(k2，kN*)時命題成立，即1<1<k，(6分)則當nk1時，1>12k·1.(8分)又1<k2k·(k1)，即nk1時，命題也成立(10分)由(1)(2)可知，命題對所有nN*都成立(12分)10解an>0，Sn>0，由S1(a1)，變形整理得S1，取正根得S11.由S2(a2)及a2S2S1S21得S2(S21)，變形整理得S2，取正根得S2.同理可求得S3.由此猜想Sn.(4分)用數學歸納法證明如下：(1)當n1時，上面已求出S11，結論成立(6分)(2)假設當nk時，結論成立，即Sk.那么，當nk1時，Sk1(ak1)(Sk1Sk)(Sk1)整理得Sk1，取正根得Sk1.故當nk1時，結論成立(11分)由(1)、(2)可知，對一切nN*，Sn都成立(12分)11(1)解函數