材料力學(xué) 第十講

1、.4-4 4-4 梁橫截面上的正應(yīng)力梁橫截面上的正應(yīng)力梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件純彎曲純彎曲橫力彎曲橫力彎曲常量常量MF0S)(0SxMMF0000FS xF F xMFa F alaF .a09021.swf. . 純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力（一）幾何方面（一）幾何方面表面變形情況表面變形情況 縱線彎成弧線，縱線彎成弧線，靠近頂面的縱靠近頂面的縱線縮短，而靠線縮短，而靠近底面的縱線近底面的縱線則伸長(zhǎng)；則伸長(zhǎng)；(1)橫線仍為直線，橫線仍為直線，并與變形后的并與變形后的縱線保持正交，縱線保持正交，只是橫線間相只是橫線間相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。.平面假設(shè)平面假設(shè) 梁在

2、純彎曲時(shí)，橫截面仍保持為平面，且與梁變形后梁在純彎曲時(shí)，橫截面仍保持為平面，且與梁變形后的軸線仍保持正交，只是繞垂直于縱對(duì)稱軸的某一軸的軸線仍保持正交，只是繞垂直于縱對(duì)稱軸的某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)。中性軸中性軸. 根據(jù)變形的連續(xù)性可知，梁彎曲時(shí)從其凹入根據(jù)變形的連續(xù)性可知，梁彎曲時(shí)從其凹入一側(cè)的縱向線縮短區(qū)到其凸出一側(cè)的縱向線伸長(zhǎng)一側(cè)的縱向線縮短區(qū)到其凸出一側(cè)的縱向線伸長(zhǎng)區(qū)，中間必有一層縱向無(wú)長(zhǎng)度改變的過渡層，稱區(qū)，中間必有一層縱向無(wú)長(zhǎng)度改變的過渡層，稱為為中性層中性層 。中性層中性層中性軸中性軸中性層與橫截面的交線就是中性層與橫截面的交線就是中性軸中性軸。中性層中性層中性軸中性軸Me Me .ma

3、bmanbnMe Me mmnnaabb.yOOBBABBB21111dd21xOOd)(yAB 中性層的曲率半徑中性層的曲率半徑CAByO1O2B1ddxMe Me mmnnaabb.（二）物理方面（二）物理方面單軸應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律單軸應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律 不計(jì)擠壓，即認(rèn)為梁內(nèi)各點(diǎn)均處于單軸應(yīng)力狀不計(jì)擠壓，即認(rèn)為梁內(nèi)各點(diǎn)均處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。當(dāng)態(tài)。當(dāng) 5 ），純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算），純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式用于橫力彎曲情況，其結(jié)果仍足夠精確。公式用于橫力彎曲情況，其結(jié)果仍足夠精確。zIyxM)(zWxM)(maxFl4lF.例例4-14 圖示簡(jiǎn)支梁由圖示簡(jiǎn)支梁由56a號(hào)工字鋼制成，已知號(hào)工

4、字鋼制成，已知F=150kN。試求危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力。試求危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力max 和同和同一橫截面上翼緣與腹板交界處一橫截面上翼緣與腹板交界處a點(diǎn)處的正應(yīng)力點(diǎn)處的正應(yīng)力 a 。B5 m10 mAF CFA FB 12.521166560za375 kN.m M解：解：1、作彎矩圖如上，、作彎矩圖如上，mkN3754maxFlM.2、查型鋼表得、查型鋼表得3cm2342zW4cm65586zIMPa160mm102342mmN10375336maxmaxzWMMPa148mm1065586mm212560mmN10375446maxzaaIyM56號(hào)工字鋼號(hào)工字鋼3、求正應(yīng)力為、求正應(yīng)

5、力為 12.521166560za.或根據(jù)正應(yīng)力沿梁高的線性分布關(guān)系的或根據(jù)正應(yīng)力沿梁高的線性分布關(guān)系的MPa160maxMPa148MPa1602560212560maxmaxyyaa 12.521166560za. 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件由于由于max處處 =0或極小，并且不計(jì)由橫向力引起的或極小，并且不計(jì)由橫向力引起的擠壓應(yīng)力，因此梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件可按單向應(yīng)擠壓應(yīng)力，因此梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件可按單向應(yīng)力狀態(tài)來(lái)建立：力狀態(tài)來(lái)建立：材料的許用彎曲正應(yīng)力材料的許用彎曲正應(yīng)力 max zWMmax中性軸為橫截面對(duì)稱軸的等直梁中性軸為橫截面對(duì)稱軸的等直梁.拉、壓強(qiáng)度不相等的鑄鐵等脆性

6、材料制成的梁拉、壓強(qiáng)度不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁tmax, tcmax, cOzyyt，maxyc，maxtmaxt,maxmaxt,zIyMcmaxc,maxmaxc,zIyMctmaxc,maxt,yy為充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度，最合理的設(shè)計(jì)為為充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度，最合理的設(shè)計(jì)為.例例4-15 圖示外伸梁，材料的許用應(yīng)力圖示外伸梁，材料的許用應(yīng)力=120Mpa。試校核梁正應(yīng)力強(qiáng)度。試校核梁正應(yīng)力強(qiáng)度。 q=5kN/m F=10kN 100 A 140 B C 8m 2m 解：（解：（1）求支反力）求支反力 FA=17.5kNFB=32.5kN （2）作彎矩圖：）作彎矩圖： 確定危險(xiǎn)截面確定危

7、險(xiǎn)截面 . 17.5 10 3.5m 22.5 20kN.m 30.8kN.m （3）強(qiáng)度校核）強(qiáng)度校核 114140108 .303236maxMPaWMEzEE1001401001 140102032436maxMPaWMBzBB.例例4-16 圖示為由工字鋼制成的樓板主梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖示為由工字鋼制成的樓板主梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖。鋼的許用彎曲正應(yīng)力圖。鋼的許用彎曲正應(yīng)力 =152 MPa 。試選擇工。試選擇工字鋼的號(hào)碼。字鋼的號(hào)碼。ABFFF=75kN2.5m2.5m2.5m2.5m10 mFB FA 解：解：1、支反力為、支反力為kN5 .10223FFFBA作彎矩圖如上。作彎矩圖如上。28137

8、5單位：?jiǎn)挝唬簁Nm.2、根據(jù)強(qiáng)度條件確定截面尺寸、根據(jù)強(qiáng)度條件確定截面尺寸與要求的與要求的Wz相差不到相差不到1%，可以選用。，可以選用。 zWMmax 336maxmm102460MPa152mmN10375MWz333mm102447cm2447zW查型鋼表得查型鋼表得56b號(hào)工字鋼的號(hào)工字鋼的Wz比較接近要求值比較接近要求值mkN375maxM.例例4-17 跨長(zhǎng)跨長(zhǎng) l= 2m 的鑄鐵梁受力如圖，已知鑄鐵的鑄鐵梁受力如圖，已知鑄鐵的許用拉應(yīng)力的許用拉應(yīng)力 t =30 MPa，許用壓應(yīng)力，許用壓應(yīng)力 c =90 MPa。試根據(jù)截面最為合理的要求，確定。試根據(jù)截面最為合理的要求，確定T字

9、形梁字形梁橫截面的尺寸橫截面的尺寸d ，并校核梁的強(qiáng)度，并校核梁的強(qiáng)度 。解：解：ct21yy根據(jù)截面最為合理的要求根據(jù)截面最為合理的要求319030mm701 yy1m2mBAF=80 kNCy1y2z60220yO280d.即即mm24d得得462323mm102 .99)30210280(220601260220)110210(220241222024zI截面對(duì)中性軸的慣性矩為截面對(duì)中性軸的慣性矩為y1y2z60220yO280d7060220)60280()11060()60280(3060220ddy.mkN4042804maxFlMMPa7 .84mm102 .99mm210mmN

10、10404662maxmaxc,zIyMc梁上的最大彎矩梁上的最大彎矩于是最大壓應(yīng)力為于是最大壓應(yīng)力為即梁滿足強(qiáng)度要求。即梁滿足強(qiáng)度要求。y1y2z60220yO280dOc,maxt,maxz.例例4-18 圖示槽形截面鑄鐵梁，已知：圖示槽形截面鑄鐵梁，已知：b = 2m，截，截面對(duì)中性軸的慣性矩面對(duì)中性軸的慣性矩 Iz=5493104mm4， 鑄鐵的許鑄鐵的許用拉應(yīng)力用拉應(yīng)力 t =30 MPa，許用壓應(yīng)力，許用壓應(yīng)力 c =90 MPa。試求梁的許可荷載試求梁的許可荷載F 。 解：解：1、梁的支反力為、梁的支反力為zyC形心形心86134204018012020BF Cbq=F/bDbb

11、AFB FA FFB474FFA.據(jù)此作出梁的彎矩圖如下?lián)俗鞒隽旱膹澗貓D如下4maxFbM2maxFbM發(fā)生在截面發(fā)生在截面C發(fā)生在截面發(fā)生在截面BzyC形心形心86134204018012020Fb/2Fb/4BF Cbq=F/bDbbA.2、計(jì)算最大拉、壓正應(yīng)力、計(jì)算最大拉、壓正應(yīng)力可見：壓應(yīng)力強(qiáng)度條件由可見：壓應(yīng)力強(qiáng)度條件由B截面控制，拉應(yīng)力強(qiáng)度截面控制，拉應(yīng)力強(qiáng)度條件則條件則B、C截面都要考慮。截面都要考慮。zyC形心形心86134204018012020Fb/2Fb/4C截面截面B截面截面壓應(yīng)力壓應(yīng)力拉應(yīng)力拉應(yīng)力拉應(yīng)力拉應(yīng)力壓應(yīng)力壓應(yīng)力.MPa30mm105493mm86mm1022/4332maxt,FIyMzB考慮截面考慮截面B ：MPa90mm105493mm341mm1024/4431maxc,FIyMzBkN2 .19FkN8 .73FzyC形心形心86134204018012020Fb/2Fb/4.考慮截面考慮截面C：因此梁的強(qiáng)度由截面因此梁的強(qiáng)度由截面B上的最大拉應(yīng)力控制上的最大拉應(yīng)力控制MPa30m