求點到平面距離的基本方法

1、求點到平面距離的基本方法北京農(nóng)大附中閆小川求點到平面的距離是立體幾何中的一個基本問題，是高考的一個熱點，也是同學(xué)學(xué)習(xí)中的一個難點.本文通過對一道典型例題的多種解法的探討，概括出求點到平面的距離的幾種基本方法.例（2005年福建高考題）如圖1,直二面角DABE中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AEEB,F為CE上的點，且BF平面ACE.（I）求證：AE平面BCE;（11）求二面角8ACE的大??；（田）求點D到平面ACE的距離.圖1圖2（I）、（H）解略，（田）解如下:、直接法2, A利用兩個平面垂直，直接作出點到平面的距離.如圖l , AMl ,則AM . AM為點A到平面 的距解：如圖3,

2、過點A作AG0EC,連結(jié)DG,CG,則平面ADG/平面BCE,平面BCE平面ACE,平面ADG平面ACE,作DHAG,垂足為H,則DH平面ACE.DH是點D到平面ACE的距離.在RtADG中，DH鬻鬻等圖3二、平行線法如圖4,Al,l/,8為1上任意一點，AM,BN，則AMBN.點A到平面的距離轉(zhuǎn)化為平行于平面的直線l到平面的距離，再轉(zhuǎn)化為直線l上任意一點B到平面的距離.圖4解：如圖5,過點D作DMAAE,連結(jié)CM,則DM/平面ACE點D到平面ACE的距離轉(zhuǎn)化為直線DM到平面ACE的距離，再轉(zhuǎn)化為點M到平面ACE的距離.作MNCE,垂足為N,平面CEM平面ACE,MN平面ACE,.MN是點M到

3、平面ACE的距離.EMCM2223在RtCEM中，MN二.CE、63圖5三、斜線法利用平面的斜線及三角形相似，轉(zhuǎn)化為求斜線上的點到平面的距離.如圖AO-6、7,lO,A,Bl,AM,BN,若4t,則AMtBN.點A到BO平面的距離轉(zhuǎn)化為求直線l上的點B到平面的距離.圖6圖7解：如圖8,BD與AC的交點為Q,即BD平面ACEQ,VDQBQ,.二點D到平面ACE的距離與點B到平面ACE的距離相等.平面BCE平面ACE,BF平面ACE,BF是點B到平面ACE的距離.在RtBCE中,BFBCBE2迎迪.CE、63圖8四、線面角法如圖9,OP為平面的一條斜線，AOP,OAl,OP與所成的角為，A到平面的

4、距離為d,則由斜線和平面所成的角的定義可知，有dlsin.經(jīng)過OP與垂直的平面與相交，交線與OP所成的銳角就是OP與所成的角，這里并不強求要作出A在上的射影B,連結(jié)OB得.圖9解：如圖10,=BF平面ACE,平面BDF平面ACE,BQF為DQ與平面ACE所成的角為，則點D到平面ACE的距離dDQsin由（H）知二面角BACE的正弦值為立,得sin3D到平面ACE的距離d石上6"33五、二面角法如圖11,點A到平面的距離AO圖10所成二面角的大小為 ，A , AB l , AB a ,d ,則有d a sin .也就是二面角的大小，而不強求作出經(jīng)過AB的二面角的平面角.解：如圖12,二

5、.平面ACD 平面ACE AC,DQ 平面 ACD , DQ AC ,設(shè)二面角D AC E的大小為，則點D到平面ACE的距離d DQsin由（H）知二面角BACE的正弦值為3D到平面ACE的距離d6圖12六、體積法解：如圖13,過點E作EOAB交AB于點O,OE二面角DABE為直二面角，EO，平面ABCD.設(shè)D到平面ACE的距離為h,VdaceVeacd，11二saceh-SACDEO.33AE平面BCE,.AEEC.1 八_1h萬addceo221通-AEEC12632 2.二點D到平面ACE的距離為經(jīng).3E圖13|AD n| |n|七、向量法解：如圖14,以線段AB的中點為原點O,OE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，過。點平行于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,AE平面BCE,BE平面BCE,AEBE,在RtAEB中,AB2,0為AB的中點，0E1,.A(0,1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).AE(1,1,0),AC(0,2,2).設(shè)平面ACE的一個法向量為n(x,y,z),則AEn0,即xy0,ACn0,2y2z0.解得yX,zx.令x1,得n(1,1,1)是平面ACE的一個法向量.ADzAD2AD(0,0,2)ACEd|AD|c