幾種時(shí)頻分析綜述1——傅里葉變換和小波變換

1、幾種時(shí)頻分析方法綜述1傅里葉變換和小波變換夏巨偉(浙江大學(xué)空間結(jié)構(gòu)研究中心)摘 要：傳統(tǒng)的信號(hào)理論，是建立在Fourier分析基礎(chǔ)上的，而Fourier變換作為一種全局性的變化，其有一定的局限性。在實(shí)際應(yīng)用中人們開始對(duì)Fourier變換進(jìn)行各種改進(jìn)，小波分析由此產(chǎn)生了。小波變換與Fourier變換相比，是一個(gè)時(shí)間和頻域的局域變換因而能有效地從信號(hào)中提取信息，通過伸縮和平移等運(yùn)算功能對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度細(xì)化分析（Multiscale Analysis），解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題。本文對(duì)傅里葉變換和小波變換進(jìn)行了詳細(xì)介紹，并用算例分析指出了兩者的差別。關(guān)鍵詞：傅里葉變換；

2、小波變換；時(shí)頻分析技術(shù)；1 傅里葉變換（Fourier Transform）2 小波變換（Wavelet Transform）2.1 由傅里葉變換到窗口傅里葉變換（Gabor Transform(Short Time Fourier Transform)/）從傅里葉變換的定義可知，時(shí)域函數(shù)h(t)的傅里葉變換H(f)只能反映其在整個(gè)實(shí)軸的性態(tài)，不能反映h（t）在特定時(shí)間區(qū)段內(nèi)的頻率變化情況。如果要考察h(t)在特定時(shí)域區(qū)間（比如：ta,b）內(nèi)的頻率成分，很直觀的做法是將h(t)在區(qū)間ta,b與函數(shù)，然后考察傅里葉變換。但是由于在t= a,b處突然截?cái)?，?dǎo)致中出現(xiàn)了原來(lái)h（t）中不存在的不連續(xù)，

3、這樣會(huì)使得的傅里葉變化中附件新的高頻成分。為克服這一缺點(diǎn)，D.Gabor在1944年引入了“窗口”傅里葉變換的概念，他的做法是，取一個(gè)光滑的函數(shù)g(t),稱為窗口函數(shù)，它在有限的區(qū)間外等于0或者很快地趨于0，然后將窗口函數(shù)與h(t)相乘得到的短時(shí)時(shí)域函數(shù)進(jìn)行FT變換以考察h(t)在特定時(shí)域內(nèi)的頻域情況。圖：STFT示意圖2.2 STFT算例圖：四個(gè)余弦分量的STFT2.3 窗口傅里葉變換（Gabor）到小波變換（Wavelet Transform）圖：小波變換定義滿足條件：的平方可積函數(shù)(t)(即(t)L2（，+）)為基本小波或小波母函數(shù)。Haar小波函數(shù)db3小波函數(shù)db4小波函數(shù)db5小波

4、函數(shù)mexh小波函數(shù)圖：幾種常用的小波函數(shù)令，a、b為實(shí)數(shù)，且a0，稱ab為由母函數(shù)生成的有賴于參數(shù)a,b的連續(xù)小波函數(shù)。設(shè)f(t)L2（，+），定義其小波變換為：與Fourier類似，小波變化也具有反演公式：，以及Parseval等式：小波變換雖然具有頻率愈高相應(yīng)時(shí)間或空間分辨率愈高的優(yōu)點(diǎn)，但其在頻率域上的分辨率卻相應(yīng)降低。這是小波變換的弱點(diǎn)，使它只能部分地克服Fourier變換的局限性。小波包變換將在一定程度上彌補(bǔ)小波變換的這一缺陷。圖：FT變換、STFT變換及Wavelet Analysis比較圖：Wavelet應(yīng)用1探測(cè)數(shù)據(jù)突變點(diǎn)圖：Wavelet應(yīng)用1探測(cè)數(shù)據(jù)突變點(diǎn)（樹狀顯示）圖：Wavelet應(yīng)用2探