Lect 27_Chapter 13 達(dá)朗貝爾原理

1、1/45Lecture 27Chapter 13達(dá)朗貝爾原理FNFmaIF0NmFFa理論力學(xué)理論力學(xué) Ch.13 Ch.13 曾巖曾巖 (zengyan_)13.1 慣性力慣性力質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理13.2 13.3 剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化13.4 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力Chapter 13達(dá)朗貝爾原理2/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理簡簡 介介達(dá)朗貝爾原理提供了研究動力學(xué)問題的一個(gè)新的普遍的方法。應(yīng)用這一原理，就將動力學(xué)問題從形式上轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問題，從而根據(jù)靜力平衡的理論來研究問題并求解，因此也稱為動靜法。分析力學(xué)是

2、理論力學(xué)的另一個(gè)分支，它建立在虛功(位移)原理和達(dá)朗貝爾原理的基礎(chǔ)上。兩者結(jié)合，可得到動力學(xué)普遍方程，從而導(dǎo)出分析力學(xué)各種系統(tǒng)的動力學(xué)方程。3/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理幾個(gè)工程實(shí)際問題簡簡 介介4/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理簡簡 介介5/45幾個(gè)工程實(shí)際問題Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理13.1 慣性力慣性力質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理1. 慣性力慣性力人用手拉車，使質(zhì)量為m的車獲得加速度a，則人手對車的作用力：m FFa小車初始靜止，由于具有慣性，力圖保持該運(yùn)動狀態(tài)，對迫使其產(chǎn)生加速運(yùn)動的施力物體( (人手) )產(chǎn)生反抗力，該力稱為小車的慣性力，即

3、：慣性力和反作用力的聯(lián)系與區(qū)別？FaFmFa6/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理2. 質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理NmFFa0NmFFaIm Fa質(zhì)點(diǎn)的慣性力有0NIFFF質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理：作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動力、約束力和虛加的慣性力在形式上組成平衡力系。 FNFmaIF13.1 慣性力慣性力質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理7/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理慣性力：1) 慣性力屬于虛加的力，不是真實(shí)存在的力2) 慣性力是質(zhì)點(diǎn)對施力體反作用力的合力質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理：該方程對動力學(xué)問題來說只是形式上的力系平衡，并沒有改變動力學(xué)問題的實(shí)質(zhì)。采用動靜法解決動力學(xué)問題的最

4、大優(yōu)點(diǎn)是可以利用靜力學(xué)提供的解題方法給動力學(xué)問題一種統(tǒng)一的解題格式。關(guān)于慣性力及達(dá)朗貝爾原理的說明：2. 質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理13.1 慣性力慣性力質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理8/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理一圓錐擺,如圖所示。質(zhì)量m=0.1 kg的小球系于長l=0.3 m的繩上, ,繩的另一端系在固定點(diǎn)O, ,并與鉛直線成 =60o角。如小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動，求小球的速度v與繩的張力FT。OtbnlTFmg 例例13-113.1 慣性力慣性力質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理9/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理2sinnInvFmamln

5、TIm gFF00,cos0bTFFmg0,sin0nnTIFFF解得1.96cosTmgFN2sin2.1m/sTF lvmOtbnlTFmg 解 例例13-113.1 慣性力慣性力質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理10/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理列車在水平軌道上行駛，車廂內(nèi)懸掛一單擺，當(dāng)車廂向右作勻加速運(yùn)動時(shí)，單擺左偏角度 ，相對于車廂靜止，求車廂的加速度a。aO 例例13-213.1 慣性力慣性力質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理11/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理選單擺的擺錘為研究對象虛加慣性力 0 sincos0 xIFmgF由動靜法有tgag 解得 角隨

6、著加速度a的變化而變化，當(dāng)a不變時(shí)， 角也不變。只要測出 角，就能知道列車的加速度a。這就是擺式加速計(jì)的原理。TFamgIF(方向與a相反)IFma 解 例例13-213.1 慣性力慣性力質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理12/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理13.2 質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理記( )eiF為作用于第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上外力的合力( ) iiF為作用于第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上內(nèi)力的合力有 eiiiIieioioioIiFFF0MFMFMF001,2,iNiIiinFFF質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理：質(zhì)點(diǎn)系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上作用的主動力，約束力和它的慣性力在形式上組成平衡力系。13/45C

7、h.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理因 0,0iiiOiFMF有 eiIieOiOIiFF0MFMF0上式稱為質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理：作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力與虛加在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的慣性力在形式上組成平衡力系。13.2 質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理14/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理如圖所示，定滑輪的半徑為r，質(zhì)量為m，均勻分布在輪緣上，繞水平軸O轉(zhuǎn)動?？邕^滑輪的無重繩的兩端掛有質(zhì)量為m1和m2的重物(mm2)，繩與輪間不打滑，軸承摩擦忽略不計(jì)，求重物的加速度。 例例13-313.2 質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理15/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理OxFOyF2

8、m g1mgmgaaO1122IIFm aFm atIiiiFmrma0OM得1212mmagmmm2nIiivFmr由iimarm armar1IFtIiFnIiF2IFim11220im gm am gm a rmar 解 例例13-313.2 質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理16/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理用動量矩定理求解21212OLm vrm vrmrmmm vr1212ddeOOiLMFtmmm arm grm gr得1212mmagmmmOxFOyF2m g1mgmgaaO 解 例例13-313.2 質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理17/45Ch.1

9、3 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理飛輪質(zhì)量為m，半徑為R，以勻角速度 定軸轉(zhuǎn)動，設(shè)輪輻質(zhì)量不計(jì)，質(zhì)量均布在較薄的輪緣上，不考慮重力的影響。求輪緣橫截面的張力。 ROxy 例例13-413.2 質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理18/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理令0,i2220cosd22AmmRFR2220sind22BmmRFR22nIiiiimFmaRRR0,cos0 xIiiAFFF0,sin0yIiiBFFFIiFAF ROxyABBFii 解 例例13-413.2 質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理19/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理13.3 剛體慣性力系

10、的簡化剛體慣性力系的簡化 eiIieOiOIiFF0MFMF0質(zhì)點(diǎn)系達(dá)朗貝爾原理 eIRIiiCm FFFa主矢上式對任何質(zhì)點(diǎn)做任意運(yùn)動均成立，且主矢的大小和方向與簡化中心的位置無關(guān)，主矩一般與簡化中心的位置有關(guān)。質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的慣性力 組成慣性力系IiF20/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理 eIRiCm FFa1) 剛體平動慣性力系向質(zhì)心簡化：CICr0M0()()IOiIiiiii iCCCmmm MrFrararaiCaa平移剛體的慣性力系可以簡化為通過質(zhì)心的合通過質(zhì)心的合力力，大小等于 ，方向與加速度方向相反結(jié)論：Cma13.3 剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化21/45

11、Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理 eIRiCm FFa2) 剛體定軸轉(zhuǎn)動 OzyxnIiFritIiFziyixi i2cos(sin)i ii ii ii imrzmrzttIiiii iFmamrtnIxxIixIixIiMMMMFFF由cos,siniiiiiix ry r有2I xii iii iMm x zm y z2nnIiiii iFmamr慣性力系對于x軸的矩：13.3 剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化22/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理 eIRiCm FFa2) 剛體定軸轉(zhuǎn)動 OzyxnIiFritIiFziyixi i2I xii iii iMm x zm

12、 y z記,yzii ixzii iJm y zJm x z以上兩式稱為對于z軸的慣性積2IxxzyzMJJ同理可得慣性力系對于y軸的矩：2IyyzxzMJJ13.3 剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化23/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理 eIRiCm FFa2) 剛體定軸轉(zhuǎn)動 OzyxnIiFritIiFziyixi i慣性力系對于z軸的矩IOIxIyizMMMMijk2tzIIiziiiziiMm r rm rMJF因 有0nzIiMF13.3 剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化24/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理 eIRiCm FFa2) 剛體定軸轉(zhuǎn)動如果剛體有質(zhì)

13、量對稱面且該面與轉(zhuǎn)動軸z垂直,簡化中心O取此平面與轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)，則0,0 xziiiyzii iJm x zJm y z有IOIzzMMJ 當(dāng)剛體有質(zhì)量對稱面且繞垂直于該對稱面的軸作定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，慣性力系向轉(zhuǎn)軸簡化為此對稱面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶結(jié)論13.3 剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化25/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理 eIRiCm FFa3) 剛體平面運(yùn)動(平行于質(zhì)量對稱面)ICCMJ 平面運(yùn)動分為隨質(zhì)心C的平動和繞C的轉(zhuǎn)動：當(dāng)剛體有質(zhì)量對稱面且平行于此平面運(yùn)動時(shí)，剛體慣性力系簡化為此平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶結(jié)論：IRFICM13.3 剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化26

14、/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理如圖所示均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，長為l，繞定軸O轉(zhuǎn)動的角速度為 ，角加速度為 。求慣性力系向點(diǎn)O簡化的結(jié)果(方向在圖上畫出)。 例例13-513.3 剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化27/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理tIOFnIOFIOMtCanCa慣性力系向點(diǎn)O簡化2tIOlFm22nIOlFm213IOMmltIOFnIOF因?yàn)?，是否可以把慣性力系的主矢畫在C點(diǎn)上？IRCm Fa 解 例例13-513.3 剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化28/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理tIOFnIOFIOMtCanCatICFnICF

15、慣性力系向點(diǎn)C簡化2tIClFm22nIClFm2112ICMmlICM 解 例例13-513.3 剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化29/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理如圖所示，電動機(jī)定子及其外殼總質(zhì)量為m1，質(zhì)心位于O處。轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為m2，質(zhì)心位于C處，偏心矩OCe,圖示平面為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量對稱面。電動機(jī)固定于水平基礎(chǔ)上，轉(zhuǎn)軸O與水平基礎(chǔ)間的距離為h。運(yùn)動開始時(shí)，轉(zhuǎn)子質(zhì)心C位于最低位置，轉(zhuǎn)子以勻角速度 轉(zhuǎn)動。求基礎(chǔ)給電動機(jī)總的約束力。ChOe 例例13-613.3 剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化30/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理因 ，得t22sinxFm et 2

16、122cosyFmmgm et222sinsinMm getm eht2IFme0,sin0 xxIFFF20,sinsin0AIMMm geF h120,cos0yyIFFmmgFChOeIFAM2m g1m gAAyFAxF 解 例例13-613.3 剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化31/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理如圖所示，電動絞車安裝在梁上，梁的兩端擱在支座上，絞車與梁共重為P。絞盤半徑為R，與電機(jī)轉(zhuǎn)子固結(jié)在一起，轉(zhuǎn)動慣量為J，質(zhì)心位于O處。絞車以加速度a提升質(zhì)量為m的重物，其它尺寸如圖。求支座A、B受到的附加動約束力。 例例13-713.3 剛體慣性力系的簡化剛體慣性

17、力系的簡化32/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理IFma解得：232121AJFmglPla mlllRIOaMJJR2231200BIIOAMmglF lPlMFll00yABIFFFmgPF11231121BJFmglP llla mlllRmgIFPAFBFIOMa 解 例例13-713.3 剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化33/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理mgIFPAFBFIOMa上式中前兩項(xiàng)為靜約束力，附加動約束力為：212AaJFmlllR 112BaJFmlllR 212aJmlllR112aJmlllR23121()AFmglPlll1123121BFm

18、glP lllll 解 例例13-713.3 剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化34/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理已知，均質(zhì)圓盤m1，R，純滾動；均質(zhì)桿l=2R，m2。求1)F多大，能使桿B端剛好離開地面？2)輪與地面間的靜滑動摩擦系數(shù)多大保證純滾動？B 例例13-813.3 剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化35/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理2111,2IAIAaFm aMm RR1)取桿為研究對象，剛好離開地面時(shí)，地面約束 力為零，此時(shí)桿仍平移，設(shè)其加速度為a，則220sin30cos300AMm aRm gR得3ag2ICFm a取整體為研究對象，附加慣性力，

19、如圖所示解得12332Fmmg20sin30cos300DIAIAICMFRF RMF Rm gR 解 例例13-813.3 剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化36/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理得 132sFm g解得11232ssNFmfFmm12ssNsFf Ffmmg由1200 xsFFFmma2) 求純滾動的靜滑動摩擦系數(shù) 解 例例13-813.3 剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化37/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理13.4 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力00 xAxBxRxI xFFFFF00yAyB yR yI yFFFFF00

20、zBzRzFFF00 xB yAyxI xMF OBF OAMM00yAxBxyI yMF OAF OBMM OzyxAyFAxFABByFBxFBzFRFOMIRFIOM38/45空間力系平衡方程空間力系平衡方程Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理解得 1IyIxAxyRxFMF OBAMBBF O 1IxIyAyxRyFMF OBMOBABF 1IyIxBxyRxFMF OAMOAABF 1IxIyByxRyFMF OAAMABF O BzRzFF 13.4 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力39/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理 OzyxAyFAxFABByFBxFBzFRFOMIRFIOM軸承附加動約束力為：1AxIyIxFMF OBAB 1AyIxIyFMF OBAB 1BxIyIxFMF OAAB 1ByIxIyFMF OAAB 0BzF 13.4 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力40/45Ch.13 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理要使軸承附加動約束力為零，有：0IxIyFF0IxIyMM進(jìn)一步，有：0IxCxFma 20IxxzyzMJJ0IyCyFma 20IyyzxzMJJ得到附加動約束力為零的條件為：0Ca 0 xzyzJJ13.4 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸