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文檔簡介
1、2022-3-61哈爾濱工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系雷逢春2022-3-62l1. 扭結(jié)、鏈環(huán)的定義和例子l2. 扭結(jié)(鏈環(huán))的等價、投射圖和 Reidemeister定理l3. 扭結(jié)理論及歷史回顧l4. Jones多項式l5. 扭結(jié)理論的應(yīng)用之一 DNA的拓撲結(jié)構(gòu)2022-3-63l 生活中我們每天都在與繩結(jié)打交道:用繩子捆東西、系鞋帶、縫衣服、織毛衣、小朋友玩的繩圈翻花游戲等等。用繩子打結(jié),用于各種目的,可以說司空見慣,一點也不足以為奇。2022-3-64l 直覺上我們會認為上面的兩個繩結(jié)應(yīng)該不同。如果固定繩頭兩端(即不許把繩頭抽回重穿),你沒法把左邊的繩結(jié)變到右邊的繩結(jié)。否則,則不然。因此研究繩結(jié)時,
2、應(yīng)該把兩端固定。通常的作法是把兩端系在一起,得到所謂的扭結(jié),如下圖所示:2022-3-65l 扭結(jié)的定義:三維歐氏空間中的連成一體的(連通的)、封閉的(沒有端點的)、沒有粘連的(自己與自己不交的)一條曲線就稱為一個扭結(jié)。l 數(shù)學(xué)上扭結(jié)的定義:把單位圓周到三維歐氏空間中的一個嵌入稱為一個扭結(jié)。l 把單位圓周嵌入到平面上,得到的扭結(jié)是一個(拓撲)圓盤的邊界,這樣的扭結(jié)稱為平凡扭結(jié)。2022-3-66l簡單扭結(jié)的例子:平凡扭結(jié)三葉結(jié)8字結(jié)方結(jié)2022-3-672022-3-68l 鏈環(huán):空間中由有限個互不相交的扭結(jié)組成的幾何對象就稱為一個鏈環(huán)。l 這樣,扭結(jié)就是只有一個分支的鏈環(huán)。l 鏈環(huán)的例子:
3、平凡鏈環(huán)Hopf鏈環(huán)Borromean鏈環(huán)2022-3-69l 說到扭結(jié),不能不提到拓撲學(xué)。實際上,扭結(jié)理論是拓撲學(xué)的一個重要分支。但什么是拓撲學(xué)?l 拓撲學(xué)是數(shù)學(xué)中容易定義卻又不太容易理解的分支。簡單地說,拓撲學(xué)是研究幾何對象在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)的學(xué)問。直觀地說,所謂“連續(xù)變換”(也叫拓撲變換,或同胚)就是使幾何對象受到彎曲、拉伸、壓縮、扭轉(zhuǎn)或它們的任意組合。這里理想地假設(shè)受到變形的幾何對象具有彈性,能充分地經(jīng)受這樣的操作。下面和拓撲性質(zhì)有關(guān)的幾個有趣的問題:2022-3-610l一筆畫問題一筆畫問題l一筆畫問題是一個簡單的數(shù)學(xué)游戲. 簡單地說,就是問:平面上一個由曲線段構(gòu)成的一個圖形
4、能不能一筆畫成,使得在每條線段上不重復(fù)?l易知,漢字“日”、“中”都可以一筆寫出,而“田”和“目”都不能一筆寫出。l顯然,圖形能不能一筆寫出與圖形中線段的長度、形狀等幾何概念沒有關(guān)系,要緊的是線段的數(shù)目和他們之間的連接關(guān)系,也就是說一筆畫問題的關(guān)鍵是圖形的整體結(jié)構(gòu)。2022-3-611l著名的七橋問題著名的七橋問題:流經(jīng)哥尼斯堡的普雷格河的河彎處有兩個小島,有七座橋連接了兩岸和小島。當(dāng)?shù)亓鱾饕粋€游戲:要求在一次散步中恰好通過每座橋一次。見下圖:2022-3-612l很長時間沒有人能做到。后來大數(shù)學(xué)家 Euler研究了這個游戲,他把這個游戲變成右邊的圖形能不能一筆畫成的問題,并且他證明了該圖形是
5、不能一筆畫成的。l地圖著色問題地圖著色問題:給地圖著色是要把相鄰的國家(或區(qū)域)著上不同的顏色,以便容易加以區(qū)分。那么,繪圖員至少要準備多少種顏色才能給任何地圖著色?l顯然,地圖著色問題與度量(區(qū)域的面積、邊界線的長度等)和形狀無關(guān),關(guān)鍵是區(qū)域的個數(shù)和他們之間的鄰接關(guān)系。地圖經(jīng)過變形(縮放或各種投影)后所需顏色數(shù)不變。2022-3-613lEulerEuler多面體定理多面體定理:凸多面體的面數(shù)f、棱數(shù)l和頂點數(shù)v滿足Euler公式f-l+v=2 實際上, Euler多面體定理可以推廣到球面上的圖形,只要該圖形滿足如下條件:l每條弧的端點互不同l不同的弧若相交,只交于端點l每條弧不自交。202
6、2-3-614以上幾個問題顯示出幾何圖形的一類特別的幾何性質(zhì),他們涉及到圖形在整體結(jié)構(gòu)上的性質(zhì),這就是所謂的“拓撲性質(zhì)”。拓撲性質(zhì)與幾何圖形的大小、形狀以及所含線段的曲直等都無關(guān),也就不能普通的幾何方法來處理。專門研究幾何圖形的拓撲性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支就是拓撲學(xué)。拓撲學(xué)通常被形象地成為“橡皮幾何學(xué)”,因為它研究的拓撲性質(zhì)在圖形作彈性變換時是不會改變的。拓撲魔術(shù):下面是一個橡皮泥模型,如何解開相互套在一起的環(huán)?2022-3-615l象上述那樣簡單的作法誰都會,沒什么希奇。如果不斷開,你能從左上變到右上嗎?2022-3-616l答案:2022-3-617l 一個扭結(jié)(或鏈環(huán))可以在空間中自由地連續(xù)變形,
7、但不許剪斷,不許粘合。如果一個扭結(jié)(或鏈環(huán))在空間中可以經(jīng)過這種移位連續(xù)變形變成另一個,就稱這兩個扭結(jié)(或鏈環(huán))是等價的,或相同的(在拓撲上)。2022-3-618l扭結(jié)的表示:對于一個確定的扭結(jié)K,在空間中取一個平面P,考慮K在P上的投影圖。適當(dāng)?shù)卦诳臻g中挪動K,使得投影圖滿足以下條件:l 1 只有有限個重疊點l 2 每個重疊點都是二重點l 3 在每個二重點,上下兩線交叉穿越,在上面的線用實線表示,在下面的線用實線在交叉點附近斷開表示l 這樣一個投影圖就稱為K的一個標準投影圖,或簡稱為投影。顯然,總可以得到一個扭結(jié)(及類似地,鏈環(huán))的(不止一個的)標準投影圖。2022-3-619l 扭結(jié)和鏈
8、環(huán)可以用投影圖來確定。但一般說來,等價的扭結(jié)(或鏈環(huán))可以有不同的投影圖。例如, 2022-3-620l容易知道,對扭結(jié)(或鏈環(huán))的一個投影圖作如下三種變換,不改變對應(yīng)的扭結(jié)(或鏈環(huán)):2022-3-621l上述三種變換也稱為投影圖的基本(或初等)變換.l兩個投影圖決定的扭結(jié)(或鏈環(huán))是等價的當(dāng)且僅當(dāng)其中一個投影圖可以經(jīng)過有限次的上述三種變換和(適當(dāng)?shù)兀┩垡苿幼優(yōu)榱硪粋€。2022-3-622l數(shù)學(xué)上的扭結(jié)理論是拓撲學(xué)的一個重要組成部分。扭結(jié)理論就是研究扭結(jié)(或鏈環(huán))在連續(xù)變形下保持不變的特性(稱為不變量),其目的在于告訴人們?nèi)绾螀^(qū)分(本質(zhì)上)不同的扭結(jié)。2022-3-623l 由于扭結(jié)與鏈環(huán)
9、既直觀又充滿奧妙,扭結(jié)理論有通俗易懂妙趣橫生的一方面,又有極其深刻的內(nèi)涵,并且與分子生物學(xué)、理論物理等自然科學(xué)領(lǐng)域密切相關(guān),扭結(jié)理論近年來成為數(shù)學(xué)上特別璀璨的明珠。 扭結(jié)理論的基本問題:扭結(jié)理論的基本問題:l任給兩個扭結(jié)(或鏈環(huán)),怎樣識別它們是否相同?1.特別地,任給一個扭結(jié)(或鏈環(huán)),怎樣識別它是否等價于一個平凡扭結(jié)或平凡鏈環(huán)(能夠嵌入到平面上的鏈環(huán))?2022-3-624l 歷史歷史:人們認識并利用繩結(jié)的歷史可以追溯到相當(dāng)久遠,但對扭結(jié)進行系統(tǒng)理論研究的歷史卻不長,只有一個世紀多一點的時間,起因還得歸功于物理學(xué)。十九世紀下半頁,有一種原子模型,認為原子由中心的渦圈軸線決定,軸線可以打結(jié),
10、不同的結(jié)代表不同的原子。這個學(xué)說促使一大批物理學(xué)家去研究繩圈的打結(jié)現(xiàn)象。經(jīng)過多年努力,第一張扭結(jié)表于1899年問世,其中列出了交叉點不超過10的大部分(素)扭結(jié)。 到1969年,英國數(shù)學(xué)家J.H.Conway發(fā)現(xiàn)了扭結(jié)的一個新的表示,并用它給出了交叉點不超過11的大部分(素)扭結(jié)列表。到1982年,數(shù)學(xué)家們給出了交叉點不超過13的所有(素)扭結(jié)列表。2022-3-625l扭結(jié)理論中另一個重要(也是有趣)的問題就是鏡像問題鏡像問題,或者稱為手征問題手征問題。設(shè)L是一個扭結(jié)或鏈環(huán),并給定了L的一個投影圖。L的鏡像就是把L的這個投影圖中的每個交叉點處的上線改為下線,下線改為上線后所得投影圖對應(yīng)的扭結(jié)
11、或鏈環(huán)L*。實際上,L*就是L在一個鏡面中的像,且與鏡面的選取無關(guān),故稱為L的鏡像。如果L與L的鏡像L*是等價的等價的,我們就說L是無手征的無手征的,否則稱L是有手征的有手征的。l所謂鏡像問題(或手征問題)是問:給定一個扭結(jié)或鏈環(huán),怎樣判斷它是否有手征?2022-3-626l自然界中的許多物理現(xiàn)象、化學(xué)現(xiàn)象、生物現(xiàn)象等均與手征問題有關(guān),所以手征問題在應(yīng)用上是很重要的。l例:8字結(jié)與其鏡像等價。2022-3-627l如果我們不拘泥于初等變換,那么下面的圖更容易使我們相信。圖中用粗實線與虛實線來表明把哪條線挪到哪個位置。線條只挪動了一次,其余都是平面變形。2022-3-628l從1984年之前,人
12、們對于交叉數(shù)不超過9的素扭結(jié)是否有手征的問題都給出了完全的回答。從結(jié)果看,大多數(shù)這樣的扭結(jié)是有手征的。但很多這樣問題的解決都依賴于很多高深的理論和復(fù)雜的方法。甚至連區(qū)分三葉結(jié)和它的鏡面像是否等價也頗費周折。1984年之后,情況發(fā)生了戲劇性的改變。?2022-3-629l 扭結(jié)理論的主要課題,是尋找既有強的分辨不同扭結(jié)的能力,又易于計算的不變量。l 1984年,新西蘭數(shù)學(xué)家J.Jones發(fā)現(xiàn)了鏈環(huán)的一個不變量后來被稱為。這是扭結(jié)理論(也是數(shù)學(xué))上的一個重大突破,扭結(jié)不變量的研究因此被推到世界數(shù)學(xué)舞臺的中央,受到舉世矚目,至今仍非?;钴S,碩果累累。2022-3-630l 一方面,Jones多項式容
13、易計算,有很強的識別不同扭結(jié)的能力,它甚至可以識別三葉結(jié)和它的鏡面像;l 另一方面,找到了扭結(jié)理論與理論物理(主要是量子統(tǒng)計力學(xué)、量子場論)的結(jié)合點。這不但大大推動了理論物理學(xué)的發(fā)展,反過來,物理學(xué)家也為數(shù)學(xué)發(fā)展作出貢獻,提出了一系列的扭結(jié)不變量。l 再一方面,利用Jones多項式解決了許多扭結(jié)理論中長期懸而未決的困難問題。l Jones因此于1990年在京都國際數(shù)學(xué)家大會上獲得數(shù)學(xué)最高榮譽獎-Fields獎。2022-3-631l 1984年,Jones發(fā)現(xiàn),可以給每個鏈環(huán)的一個定向投影圖L聯(lián)系上一個多項式V(L),使得這個多項式完全由L本身決定,與投影圖的選取無關(guān),這就是Jones多項式。
14、這里說的多項式是指有限多個形如 的和,其中各項的系數(shù)都是整數(shù),而t的方冪k可以是整數(shù),也可以是半整數(shù)(如1/2,-5/2等)。下面就來陳述Jones的定理:kkta2022-3-632l定理:定理:存在一個對應(yīng)V,給每個定向投影圖L聯(lián)系上t的整系數(shù)多項式V(L),滿足:l 1)如果K,L對應(yīng)的是等價的扭結(jié)(或鏈環(huán)),則V(K)=V(L);l 2)有拆接關(guān)系式:lt V( )-tV( )=(t -t )V( ),l其中的 , , 代表只在某一交叉點這樣不同,其它完全相同的有向投影圖;l 3)V( )=1l上述定理通常稱為Jones定理。-11|21|2-2022-3-633lJones定理中的性
15、質(zhì)(1),(2),(3)使我們能夠相當(dāng)方便地算出一些常見的扭結(jié)和鏈環(huán)的Jones多項式。l例1 兩個分支的平凡鏈環(huán):2022-3-634l上圖左邊和中間的都是平凡扭結(jié),它們的V值均為1,這樣就有l(wèi)記l反復(fù)使用上述辦法就能證明,如果L是c個分支的平凡鏈環(huán),則L的Jones多項式為)(2121tt1)(cLV2022-3-635l例2 簡單圈套。 把拆接關(guān)系式用于2022-3-636l例3 三葉結(jié)。先算右手三葉結(jié)。把拆接關(guān)系式用于中間是平凡扭結(jié),右邊的在例2中已算出,故有2022-3-637l注意到右手三葉結(jié)與左手三葉結(jié)的Jones多項 式不同,由Jones定理,它們是。2022-3-638202
16、2-3-639lJones多項式的發(fā)現(xiàn),有如一聲春雷,使扭結(jié)理論成為世界數(shù)學(xué)界乃至于物理學(xué)界和生物學(xué)界注意的焦點之一,并引發(fā)了一連串的重要進展,開辟了扭結(jié)理論與許多別的數(shù)學(xué)分支、與物理學(xué)和生物學(xué)的一些分支的聯(lián)系渠道。l尤其令人驚異的是,人們已為Jones多項式找到一種不需要什么準備知識的初等證明,一個連中學(xué)生都能理解的證明。這就是說,作為事后諸葛亮,我們發(fā)現(xiàn)這塊瑰寶原來埋藏的并不深,不知為什么先賢們竟錯過了它。2022-3-6402022-3-641l DNA是高分子化合物,是生物遺傳信息的攜帶者,是分子生物學(xué)的重點研究對象。雖然決定遺傳信息的主要是DNA的,DNA分子的對其物理、化學(xué)性質(zhì)乃至
17、于生物活性都有很大影響。因此,對這些空間結(jié)構(gòu)和幾何形狀的研究對于揭示生命現(xiàn)象的奧秘有重要意義,是分子生物學(xué)的重要研究課題之一。2022-3-642lDNA由脫氧核苷酸連接而成,每個核苷酸則是由一個磷酸分子、脫氧核糖分子和一含氮的堿基組成。絕大多數(shù)DNA分子是:有兩條由脫氧核糖與磷酸相間連成的長鏈,稱為主鏈,作為;每個核糖分子分子上連著一個堿基,在兩條主鏈上的互相對應(yīng),通過氫鍵連接起來形成堿基對,作為。沿一條主鏈讀出其堿基排列順序,就是所謂的,其中就包含著生物的遺傳信息。2022-3-6432022-3-644l 雙鏈DNA具有一種特別的立體結(jié)構(gòu)-雙螺旋結(jié)構(gòu)。確定雙螺旋的幾何形狀的重要因素之一就是它的軸線的形狀,。交叉點不超過6的扭結(jié)作為雙螺旋結(jié)構(gòu)的軸線,都已在實驗中觀察到。l已經(jīng)知道,DNA在細胞核中的扭曲、絞擰和打結(jié)直接影響到DNA的復(fù)制、轉(zhuǎn)錄和重組等生命的基本活動。這些活動是
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