lecture on knots

1、2022-3-61哈爾濱工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系雷逢春2022-3-62l1. 扭結(jié)、鏈環(huán)的定義和例子l2. 扭結(jié)（鏈環(huán)）的等價(jià)、投射圖和 Reidemeister定理l3. 扭結(jié)理論及歷史回顧l4. Jones多項(xiàng)式l5. 扭結(jié)理論的應(yīng)用之一 DNA的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)2022-3-63l 生活中我們每天都在與繩結(jié)打交道:用繩子捆東西、系鞋帶、縫衣服、織毛衣、小朋友玩的繩圈翻花游戲等等。用繩子打結(jié)，用于各種目的，可以說司空見慣，一點(diǎn)也不足以為奇。2022-3-64l 直覺上我們會(huì)認(rèn)為上面的兩個(gè)繩結(jié)應(yīng)該不同。如果固定繩頭兩端（即不許把繩頭抽回重穿），你沒法把左邊的繩結(jié)變到右邊的繩結(jié)。否則，則不然。因此研究繩結(jié)時(shí)，

2、應(yīng)該把兩端固定。通常的作法是把兩端系在一起，得到所謂的扭結(jié)，如下圖所示：2022-3-65l 扭結(jié)的定義：三維歐氏空間中的連成一體的（連通的）、封閉的（沒有端點(diǎn)的）、沒有粘連的（自己與自己不交的）一條曲線就稱為一個(gè)扭結(jié)。l 數(shù)學(xué)上扭結(jié)的定義：把單位圓周到三維歐氏空間中的一個(gè)嵌入稱為一個(gè)扭結(jié)。l 把單位圓周嵌入到平面上，得到的扭結(jié)是一個(gè)（拓?fù)洌﹫A盤的邊界，這樣的扭結(jié)稱為平凡扭結(jié)。2022-3-66l簡單扭結(jié)的例子：平凡扭結(jié)三葉結(jié)8字結(jié)方結(jié)2022-3-672022-3-68l 鏈環(huán)：空間中由有限個(gè)互不相交的扭結(jié)組成的幾何對(duì)象就稱為一個(gè)鏈環(huán)。l 這樣，扭結(jié)就是只有一個(gè)分支的鏈環(huán)。l 鏈環(huán)的例子：

3、平凡鏈環(huán)Hopf鏈環(huán)Borromean鏈環(huán)2022-3-69l 說到扭結(jié)，不能不提到拓?fù)鋵W(xué)。實(shí)際上，扭結(jié)理論是拓?fù)鋵W(xué)的一個(gè)重要分支。但什么是拓?fù)鋵W(xué)?l 拓?fù)鋵W(xué)是數(shù)學(xué)中容易定義卻又不太容易理解的分支。簡單地說，拓?fù)鋵W(xué)是研究幾何對(duì)象在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)的學(xué)問。直觀地說，所謂“連續(xù)變換”（也叫拓?fù)渥儞Q，或同胚）就是使幾何對(duì)象受到彎曲、拉伸、壓縮、扭轉(zhuǎn)或它們的任意組合。這里理想地假設(shè)受到變形的幾何對(duì)象具有彈性，能充分地經(jīng)受這樣的操作。下面和拓?fù)湫再|(zhì)有關(guān)的幾個(gè)有趣的問題:2022-3-610l一筆畫問題一筆畫問題l一筆畫問題是一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)游戲. 簡單地說,就是問：平面上一個(gè)由曲線段構(gòu)成的一個(gè)圖形

4、能不能一筆畫成，使得在每條線段上不重復(fù)？l易知，漢字“日”、“中”都可以一筆寫出，而“田”和“目”都不能一筆寫出。l顯然，圖形能不能一筆寫出與圖形中線段的長度、形狀等幾何概念沒有關(guān)系，要緊的是線段的數(shù)目和他們之間的連接關(guān)系，也就是說一筆畫問題的關(guān)鍵是圖形的整體結(jié)構(gòu)。2022-3-611l著名的七橋問題著名的七橋問題：流經(jīng)哥尼斯堡的普雷格河的河彎處有兩個(gè)小島，有七座橋連接了兩岸和小島。當(dāng)?shù)亓鱾饕粋€(gè)游戲：要求在一次散步中恰好通過每座橋一次。見下圖：2022-3-612l很長時(shí)間沒有人能做到。后來大數(shù)學(xué)家 Euler研究了這個(gè)游戲，他把這個(gè)游戲變成右邊的圖形能不能一筆畫成的問題，并且他證明了該圖形是

5、不能一筆畫成的。l地圖著色問題地圖著色問題：給地圖著色是要把相鄰的國家（或區(qū)域）著上不同的顏色，以便容易加以區(qū)分。那么，繪圖員至少要準(zhǔn)備多少種顏色才能給任何地圖著色？l顯然，地圖著色問題與度量（區(qū)域的面積、邊界線的長度等）和形狀無關(guān)，關(guān)鍵是區(qū)域的個(gè)數(shù)和他們之間的鄰接關(guān)系。地圖經(jīng)過變形（縮放或各種投影）后所需顏色數(shù)不變。2022-3-613lEulerEuler多面體定理多面體定理：凸多面體的面數(shù)f、棱數(shù)l和頂點(diǎn)數(shù)v滿足Euler公式f-l+v=2 實(shí)際上， Euler多面體定理可以推廣到球面上的圖形，只要該圖形滿足如下條件：l每條弧的端點(diǎn)互不同l不同的弧若相交，只交于端點(diǎn)l每條弧不自交。202

6、2-3-614以上幾個(gè)問題顯示出幾何圖形的一類特別的幾何性質(zhì)，他們涉及到圖形在整體結(jié)構(gòu)上的性質(zhì)，這就是所謂的“拓?fù)湫再|(zhì)”。拓?fù)湫再|(zhì)與幾何圖形的大小、形狀以及所含線段的曲直等都無關(guān)，也就不能普通的幾何方法來處理。專門研究幾何圖形的拓?fù)湫再|(zhì)的數(shù)學(xué)分支就是拓?fù)鋵W(xué)。拓?fù)鋵W(xué)通常被形象地成為“橡皮幾何學(xué)”，因?yàn)樗芯康耐負(fù)湫再|(zhì)在圖形作彈性變換時(shí)是不會(huì)改變的。拓?fù)淠g(shù)：下面是一個(gè)橡皮泥模型，如何解開相互套在一起的環(huán)？2022-3-615l象上述那樣簡單的作法誰都會(huì),沒什么希奇。如果不斷開，你能從左上變到右上嗎？2022-3-616l答案：2022-3-617l 一個(gè)扭結(jié)（或鏈環(huán)）可以在空間中自由地連續(xù)變形，

7、但不許剪斷，不許粘合。如果一個(gè)扭結(jié)（或鏈環(huán)）在空間中可以經(jīng)過這種移位連續(xù)變形變成另一個(gè)，就稱這兩個(gè)扭結(jié)（或鏈環(huán)）是等價(jià)的，或相同的（在拓?fù)渖希?022-3-618l扭結(jié)的表示：對(duì)于一個(gè)確定的扭結(jié)K，在空間中取一個(gè)平面P，考慮K在P上的投影圖。適當(dāng)?shù)卦诳臻g中挪動(dòng)K，使得投影圖滿足以下條件：l 1 只有有限個(gè)重疊點(diǎn)l 2 每個(gè)重疊點(diǎn)都是二重點(diǎn)l 3 在每個(gè)二重點(diǎn)，上下兩線交叉穿越，在上面的線用實(shí)線表示，在下面的線用實(shí)線在交叉點(diǎn)附近斷開表示l 這樣一個(gè)投影圖就稱為K的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)投影圖，或簡稱為投影。顯然，總可以得到一個(gè)扭結(jié)（及類似地，鏈環(huán)）的（不止一個(gè)的）標(biāo)準(zhǔn)投影圖。2022-3-619l 扭結(jié)和鏈

8、環(huán)可以用投影圖來確定。但一般說來，等價(jià)的扭結(jié)（或鏈環(huán)）可以有不同的投影圖。例如， 2022-3-620l容易知道,對(duì)扭結(jié)(或鏈環(huán))的一個(gè)投影圖作如下三種變換,不改變對(duì)應(yīng)的扭結(jié)(或鏈環(huán)):2022-3-621l上述三種變換也稱為投影圖的基本（或初等）變換.l兩個(gè)投影圖決定的扭結(jié)(或鏈環(huán))是等價(jià)的當(dāng)且僅當(dāng)其中一個(gè)投影圖可以經(jīng)過有限次的上述三種變換和（適當(dāng)?shù)兀┩垡苿?dòng)變?yōu)榱硪粋€(gè)。2022-3-622l數(shù)學(xué)上的扭結(jié)理論是拓?fù)鋵W(xué)的一個(gè)重要組成部分。扭結(jié)理論就是研究扭結(jié)（或鏈環(huán)）在連續(xù)變形下保持不變的特性（稱為不變量），其目的在于告訴人們?nèi)绾螀^(qū)分（本質(zhì)上）不同的扭結(jié)。2022-3-623l 由于扭結(jié)與鏈環(huán)

9、既直觀又充滿奧妙，扭結(jié)理論有通俗易懂妙趣橫生的一方面，又有極其深刻的內(nèi)涵，并且與分子生物學(xué)、理論物理等自然科學(xué)領(lǐng)域密切相關(guān)，扭結(jié)理論近年來成為數(shù)學(xué)上特別璀璨的明珠。 扭結(jié)理論的基本問題：扭結(jié)理論的基本問題：l任給兩個(gè)扭結(jié)（或鏈環(huán)），怎樣識(shí)別它們是否相同？1.特別地，任給一個(gè)扭結(jié)（或鏈環(huán)），怎樣識(shí)別它是否等價(jià)于一個(gè)平凡扭結(jié)或平凡鏈環(huán)（能夠嵌入到平面上的鏈環(huán)）？2022-3-624l 歷史歷史：人們認(rèn)識(shí)并利用繩結(jié)的歷史可以追溯到相當(dāng)久遠(yuǎn)，但對(duì)扭結(jié)進(jìn)行系統(tǒng)理論研究的歷史卻不長，只有一個(gè)世紀(jì)多一點(diǎn)的時(shí)間，起因還得歸功于物理學(xué)。十九世紀(jì)下半頁，有一種原子模型，認(rèn)為原子由中心的渦圈軸線決定，軸線可以打結(jié)，

10、不同的結(jié)代表不同的原子。這個(gè)學(xué)說促使一大批物理學(xué)家去研究繩圈的打結(jié)現(xiàn)象。經(jīng)過多年努力，第一張扭結(jié)表于1899年問世，其中列出了交叉點(diǎn)不超過10的大部分(素)扭結(jié)。 到1969年,英國數(shù)學(xué)家J.H.Conway發(fā)現(xiàn)了扭結(jié)的一個(gè)新的表示,并用它給出了交叉點(diǎn)不超過11的大部分(素)扭結(jié)列表。到1982年,數(shù)學(xué)家們給出了交叉點(diǎn)不超過13的所有(素)扭結(jié)列表。2022-3-625l扭結(jié)理論中另一個(gè)重要（也是有趣）的問題就是鏡像問題鏡像問題，或者稱為手征問題手征問題。設(shè)L是一個(gè)扭結(jié)或鏈環(huán)，并給定了L的一個(gè)投影圖。L的鏡像就是把L的這個(gè)投影圖中的每個(gè)交叉點(diǎn)處的上線改為下線，下線改為上線后所得投影圖對(duì)應(yīng)的扭結(jié)

11、或鏈環(huán)L*。實(shí)際上，L*就是L在一個(gè)鏡面中的像，且與鏡面的選取無關(guān)，故稱為L的鏡像。如果L與L的鏡像L*是等價(jià)的等價(jià)的，我們就說L是無手征的無手征的，否則稱L是有手征的有手征的。l所謂鏡像問題（或手征問題）是問：給定一個(gè)扭結(jié)或鏈環(huán)，怎樣判斷它是否有手征？2022-3-626l自然界中的許多物理現(xiàn)象、化學(xué)現(xiàn)象、生物現(xiàn)象等均與手征問題有關(guān)，所以手征問題在應(yīng)用上是很重要的。l例：8字結(jié)與其鏡像等價(jià)。2022-3-627l如果我們不拘泥于初等變換，那么下面的圖更容易使我們相信。圖中用粗實(shí)線與虛實(shí)線來表明把哪條線挪到哪個(gè)位置。線條只挪動(dòng)了一次，其余都是平面變形。2022-3-628l從1984年之前，人

12、們對(duì)于交叉數(shù)不超過9的素扭結(jié)是否有手征的問題都給出了完全的回答。從結(jié)果看，大多數(shù)這樣的扭結(jié)是有手征的。但很多這樣問題的解決都依賴于很多高深的理論和復(fù)雜的方法。甚至連區(qū)分三葉結(jié)和它的鏡面像是否等價(jià)也頗費(fèi)周折。1984年之后，情況發(fā)生了戲劇性的改變。?2022-3-629l 扭結(jié)理論的主要課題,是尋找既有強(qiáng)的分辨不同扭結(jié)的能力,又易于計(jì)算的不變量。l 1984年，新西蘭數(shù)學(xué)家J.Jones發(fā)現(xiàn)了鏈環(huán)的一個(gè)不變量后來被稱為。這是扭結(jié)理論（也是數(shù)學(xué)）上的一個(gè)重大突破，扭結(jié)不變量的研究因此被推到世界數(shù)學(xué)舞臺(tái)的中央，受到舉世矚目，至今仍非?；钴S，碩果累累。2022-3-630l 一方面，Jones多項(xiàng)式容

13、易計(jì)算，有很強(qiáng)的識(shí)別不同扭結(jié)的能力，它甚至可以識(shí)別三葉結(jié)和它的鏡面像；l 另一方面，找到了扭結(jié)理論與理論物理（主要是量子統(tǒng)計(jì)力學(xué)、量子場論）的結(jié)合點(diǎn)。這不但大大推動(dòng)了理論物理學(xué)的發(fā)展，反過來，物理學(xué)家也為數(shù)學(xué)發(fā)展作出貢獻(xiàn)，提出了一系列的扭結(jié)不變量。l 再一方面，利用Jones多項(xiàng)式解決了許多扭結(jié)理論中長期懸而未決的困難問題。l Jones因此于1990年在京都國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上獲得數(shù)學(xué)最高榮譽(yù)獎(jiǎng)-Fields獎(jiǎng)。2022-3-631l 1984年，Jones發(fā)現(xiàn)，可以給每個(gè)鏈環(huán)的一個(gè)定向投影圖L聯(lián)系上一個(gè)多項(xiàng)式V(L)，使得這個(gè)多項(xiàng)式完全由L本身決定，與投影圖的選取無關(guān)，這就是Jones多項(xiàng)式。

14、這里說的多項(xiàng)式是指有限多個(gè)形如 的和，其中各項(xiàng)的系數(shù)都是整數(shù)，而t的方冪k可以是整數(shù)，也可以是半整數(shù)（如1/2，-5/2等）。下面就來陳述Jones的定理：kkta2022-3-632l定理：定理：存在一個(gè)對(duì)應(yīng)V，給每個(gè)定向投影圖L聯(lián)系上t的整系數(shù)多項(xiàng)式V(L),滿足：l 1）如果K,L對(duì)應(yīng)的是等價(jià)的扭結(jié)（或鏈環(huán)）,則V(K)=V(L);l 2)有拆接關(guān)系式：lt V( )-tV( )=(t -t )V( ),l其中的 ， ， 代表只在某一交叉點(diǎn)這樣不同，其它完全相同的有向投影圖；l 3）V( )=1l上述定理通常稱為Jones定理。-11|21|2-2022-3-633lJones定理中的性

15、質(zhì)（1），（2），（3）使我們能夠相當(dāng)方便地算出一些常見的扭結(jié)和鏈環(huán)的Jones多項(xiàng)式。l例1 兩個(gè)分支的平凡鏈環(huán)：2022-3-634l上圖左邊和中間的都是平凡扭結(jié)，它們的V值均為1，這樣就有l(wèi)記l反復(fù)使用上述辦法就能證明，如果L是c個(gè)分支的平凡鏈環(huán)，則L的Jones多項(xiàng)式為)(2121tt1)(cLV2022-3-635l例2 簡單圈套。 把拆接關(guān)系式用于2022-3-636l例3 三葉結(jié)。先算右手三葉結(jié)。把拆接關(guān)系式用于中間是平凡扭結(jié)，右邊的在例2中已算出，故有2022-3-637l注意到右手三葉結(jié)與左手三葉結(jié)的Jones多項(xiàng) 式不同，由Jones定理，它們是。2022-3-638202

16、2-3-639lJones多項(xiàng)式的發(fā)現(xiàn)，有如一聲春雷，使扭結(jié)理論成為世界數(shù)學(xué)界乃至于物理學(xué)界和生物學(xué)界注意的焦點(diǎn)之一，并引發(fā)了一連串的重要進(jìn)展，開辟了扭結(jié)理論與許多別的數(shù)學(xué)分支、與物理學(xué)和生物學(xué)的一些分支的聯(lián)系渠道。l尤其令人驚異的是，人們已為Jones多項(xiàng)式找到一種不需要什么準(zhǔn)備知識(shí)的初等證明，一個(gè)連中學(xué)生都能理解的證明。這就是說，作為事后諸葛亮，我們發(fā)現(xiàn)這塊瑰寶原來埋藏的并不深，不知為什么先賢們竟錯(cuò)過了它。2022-3-6402022-3-641l DNA是高分子化合物，是生物遺傳信息的攜帶者，是分子生物學(xué)的重點(diǎn)研究對(duì)象。雖然決定遺傳信息的主要是DNA的，DNA分子的對(duì)其物理、化學(xué)性質(zhì)乃至

17、于生物活性都有很大影響。因此，對(duì)這些空間結(jié)構(gòu)和幾何形狀的研究對(duì)于揭示生命現(xiàn)象的奧秘有重要意義，是分子生物學(xué)的重要研究課題之一。2022-3-642lDNA由脫氧核苷酸連接而成，每個(gè)核苷酸則是由一個(gè)磷酸分子、脫氧核糖分子和一含氮的堿基組成。絕大多數(shù)DNA分子是：有兩條由脫氧核糖與磷酸相間連成的長鏈，稱為主鏈，作為；每個(gè)核糖分子分子上連著一個(gè)堿基，在兩條主鏈上的互相對(duì)應(yīng)，通過氫鍵連接起來形成堿基對(duì)，作為。沿一條主鏈讀出其堿基排列順序，就是所謂的，其中就包含著生物的遺傳信息。2022-3-6432022-3-644l 雙鏈DNA具有一種特別的立體結(jié)構(gòu)-雙螺旋結(jié)構(gòu)。確定雙螺旋的幾何形狀的重要因素之一就是它的軸線的形狀，。交叉點(diǎn)不超過6的扭結(jié)作為雙螺旋結(jié)構(gòu)的軸線，都已在實(shí)驗(yàn)中觀察到。l已經(jīng)知道，DNA在細(xì)胞核中的扭曲、絞擰和打結(jié)直接影響到DNA的復(fù)制、轉(zhuǎn)錄和重組等生命的基本活動(dòng)。這些活動(dòng)是