大學(xué)文科數(shù)學(xué)極限(1)

1、主要內(nèi)容主要內(nèi)容典型例題典型例題習(xí)習(xí) 題題 課課第二章第二章 極極 限限（一）極限的概念（一）極限的概念（二）連續(xù)的概念（二）連續(xù)的概念左右極限左右極限兩個重要兩個重要極限極限求極限的常用方法求極限的常用方法無窮小無窮小的性質(zhì)的性質(zhì)極限存在的極限存在的充要條件充要條件判定極限判定極限存在的準(zhǔn)則存在的準(zhǔn)則無窮小的比較無窮小的比較極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)數(shù)列極限數(shù)列極限函函 數(shù)數(shù) 極極 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等價無窮小等價無窮小及其性質(zhì)及其性質(zhì)唯一性唯一性無窮小無窮小0)(lim xf兩者的兩者的關(guān)系關(guān)系無窮大無窮大 )(limxf., 0, 0 axNnNn

2、恒恒有有時時使使1. 1. 極限的定義極限的定義定定義義N 定定義義 如如果果對對于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) ( (不不論論它它 多多么么小小) ), ,總總存存在在正正整整數(shù)數(shù) N, ,使使得得對對于于Nn 時時 的的一一切切nx, ,不不等等式式 axn都都成成立立, ,那那末末就就稱稱 常常數(shù)數(shù) a是是數(shù)數(shù)列列nx的的極極限限, ,或或者者稱稱數(shù)數(shù)列列 nx收收斂斂 于于 a, ,記記為為 ,limaxnn 或或 ).( naxn 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf 在點在點 0 x的某一去心鄰域的某一去心鄰域內(nèi)有定義，內(nèi)有定義，對于任意給定的正數(shù)對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么不

3、論它多么小小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) , ,使得當(dāng)使得當(dāng) x滿足不等式滿足不等式 00 xx時，對應(yīng)的函數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值 )(xf都滿足都滿足 不等式不等式 Axf)(, ,那么常數(shù)那么常數(shù) A就叫函數(shù)就叫函數(shù)時時的的極極限限當(dāng)當(dāng)0)(xxxf, ,記作記作 )()()(lim00 xxAxfAxfxx 當(dāng)當(dāng)或或 定定義義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有時時使使當(dāng)當(dāng)左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng)右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時時使使當(dāng)當(dāng).)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()

4、(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理定義定義X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當(dāng)當(dāng) Axfx)(lim定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) )(xf當(dāng)當(dāng) x大于某一正數(shù)時有定大于某一正數(shù)時有定義，義， 對于任意給定的正數(shù)對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存總存在正數(shù)在正數(shù) X, ,使得當(dāng)使得當(dāng) x滿足不等式滿足不等式 Xx 時，對應(yīng)時，對應(yīng)的函數(shù)值的函數(shù)值 )(xf都滿足不等式都滿足不等式 Axf)(, ,那那么常數(shù)么常數(shù) A就叫函數(shù)就叫函數(shù) 時時的的極極限限當(dāng)當(dāng) xxf)(, ,記記

5、作作)()()(lim xAxfAxfx當(dāng)當(dāng)或或 :.10情情形形 x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng):.20情形情形x Axfx)(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當(dāng)當(dāng) Axfx)(lim另兩種情形另兩種情形: Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且無窮小無窮小:極限為零的變量稱為極限為零的變量稱為無窮小無窮小.).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或記記作作絕對值無限增大的變量稱為絕對值無限增大的變量稱為無窮大無窮大.無窮大無窮大:).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或記記作作在同一過程中在同

6、一過程中, ,無窮大的倒數(shù)為無窮小無窮大的倒數(shù)為無窮小; ;恒不為恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大零的無窮小的倒數(shù)為無窮大. .無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小與無窮大的關(guān)系2. 2. 無窮小與無窮大無窮小與無窮大定理定理1 在同一過程中在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小仍是無窮小.定理定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論1 在同一過程中在同一過程中,有極限的變量與無窮小的有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小乘積是無窮小.推論推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個

7、無窮小的乘積也是無窮小.無窮小的運算性質(zhì)無窮小的運算性質(zhì)定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設(shè)設(shè)推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是正整數(shù)是正整數(shù)而而存在存在如果如果推論推論2 23. 3. 極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)4. 4. 求極限的常用方法求極限的常用方法a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限多項式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限

8、消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質(zhì)求極限利用無窮小運算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限.準(zhǔn)準(zhǔn)則則 如如果果當(dāng)當(dāng)),(00rxUx (或或Mx )時時,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那那末末)(lim)(0 xfxxx 存存在在,且且等等于于A.5. 5. 判定極限存在的準(zhǔn)則判定極限存在的準(zhǔn)則準(zhǔn)準(zhǔn)則則 單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限.(夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則)(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(limexxx

9、 10)1(lim; 1sinlim 某某過過程程.)1(lim1e 某過程某過程6. 6. 兩個重要極限兩個重要極限);(, 0lim)1( o記記作作高高階階的的無無窮窮小小是是比比就就說說如如果果定義定義: :. 0, 且且窮小窮小是同一過程中的兩個無是同一過程中的兩個無設(shè)設(shè);),0(lim)2(是是同同階階的的無無窮窮小小與與就就說說如如果果 CC;, 1lim 記作記作是等價的無窮小是等價的無窮小與與則稱則稱如果如果特殊地特殊地7. 7. 無窮小的比較無窮小的比較定理定理(等價無窮小替換定理等價無窮小替換定理).limlim,lim, 則則存存在在且且設(shè)設(shè).),0, 0(lim)3(

10、無無窮窮小小階階的的是是是是就就說說如如果果kkCCk 定定理理 若若)(limxf存存在在,則則極極限限唯唯一一.8. 等價無窮小的性質(zhì)等價無窮小的性質(zhì)9. 極限的唯一性極限的唯一性左右連續(xù)左右連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上連續(xù)上連續(xù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的的 性性 質(zhì)質(zhì)初等函數(shù)初等函數(shù)的連續(xù)性的連續(xù)性間斷點定義間斷點定義連連 續(xù)續(xù) 定定 義義0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 連續(xù)的連續(xù)的充要條件充要條件連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)運算性質(zhì)非初等函數(shù)非初等函數(shù)的連續(xù)性的連續(xù)性 振蕩間斷點振蕩間斷點 無窮間斷點無窮間斷點 跳躍間斷點跳躍間斷點 可去間斷點可去間斷點第一類第一類 第二類

11、第二類定義定義1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在點在點0 x的某一鄰域內(nèi)有定義的某一鄰域內(nèi)有定義, ,如果當(dāng)自變量的增量如果當(dāng)自變量的增量x 趨向于零時趨向于零時, ,對應(yīng)的函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)的增量的增量y 也趨向于零也趨向于零, ,即即0lim0 yx 或或 0)()(lim000 xfxxfx那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù))(xf在點在點0 x連續(xù)連續(xù), ,0 x稱為稱為)(xf的連的連續(xù)點續(xù)點. .1. 1. 連續(xù)的定義連續(xù)的定義).()(lim200 xfxfxx 定義定義定理定理.)()(00既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)處處在在是是函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)xxfxxf.)(),()0(

12、,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點在點則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfbxxf 3. 3. 連續(xù)的充要條件連續(xù)的充要條件2. 2. 單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù);)(),()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點在點則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf :)(0條條件件處處連連續(xù)續(xù)必必須須滿滿足足的的三三個個在在點點函函數(shù)數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點在點xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點或間斷點的不連續(xù)點的不連續(xù)點為為并稱點并稱點或間斷或間斷處不連

13、續(xù)處不連續(xù)在點在點函數(shù)函數(shù)則稱則稱要有一個不滿足要有一個不滿足如果上述三個條件中只如果上述三個條件中只xfxxxf4. 4. 間斷點的定義間斷點的定義(1) 跳躍間斷點跳躍間斷點.)(),0()0(,)(0000的跳躍間斷點的跳躍間斷點為函數(shù)為函數(shù)則稱點則稱點但但存在存在右極限都右極限都處左處左在點在點如果如果xfxxfxfxxf (2)可去間斷點可去間斷點.)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點的可去間斷點為函數(shù)為函數(shù)義則稱點義則稱點處無定處無定在點在點或或但但處的極限存在處的極限存在在點在點如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 5. 5. 間斷點的分類間斷點的分類跳躍間斷

14、點與可去間斷點統(tǒng)稱為跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點第一類間斷點.特點特點: :.,0右極限都存在右極限都存在處的左處的左函數(shù)在點函數(shù)在點x可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點跳躍型跳躍型0yx0 x0yx0 x0yx無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點0yx0 x第二類間斷點第二類間斷點.)(,)(00類間斷點類間斷點的第二的第二為函數(shù)為函數(shù)則稱點則稱點至少有一個不存在至少有一個不存在右極限右極限處的左處的左在點在點如果如果xfxxxf.,)(,),(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間函數(shù)函數(shù)則稱則稱處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點在右端點處右連續(xù)處右連續(xù)并且在左端點并且在左端點內(nèi)連續(xù)

15、內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間如果函數(shù)在開區(qū)間baxfbxaxba 6. 6. 閉區(qū)間的連續(xù)性閉區(qū)間的連續(xù)性7. 7. 連續(xù)性的運算性質(zhì)連續(xù)性的運算性質(zhì)定理定理.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處也連續(xù)處也連續(xù)在點在點則則處連續(xù)處連續(xù)在點在點若函數(shù)若函數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 定理定理1 1 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù)續(xù)反函數(shù). .定理定理2 2).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 則則有有連連續(xù)續(xù)在在點點函函數(shù)數(shù)若若8. 8. 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性.

16、)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點在點則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在點在點而函數(shù)而函數(shù)且且連續(xù)連續(xù)在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理3 3定理定理4 4 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理定理5 5 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.9. 9. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值的函數(shù)一定有最大

17、值和最小值. .定理定理上連續(xù)，且上連續(xù)，且那末在開區(qū)間那末在開區(qū)間點點3(3(零點定理零點定理 ) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,)(af與與)(bf異號異號( (即即0)()( b. faf),),( () )ba,內(nèi)至少有函數(shù)內(nèi)至少有函數(shù))(xf的一個零的一個零, ,即至少有一點即至少有一點x x)(ba x x ，使，使0)( x xf. .定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界. .推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值與最小值m之

18、間的任何值之間的任何值.定理定理 4(4(介值定理介值定理 ) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba, 上上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值 Aaf )( 及及 Bbf )(, ,那末，對于那末，對于A與與B之間的任意一個數(shù)之間的任意一個數(shù)C ，在開區(qū)間，在開區(qū)間( () )ba,內(nèi)至少有一點內(nèi)至少有一點x x，使得，使得cf x x)( )(ba x x . .).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn 求求時時當(dāng)當(dāng)2.2.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求).(, 1)(lim, 2)(lim,)(023xpxx

19、pxxxpxpxx求求且且是多項式是多項式設(shè)設(shè) 1.1.3.3. 典型例題典型例題.1,2cos1,1)(的的連連續(xù)續(xù)性性討討論論 xxxxxf).()21(1 , 0),1()0(,1 , 0)(x xx xx xffffxf 使使得得證證明明必必有有一一點點且且上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)()()().21212.lim2126543212nnnxnnxnnn提示，利用，求設(shè)6.6.4.4.5.5. 典型例題解答典型例題解答).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn 求求時時當(dāng)當(dāng)1.1.解解將分子、分母同乘以因子將分子、分母同乘以因子(1-x), 則則xxxxxxnn 1

20、)1()1)(1)(1)(1(lim242原原式式xxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim2422xxxnnn 1)1)(1(lim22xxnn 11lim12.11x .)0lim,1(12 nxxn時時當(dāng)當(dāng).)sin1tan1(lim310 xxxx 求求解解 解法討論解法討論則則設(shè)設(shè),)(lim, 0)(lim xgxf)(1ln)(lim)()(1limxfxgxgexf )()(limxfxge .)()(limxfxge )()(1ln(xfxf 2.2.310)1sin1tan1(1limxxxx 原原式式310sin1sintan1limxxxxx 301sin1sin

21、tanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原式原式).(, 1)(lim, 2)(lim,)(023xpxxpxxxpxpxx求求且且是多項式是多項式設(shè)設(shè) 解解, 2)(lim23 xxxpx),(2)(23為為待待定定系系數(shù)數(shù)其其中中可可設(shè)設(shè)babaxxxxp , 1)(lim0 xxpx又又)0(2)(23 xxbaxxxxp. 1, 0 ab從從而而得得xxxxp 232)(故故3.3.()() ().21212.lim2126543212nnnxnnxnnn提示，利用，求設(shè)4.4.解解()()()，知，由1221212212212212122nnnnnnnnnnn.12112221276655443322121265432122nnnnnnnxn故，. 0lim0lim0121lim121