大學(xué)普通物理力學(xué)小結(jié)VIP

1、.主講：主講：.（一）基本物理量：（一）基本物理量： 一、運(yùn)動學(xué)：一、運(yùn)動學(xué)：ddddddddxyzrxyzijkijkttttkajaiaktjtittazyxzyxddddddddkzj yi xr12rrr xiyjzk .(二二)運(yùn)動方程運(yùn)動方程直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中ktzjtyitxtr)()()()( 分量表示分量表示)(txx )(tyy )(tzz 消去消去t，得到軌道方程，得到軌道方程 f(x,y,z)=0.（三）圓周運(yùn)動：（三）圓周運(yùn)動：1. 物理量物理量2. 線量和角量的關(guān)系線量和角量的關(guān)系3.勻角加速轉(zhuǎn)動公式勻角加速轉(zhuǎn)動公式 角速度角速度角加速度角加速度ddt22dd

2、ddtt 2tnrarar 020220122ttt ddtat2nar.二、動力學(xué)二、動力學(xué) 1.牛頓第一定律：牛頓第一定律：cvF 02.牛頓第二定律：牛頓第二定律：ddddvpFmamtt通常應(yīng)用其分量形式通常應(yīng)用其分量形式xxmaF yymaF ddtvFmtRvmFn2 3.牛頓第三定律：牛頓第三定律：2112FF （一）牛頓三定律（一）牛頓三定律.（二）動量定理與動量守恒定律（二）動量定理與動量守恒定律1.動量：動量：vmp 2.動量定理：合外力的沖量等于物體動量的增量。動量定理：合外力的沖量等于物體動量的增量。ddddpFpF tt微分式微分式00dtIF tpp積分式積分式3.

3、動量守恒定律：動量守恒定律：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系不受外力作用或所受合外力為零時，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系不受外力作用或所受合外力為零時， 質(zhì)點(diǎn)系的總動量保持不變。質(zhì)點(diǎn)系的總動量保持不變。恒矢量 iivm0 外外iF.（三）功和能（三）功和能1.功：功是力的空間累積效應(yīng)，功是過程量。功：功是力的空間累積效應(yīng)，功是過程量。dd cosbbaaWFrF rddd()bxyzaWF xF yF z保守力的功保守力的功d0Fr2.機(jī)械能：機(jī)械能：與物體相對位置和速度有關(guān)的狀態(tài)量。與物體相對位置和速度有關(guān)的狀態(tài)量。(1)動能動能221mvEk (2)勢能勢能212pEkx彈性勢能彈性勢能0dMMprFEpp0p)(EEEW保守力.3

4、、功、能關(guān)系、功、能關(guān)系(1)動能定理動能定理220011d22kkWFrEEmvmv)()(0初初末末非非保保內(nèi)內(nèi)保保內(nèi)內(nèi)外外kkEEWWWW (2)機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律00()kpWWEEEEC外非保內(nèi)或.注意注意:（二）轉(zhuǎn)動定律（二）轉(zhuǎn)動定律ddJMJt（）J和和M必須是一個剛體對必須是一個剛體對同一轉(zhuǎn)軸同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量和力矩。若的轉(zhuǎn)動慣量和力矩。若同時存在幾個剛體，原則上應(yīng)對每個剛體列出同時存在幾個剛體，原則上應(yīng)對每個剛體列出 。iiiMJ三、剛體力學(xué)三、剛體力學(xué) （一）剛體的運(yùn)動（一）剛體的運(yùn)動剛體的運(yùn)動形式：平動、轉(zhuǎn)動。剛體的運(yùn)動形式：平動、轉(zhuǎn)動。.（三）轉(zhuǎn)動慣量（三）轉(zhuǎn)

5、動慣量剛體的轉(zhuǎn)動慣量與剛體的剛體的轉(zhuǎn)動慣量與剛體的質(zhì)量、形狀、質(zhì)量的分布質(zhì)量、形狀、質(zhì)量的分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。計(jì)算轉(zhuǎn)動慣量的方法：計(jì)算轉(zhuǎn)動慣量的方法：1.已知質(zhì)量分布，由公式求轉(zhuǎn)動慣量：已知質(zhì)量分布，由公式求轉(zhuǎn)動慣量：2.已知兩軸間距離，用平行軸定理求解：已知兩軸間距離，用平行軸定理求解：2mdJJc iiirmJ22dJrm3.已知剛體系中各個剛體對同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，已知剛體系中各個剛體對同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量， 由疊加法求解：由疊加法求解： iiJJ2()i iiJm r不連續(xù)2d()Jrm連續(xù).（四）剛體力學(xué)中的功和能（四）剛體力學(xué)中的功和能1.力矩的功：力矩的功：

6、21dMW2.剛體轉(zhuǎn)動動能定理：剛體轉(zhuǎn)動動能定理：21220011d =22WMJJ3.機(jī)械能守恒定律：只有保守內(nèi)力作功時，系統(tǒng)動能與勢能之機(jī)械能守恒定律：只有保守內(nèi)力作功時，系統(tǒng)動能與勢能之和為常量。和為常量。常量cmghJmE222121.（五）剛體角動量和角動量守恒定律（五）剛體角動量和角動量守恒定律1 .角動量角動量: :LJL與 同向2 .角動量定理角動量定理: :112221dJJtMtt3. 角動量守恒定律角動量守恒定律: :當(dāng)剛體當(dāng)剛體( (系統(tǒng)系統(tǒng)) )所受外力矩為零時或時間極短，則剛體所受外力矩為零時或時間極短，則剛體( (系統(tǒng)系統(tǒng)) )對此軸的總角動量為恒量。對此軸的總角

7、動量為恒量。00iiMtJ 或恒量.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動與剛體定軸轉(zhuǎn)動對照質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動與剛體定軸轉(zhuǎn)動對照質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動剛體定軸剛體定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動速度速度加速度加速度trddvtvdda角速度角速度角加速度角加速度t ddddt質(zhì)量質(zhì)量 m轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量動量動量角動量角動量mrJd2JL vmP 力力力矩力矩FM沖量矩沖量矩0ttdM t沖量沖量0ttdF t.voompTR圓圓錐錐擺擺子子彈彈擊擊入入桿桿ov以子彈和桿為系統(tǒng)以子彈和桿為系統(tǒng)機(jī)械能機(jī)械能不不守恒守恒 .角動量守恒；角動量守恒；動量動量不不守恒；守恒；以子彈和沙袋為系統(tǒng)以子彈和沙袋為系統(tǒng)動量守恒；動量守恒；角動量守恒；角動量守恒；機(jī)械能機(jī)械能不

8、不守恒守恒 .圓錐擺系統(tǒng)圓錐擺系統(tǒng)動量動量不不守恒；守恒；角動量守恒；角動量守恒；機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 .vo子子彈彈擊擊入入沙沙袋袋細(xì)細(xì)繩繩質(zhì)質(zhì)量量不不計(jì)計(jì).例例1 1 一質(zhì)量為一質(zhì)量為M 半徑為半徑為R 的轉(zhuǎn)臺，以角速度的轉(zhuǎn)臺，以角速度 a 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動, ,轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)軸的摩擦不計(jì)。摩擦不計(jì)。1) 有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為m 的蜘蛛垂直地落在轉(zhuǎn)臺邊緣上，的蜘蛛垂直地落在轉(zhuǎn)臺邊緣上，求此時轉(zhuǎn)臺的角速度求此時轉(zhuǎn)臺的角速度 b ; ;2) 如果蜘蛛隨后慢慢地爬向轉(zhuǎn)臺中如果蜘蛛隨后慢慢地爬向轉(zhuǎn)臺中心，當(dāng)它離轉(zhuǎn)臺中心距離為心，當(dāng)它離轉(zhuǎn)臺中心距離為r 時時, ,轉(zhuǎn)臺的角速度轉(zhuǎn)臺的角速度 c c 為多少？為多少？

9、解解: :aabbamMMJJJmRJMRJ)JJ(J 22111002120100 ）aaCcamrMRMRJJJmrJMRJ)JJ(J 22220022202002212 ）aabbamMMJJJmRJMRJ)JJ(J 22111002120100 ）aabbamMMJJJmRJMRJ)JJ(J 22111002120100 ）aaccamrMRMRJJJmrJMRJ)JJ(J 22220022202002212 ）aaCcamrMRMRJJJmrJMRJ)JJ(J 22220022202002212 ）.例：例：2 2一質(zhì)量為一質(zhì)量為M長度為長度為L的均質(zhì)細(xì)桿可繞一水平軸自由轉(zhuǎn)動。的均質(zhì)

10、細(xì)桿可繞一水平軸自由轉(zhuǎn)動。開始時桿子處于鉛垂?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)有一質(zhì)量為開始時桿子處于鉛垂?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m的橡皮泥以速度的橡皮泥以速度v 和和桿子發(fā)生完全非彈性碰撞并且和桿子粘在一起。桿子發(fā)生完全非彈性碰撞并且和桿子粘在一起。試求試求: : （1）碰撞后系統(tǒng)的角速度碰撞后系統(tǒng)的角速度（2）碰撞后桿子能上擺的最大角度。）碰撞后桿子能上擺的最大角度。 ）LmML43v解：（解：（1)1)碰撞過程角動量守恒碰撞過程角動量守恒 )JJ(LmvMm 43243)L(mJm 231MLJM 223491163mvLmLML.）LmML43v（2)2)上擺過程機(jī)械能守恒，得：上擺過程機(jī)械能守恒，得：)cos1 (

11、2)cos1 (43)(212LMgLmgJJmM22max932cos 13191()()42163m varcmMmM gL注意：橡皮泥和桿子的零勢點(diǎn)注意：橡皮泥和桿子的零勢點(diǎn)取得不同。取得不同。.例例3 3 如圖如圖, ,質(zhì)量為質(zhì)量為m 的粘土塊從距的粘土塊從距勻質(zhì)圓盤勻質(zhì)圓盤h 處落下處落下,盤的質(zhì)量盤的質(zhì)量 M=2m, = 60, , 盤心為光滑軸。盤心為光滑軸。求求（1 1）碰撞后瞬間盤的碰撞后瞬間盤的 0 ；（；（2）P 轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到x 軸時盤的軸時盤的 ， 。解解：（：（1 1）m下落到下落到P 點(diǎn)前一瞬間有點(diǎn)前一瞬間有221mvmgh ghv2得 碰撞時間極短，對碰撞時間極短，對

12、m + +盤系統(tǒng)盤系統(tǒng)，沖力遠(yuǎn)大沖力遠(yuǎn)大于重力，故重力對于重力，故重力對o o 的力矩可忽略，角動的力矩可忽略，角動量守恒：量守恒：0 JcosmvR xyo hmM PR222221mRmRMRJ 022cos24ghghRR.xyo hmM PR（2 2）對對m + 盤盤+ 地球系統(tǒng)地球系統(tǒng)，只有重力做功，機(jī)械能守恒。，只有重力做功，機(jī)械能守恒。2022121 JJsinmgR 令令x 軸為零勢面軸為零勢面, ,則：則：221cossin(4 3 )222ghgghRRRR222MmgRgJmRR22mRJ .解：解：由角動量守恒由角動量守恒摩擦力矩作負(fù)摩擦力矩作負(fù)功，有機(jī)械能功，有機(jī)械能

13、損失。損失。例例4 4 兩摩擦輪對接。若對接前兩輪的角速度分別為兩摩擦輪對接。若對接前兩輪的角速度分別為 1、 2 ，求：求：1) 對接后共同的角速度對接后共同的角速度 ; ; 2) 對接過程中的機(jī)械能損失。對接過程中的機(jī)械能損失。)(212211JJJJ212211JJJJ)2121()(21222211221JJJJE)(2)(2122121JJJJJ2J112.例例5人和轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動慣量為人和轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動慣量為J0 ,啞鈴的質(zhì)量為啞鈴的質(zhì)量為m , 初始轉(zhuǎn)速為初始轉(zhuǎn)速為1 。求：雙臂收縮由求：雙臂收縮由r1變?yōu)樽優(yōu)閞2時的角速度及機(jī)械能增量。時的角速度及機(jī)械能增量。r2r1mmJ01 1解：

14、解：由角動量守恒由角動量守恒22201210)2()2(mrJmrJ12202102)2()2(mrJmrJ0) 122()2(21)2(21)2(21220210212102121022220mrJmrJmrJmrJmrJE非保守內(nèi)力作正功非保守內(nèi)力作正功 ，機(jī)械能增加。，機(jī)械能增加。.例例6一轉(zhuǎn)臺繞其中心的豎直軸以角速度一轉(zhuǎn)臺繞其中心的豎直軸以角速度0 =s-1 轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)臺對轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)臺對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸的轉(zhuǎn)動慣量為J0 = 4.010-3 kgm2 。今有沙粒以。今有沙粒以Q = 2t gs-1的的流量豎直落至轉(zhuǎn)臺，并粘附于臺面形成一圓環(huán)，若環(huán)的半徑為流量豎直落至轉(zhuǎn)臺，并粘附于臺面形成

15、一圓環(huán)，若環(huán)的半徑為r = 0.10m，求沙粒下落，求沙粒下落t = 10 s 時，轉(zhuǎn)臺的角速度。時，轉(zhuǎn)臺的角速度。解：解：在在0 t s內(nèi)落至臺面的沙粒質(zhì)量為：內(nèi)落至臺面的沙粒質(zhì)量為：沙粒下落對轉(zhuǎn)臺不產(chǎn)生力矩作用（沖擊力與軸平行）沙粒下落對轉(zhuǎn)臺不產(chǎn)生力矩作用（沖擊力與軸平行）, ,則則任意時刻系統(tǒng)角動量守恒：任意時刻系統(tǒng)角動量守恒：t = 10 s 時轉(zhuǎn)臺的角速度：時轉(zhuǎn)臺的角速度：32300d210 d10 kgttmQ tttt22320000()(10)JJmrJtr1001023200.81010tJsJr.例例7 7如圖所示，求系統(tǒng)中物體的加速度。設(shè)滑輪為質(zhì)量均勻分布的圓柱體，其質(zhì)量

16、為 M15kg，半徑為r 0.1m，在繩與輪邊緣的摩擦力作用下旋轉(zhuǎn), 忽略轉(zhuǎn)軸的摩擦，m1物體在光滑水平桌面上。兩物體的質(zhì)量分別為m1 50kg，m2 200kg 。1m2m1m2mamTgm222amT11解解：分別以滑輪為研究對象，受力圖如圖(b)所示對 運(yùn)用牛頓定律，有對滑輪運(yùn)用轉(zhuǎn)動定律，有)21(212MrrTrTra 聯(lián)立以上4個方程，得2212200 9.87.6m s155020022m gaMmm.022000cos3 cos21123dddd(2)dddd3 cos13ddsinsin2223sinsinlmggMJlmlttggllgl （）（）（）例例8 8長為l、質(zhì)量為

17、m的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止在與水平方向成0夾角的位置，求： 它由此下擺到與水平位置成角時的角加速度2.此時角速度與的關(guān)系。0解：解：.例例9如圖，一空心圓環(huán)可繞豎直軸如圖，一空心圓環(huán)可繞豎直軸OO 自由轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為自由轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為J0 ，環(huán)的半徑為，環(huán)的半徑為R，初始角速度為，初始角速度為0 ，今有一質(zhì)量為，今有一質(zhì)量為m的小的小球靜止在環(huán)內(nèi)球靜止在環(huán)內(nèi)A點(diǎn)，由于微小擾動使小球向下滑動。問小球到點(diǎn)，由于微小擾動使小球向下滑動。問小球到達(dá)達(dá)B、C點(diǎn)時，環(huán)的角速度與小球相對于環(huán)的速度各為多少？點(diǎn)時，環(huán)的角速度與小球相對于環(huán)的速度各為多少？（設(shè)環(huán)內(nèi)壁光滑）。（設(shè)環(huán)內(nèi)壁光滑）。 ORCBO A解：解：小球在小球在 A 、C 點(diǎn)對點(diǎn)對OO