雙線性變換法IIR數(shù)字濾波器設計

1、雙線性變換法IIR數(shù)字濾波器設計一、實驗目的1、掌握用雙線性變換法設計低通IIR數(shù)字濾波器的基本原理和算法。2、掌握用雙線性變換法設計高通和帶通IIR數(shù)字濾波器的基本原理和算法。3、進一步了解數(shù)字濾波器和模擬濾波器的頻率響應特性。二、實驗原理與計算方法、雙線性變換法設計IIR低通數(shù)字濾波器的基本原理和算法雙線性變換法設計數(shù)字濾波器，采用了二次映射的方法，就是先將整個s平面壓縮到s1平面的一個的橫形條帶范圍內(nèi)，然后再將這個條帶映射到z平面上，就能建立s平面到z平面的一一對應關系。對于低通數(shù)字濾波器，映射關系為 (1)其中T為抽樣周期。用雙線性變換法設計低通IIR數(shù)字濾波器的基本步驟，首先根據(jù)設計

2、要求確定相應的模擬濾波器的傳遞函數(shù)，再應用(1)式得數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) (2)通?？梢越o定的參數(shù)為：低通數(shù)字濾波器通帶邊界頻率、阻帶邊界頻率和對應的通帶衰減函數(shù)、阻帶衰減函數(shù)。s1平面中的模擬角頻率與數(shù)字角頻率的關系為線性關系，在計算模擬濾波器的階數(shù)N、極點si和傳遞函數(shù)之前，應作預畸變處理 (3)模擬濾波器的階數(shù)N、極點si和傳遞函數(shù)的計算方法與沖激響應不變法相同，可以采用Butterworth逼近或Chebyshev逼近。、雙線性變換法設計IIR高通、帶通、帶阻數(shù)字濾波器的基本原理和算法由于雙線性變換法獲得的數(shù)字濾波器頻率響應特性中不會出現(xiàn)混疊現(xiàn)象，因此可以適用于高通、帶通和帶阻濾波器的

3、設計。IIR數(shù)字濾波器的設計通常要借助于模擬低通濾波器的設計，由原型低通濾波器到其他形式（高通、帶通、帶阻）IIR數(shù)字濾波器的頻帶變換有模擬頻帶變換法和數(shù)字頻帶變換法。（1）模擬頻帶變換法首先將給定的對數(shù)字濾波器(DF)的技術要求轉換為一個低通模擬濾波器(AF)的技術要求，根據(jù)這種要求用某種逼近設計出原型的低通模擬濾波器(LP AF)，計算出模擬濾波器的階數(shù)N、極點si和傳遞函數(shù)，再按照雙線性變換的變換關系，將模擬濾波器的傳遞函數(shù)轉換為數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。表8-1中列出了將給定的對數(shù)字濾波器(DF)的技術要求直接轉換為對一個低通模擬濾波器(AF)的技術要求的頻率預畸變校正關系和轉換公式。表8

4、-1 雙線性變換和頻率預校正的計算公式變換類型變換關系頻率預校正備注低通變換其中，T為抽樣周期，f為模擬頻率中心頻率其中，分別為數(shù)字帶通濾波器通帶的上下邊界角頻率，或數(shù)字帶阻濾波器阻帶的上下邊界角頻率。高通變換帶通變換帶阻變換例：數(shù)字高通濾波器的設計首先將給定的數(shù)字高通濾波器的技術指標根據(jù)公式轉換為模擬低通濾波器的技術指標，利用cheb1ord(Wp,Ws,ap,as,'s')函數(shù)求出chebyshev模擬低通濾波器的階數(shù)N，再利用cheb1ap(N,ap)函數(shù)求出模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零極點，zp2tf(z,p,k)函數(shù)將零極點轉換為系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)；然后利用lp2hp由模擬低

5、通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)得到模擬帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，bilinear函數(shù)則用于實現(xiàn)雙線性變換法由模擬帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)計算數(shù)字數(shù)字帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。（2）數(shù)字頻帶變換法首先將給定的對數(shù)字濾波器(DF)的技術要求轉換為一個低通模擬濾波器(AF)的技術要求，用雙線性變換法將原型的低通模擬濾波器(LP AF)映射為低通數(shù)字濾波器，再將數(shù)字低通濾波器根據(jù)相應的變換公式經(jīng)頻帶變換到各型數(shù)字濾波器。例：數(shù)字高通濾波器的設計函數(shù)bhp,ahp=zmapping(blp,alp,Nz,Dz)用來實現(xiàn)從數(shù)字低通濾波器得到數(shù)字高通濾波器的有理函數(shù)。%數(shù)字濾波器技術指標>>wp=0.2*pi;ws=

6、0.3*pi;Rp=1;As=15;%對應的模擬濾波器技術指標>>T=1;Fs=1/T;Wp=(2/T)*tan(wp/2); =(2/T)*tan(ws/2);>>cs,cd=afd_chb1(Wp,Ws,Rp,As); %Chebyshev模擬濾波器>> blp,alp=bilinear(cs,cd,Fs) %雙線性變換>>wphp=0.6*pi; %數(shù)字高通濾波器截止頻率%低通高通頻帶變換>>alpha=-(cos(wplp+wphp)/2)/(cos(wplp+wphp)/2)>>Nz=-alpha,1;Dz=1,

7、alpha;>> bhp,ahp=zmapping(blp,alp,Nz,Dz) %數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)（3）IIR數(shù)字濾波器的設計可利用MATLAB提供的函數(shù)直接設計相應的數(shù)字濾波器。函數(shù)buttord和cheb1ord用來根據(jù)給定的技術指標求出濾波器的階數(shù)N和邊界頻率wn，butter和cheby1則根據(jù)階數(shù)和邊界頻率設計相應的數(shù)字濾波器。輸入的參數(shù)不同則所設計的濾波器類型不同。N,wn=buttord(wp,ws,Rp,As);N,wn=cheb1ord(wp,ws,Rp,As);b,a=butter(N,wn); b,a=cheby1(N,Rp,wp);三、實驗內(nèi)容

8、（1）Chebyshev IIR數(shù)字帶通濾波器滿足如下技術指標低阻帶邊界頻率，高阻帶邊界頻率，阻帶衰減函數(shù)低通帶邊界頻率，高通帶邊界頻率，通帶波動抽樣頻率,記錄所得的模擬濾波器的階數(shù)N，畫出模擬濾波器和數(shù)字濾波器的頻率響應的幅頻和相頻特性曲線。A. 實驗代碼：fs1=100;fs2=600;fp1=200;fp2=400;fsa=2000;As=18;Rp=2;T=1./fsa %對應的模擬濾波器技術指w1=2.*pi.*(fp1./fsa) %Chebyshev模擬濾波器w2=2.*pi.*(fp2./fsa) wp1=2*pi*fp1*T;wp2=2*pi*fp2*T ws2=2.*pi.

9、*(fs2./fsa) cosw0=(sin(w1+w2)./(sin(w2)+sin(w1) w0=acos(cosw0);bw=wp2-wp1 Wp=(cosw0-cos(w2)./sin(w2) Ws=(cosw0-cos(ws2)./sin(ws2) N,omgn=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,As,'s') %返回模擬低通濾波器階數(shù)N和邊界頻率z,p,k=cheb1ap(N,Rp) %得系統(tǒng)函數(shù)零極點blp,alp=zp2tf(z,p,k); %由零極點得系數(shù)bhp,ahp=lp2bp(blp,alp,w0,bw) %模擬低通到模擬帶通bdf,adf=bilin

10、ear(bhp,ahp,1) %雙線性變換將模擬帶通濾波器轉換成數(shù)字帶通濾波器BPA,wa=freqs(bhp,alp,fsa);BPD,wd=freqz(bdf,adf,fsa);subplot(2,2,1); plot(abs(BPA);title('模擬帶通濾波器幅頻特性')subplot(2,2,2);plot(angle(BPA);title('模擬帶通濾波器相頻特性')subplot(2,2,3);plot(abs(BPD);title('數(shù)字帶通濾波器幅頻特性')subplot(2,2,4);plot(angle(BPD);titl

11、e('數(shù)字帶通濾波器相頻特性')實驗截圖：（2）Chebyshev IIR數(shù)字帶阻濾波器滿足如下技術指標低阻帶邊界頻率，高阻帶邊界頻率，阻帶衰減函數(shù)低通帶邊界頻率，高通帶邊界頻率，通帶波動抽樣頻率,記錄所得的模擬濾波器的階數(shù)N，畫出模擬濾波器和數(shù)字濾波器的頻率響應的幅頻和相頻特性曲線。實驗代碼：fs1=1000;fs2=2000;fp1=500;fp2=3000;fsa=10000;As=18;Rp=2;T=1./fsa %對應的模擬濾波器技w1=2.*pi.*(fp1./fsa);%Chebyshev模擬濾波器w2=2.*pi.*(fp2./fsa)wp1=2*pi*fp1*

12、T;wp2=2*pi*fp2*Tws2=2.*pi.*(fs2./fsa)cosw0=(sin(w1+w2)./(sin(w2)+sin(w1)w0=acos(cosw0);bw=wp2-wp1Wp=(cosw0-cos(w2)./sin(w2)Ws=(cosw0-cos(ws2)./sin(ws2)N,omgn=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,As,'s') %返回模擬低通濾波器階數(shù)N和邊界頻率?nz,p,k=cheb1ap(N,Rp) %得系統(tǒng)函數(shù)零極點blp,alp=zp2tf(z,p,k) %由零極點得系數(shù)bhp,ahp=lp2bs(blp,alp,w0,bw) %模擬低通到模擬帶通bdf,adf=bilinear(bhp,ahp,1) %雙線性變換將模擬帶通濾波器轉換成數(shù)字帶通濾波器BPA,wa=freqs(bhp,alp,fsa)BPD,wd=freqz(bdf,adf,fsa)subplot(2,2,1);plot(abs(BPA);title('