壓桿穩(wěn)定性計算

1、第16章 壓桿穩(wěn)定16.1 壓桿穩(wěn)定性的概念在第二章中，曾討論過受壓桿件的強度問題，并且認(rèn)為只要壓桿滿足了強度條件，就能保證其正常工作。但是，實踐與理論證明，這個結(jié)論僅對短粗的壓桿才是正確的，對細(xì)長壓桿不能應(yīng)用上述結(jié)論，因為細(xì)長壓桿喪失工作能力的原因，不是因為強度不夠，而是由于出現(xiàn)了與強度問題截然不同的另一種破壞形式，這就是本章將要討論的壓桿穩(wěn)定性問題。當(dāng)短粗桿受壓時(圖16-1a)，在壓力F由小逐漸增大的過程中，桿件始終保持原有的直線平衡形式，直到壓力F達(dá)到屈服強度載荷Fs (或抗壓強度載荷Fb)，桿件發(fā)生強度破壞時為止。但是，如果用相同的材料，做一根與圖16-1a所示的同樣粗細(xì)而比較長的桿

2、件(圖16-1b)，當(dāng)壓力F比較小時，這一較長的桿件尚能保持直線的平衡形式，而當(dāng)壓力F逐漸增大至某數(shù)值F1時，桿件將突然變彎，不再保持原有的直線平衡形式，因而喪失了承載能力。我們把受壓直桿突然變彎的現(xiàn)象，稱為喪失穩(wěn)定或失穩(wěn)。此時，F(xiàn)1可能遠(yuǎn)小于Fs (或Fb)?？梢?，細(xì)長桿在尚未產(chǎn)生強度破壞時，就因失穩(wěn)而破壞。圖161失穩(wěn)現(xiàn)象并不限于壓桿，例如狹長的矩形截面梁，在橫向載荷作用下，會出現(xiàn)側(cè)向彎曲和繞軸線的扭轉(zhuǎn)(圖16-2)；受外壓作用的圓柱形薄殼，當(dāng)外壓過大時，其形狀可能突然變成橢圓(圖16-3)；圓環(huán)形拱受徑向均布壓力時，也可能產(chǎn)生失穩(wěn)(圖16-4)。本章中，我們只研究受壓桿件的穩(wěn)定性。圖16

3、-3所謂的穩(wěn)定性是指桿件保持原有直線平衡形式的能力。實際上它是指平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。我們借助于剛性小球處于三種平衡狀態(tài)的情況來形象地加以說明。第一種狀態(tài)，小球在凹面內(nèi)的O點處于平衡狀態(tài)，如圖16-5a所示。先用外加干擾力使其偏離原有的平衡位置，然后再把干擾力去掉，小球能回到原來的平衡位置。因此，小球原有的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定平衡。第二種狀態(tài)，小球在凸面上的O點處于平衡狀態(tài)，如圖16-5c所示。當(dāng)用外加干擾力使其偏離原有的平衡位置后，小球?qū)⒗^續(xù)下滾，不再回到原來的平衡位置。因此，小球原有的干衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡。第三種狀態(tài)，小球在平面上的O點處于平衡狀態(tài)，如圖16-5b所示，當(dāng)用外加干擾力使其偏離原有的平

4、衡位置后，把干擾力去掉后，小球?qū)⒃谛碌奈恢肙1再次處于平衡，既沒有恢復(fù)原位的趨勢，也沒有繼續(xù)偏離的趨勢。因此。我們稱小球原有的平衡狀態(tài)為隨遇平衡。圖16-5圖16-6通過上述分析可以認(rèn)識到，為了判別原有平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，必須使研究對象偏離其原有的平衡位置。因此。在研究壓桿穩(wěn)定時，我們也用一微小橫向干擾力使處于直線平衡狀態(tài)的壓桿偏離原有的位置，如圖16-6a所示。當(dāng)軸向壓力F由小變大的過程中，可以觀察到：1)當(dāng)壓力值F1較小時，給其一橫向干擾力，桿件偏離原來的平衡位置。若去掉橫向干擾力后，壓桿將在直線平衡位置左右擺動，最終將恢復(fù)到原來的直線平衡位置，如圖16-6b所示。所以，該桿原有直線平衡狀態(tài)

5、是穩(wěn)定平衡。2)當(dāng)壓力值F2超過其一限度Fcr時，平衡狀態(tài)的性質(zhì)發(fā)生了質(zhì)變。這時，只要有一輕微的橫向干擾，壓桿就會繼續(xù)彎曲，不再恢復(fù)原狀，如圖16-6d所示。因此，該桿原有直線平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡。 3)界于前二者之間，存在著一種臨界狀態(tài)。當(dāng)壓力值正好等于Fcr時，一旦去掉橫向干擾力，壓桿將在微彎狀態(tài)下達(dá)到新的平衡，既不恢復(fù)原狀，也不再繼續(xù)彎曲，如圖16-6c所示。因此，該桿原有直線平衡狀態(tài)是隨遇平衡，該狀態(tài)又稱為臨界狀態(tài)。臨界狀態(tài)是桿件從穩(wěn)定平衡向不穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)化的極限狀態(tài)。壓桿處于臨界狀態(tài)時的軸向壓力稱為臨界力或臨界載荷，用Fcr表示。由上述可知，壓桿的原有直線平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定，與所受軸向壓

6、力大小有關(guān)。當(dāng)軸向壓力達(dá)到臨界力時，壓桿即向失穩(wěn)過渡。所以，對于壓桿穩(wěn)定性的研究，關(guān)鍵在于確定壓桿的臨界力。16.2 兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界力圖16-7a為一兩端為球形鉸支的細(xì)長壓桿，現(xiàn)推導(dǎo)其臨界力公式。圖16-7根據(jù)前節(jié)的討論，軸向壓力到達(dá)臨界力時，壓桿的直線平衡狀態(tài)將由穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定。在微小橫向干擾力解除后，它將在微彎狀態(tài)下保持平衡。因此，可以認(rèn)為能夠保持壓桿在微彎狀態(tài)下平衡的最小軸向壓力，即為臨界力。選取坐標(biāo)系如圖l6-7a所示，假想沿任意截面將壓桿截開，保留部分如圖16-7b所示。由保留部分的平衡得 (a)在式(a)中，軸向壓力Fcr取絕對值。這樣，在圖示的坐標(biāo)系中彎矩與撓度的符號總

7、相反，故式(a)中加了一個負(fù)號。當(dāng)桿內(nèi)應(yīng)力不超過材料比例極限時，根據(jù)撓曲線近似微分方程有 (b)由于兩端是球鉸支座，它對端截面在任何方向的轉(zhuǎn)角都沒有限制。因而，桿件的微小彎曲變形一定發(fā)生于抗彎能力最弱的縱向平面內(nèi)，所以上式中的I應(yīng)該是橫截面的最小慣性矩。令 (c)式（b）可改寫為 (d)此微分方程的通解為 (e)式中、為積分常數(shù)。由壓桿兩端鉸支這一邊界條件， (f)， (g)將式(f)代入式(e)，得，于是 (h)式(g)代入式(h)，有 (i)在式(i)中，積分常數(shù)不能等于零，否則將使有，這意味著壓桿處于直線平衡狀態(tài)，與事先假設(shè)壓桿處于微彎狀態(tài)相矛盾，所以只能有 (j)由式(j)解得 (k)

8、則或 (l)因為n可取0，1，2，中任一個整數(shù)，所以式(1)表明，使壓桿保持曲線形態(tài)平衡的壓力，在理論上是多值的。而這些壓力中，使壓桿保持微小彎曲的最小壓力，才是臨界力。取n=0，沒有意義，只能取n=1。于是得兩端鉸支細(xì)長壓桿臨界力公式 (16-1)式(16-1)又稱為歐拉公式。在此臨界力作用下，則式(h)可寫成 (m)可見，兩端鉸支細(xì)長壓桿在臨界力作用下處于微彎狀態(tài)時的撓曲線是條半波正弦曲線。將代入式(m)，可得壓桿跨長中點處撓度，即壓桿的最大撓度是任意微小位移值。之所以沒有一個確定值，是因為式(b)中采用了撓曲線的近似微分方程式。如果采用撓曲線的精確微分方程式，那么值便可以確定。這時可得到

9、最大撓度與壓力F之間的理論關(guān)系，如圖16-8的OAB曲線。此曲線表明，當(dāng)壓力小于臨界力時, F與之間的關(guān)系是直線OA，說明壓桿一直保持直線平衡狀態(tài)。當(dāng)壓力超過臨界力時，壓桿撓度急劇增加。vmax圖 16-8在以上討論中，假設(shè)壓桿軸線是理想直線，壓力F是軸向壓力，壓桿材料均勻連續(xù)。這是一種理想情況，稱為理想壓桿。但工程實際中的壓桿并非如此。壓桿的軸線難以避免有一些初彎曲，壓力也無法保證沒有偏心，材料也經(jīng)常有不均勻或存在缺陷的情況。實際壓桿的這些與理想壓桿不符的因素，就相當(dāng)于作用在桿件上的壓力有一個微小的偏心距e。試驗結(jié)果表明，實際壓桿的F與的關(guān)系如圖16-8中的曲線OD表示，偏心距愈小，曲線OD

10、愈靠近OAB。16.3 不同桿端約束細(xì)長壓桿的臨界力壓桿臨界力公式(16-1)是在兩端鉸支的情況下推導(dǎo)出來的。由推導(dǎo)過程可知，臨界力與約束有關(guān)。約束條件不同，壓桿的臨界力也不相同，即桿端的約束對臨界力有影響。但是，不論桿端具有怎樣的約束條件，都可以仿照兩端鉸支臨界力的推導(dǎo)方法求得其相應(yīng)的臨界力計算公式，這里不詳細(xì)討論，僅用類比的方法導(dǎo)出幾種常見約束條件下壓桿的臨界力計算公式。16.3.1 一端固定另一端自由細(xì)長壓桿的臨界力圖16-9為端固定另一端自由的壓桿。當(dāng)壓桿處于臨界狀態(tài)時，它在曲線形式下保持平衡。將撓曲線AB對稱于固定端A向下延長，如圖中假想線所示。延長后撓曲線是一條半波正弦曲線，與本章

11、第二節(jié)中兩端鉸支細(xì)長壓桿的撓曲線一樣。所以，對于端固定另一端自由且長為的壓桿，其臨界力等于兩端鉸支長為的壓桿的臨界力，即圖16-9 圖16-10 圖16-1116.3.2兩端固定細(xì)長壓桿的臨界力在這種桿端約束條件下，撓曲線如圖16-10所示。該曲線的兩個拐點C和D分別在距上、下端為處。居于中間的長度內(nèi)，撓曲續(xù)是半波正弦曲線。所以，對于兩端固定且長為的壓桿，其臨界力等于兩端鉸支長為的壓桿的臨界力，即16.3.3 一端固定另一端鉸支細(xì)長壓桿的臨界力在這種桿端約束條件下，撓曲線形狀如圖16-11所示。在距鉸支端B為處，該曲線有一個拐點C。因此，在長度內(nèi)，撓曲線是一條半波正弦曲線。所以，對于一端固定另

12、一端鉸支且長為的壓桿，其臨界力等于兩端鉸支長為的壓桿的臨界力，即綜上所述，只要引入相當(dāng)長度的概念，將壓桿的實際長度轉(zhuǎn)化為相當(dāng)長度，便可將任何桿端約束條件的臨界力統(tǒng)一寫 (16-2)稱為歐拉公式的一般形式。由式(16-2)可見，桿端約束對臨界力的影響表現(xiàn)在系數(shù)上。稱為長度系數(shù)，為壓桿的相當(dāng)長度，表示把長為的壓桿折算成兩端鉸支壓桿后的長度。幾種常見約束情況下的長度系數(shù)列入表16-1中。表 16-1 壓桿的長度系數(shù)壓桿的約束條件長度系數(shù)兩端鉸支一端固定，另一端自由兩端固定一端固定，另一端鉸支=1=2=1/20.7表16-1中所列的只是幾種典型情況，實際問題中壓桿的約束情況可能更復(fù)雜，對于這些復(fù)雜約束

13、的長度系數(shù)可以從有關(guān)設(shè)計手冊中查得。16.4 歐拉公式的適用范圍 經(jīng)驗公式16.4.1 臨界應(yīng)力和柔度將式(16-2)的兩端同時除以壓桿橫截面面積A，得到的應(yīng)力稱為壓桿的臨界應(yīng)力， (a)引入截面的慣性半徑 (16-3)將上式代入式(a)，得若令 (16-4)則有 (16-5)式(16-5)就是計算壓桿臨界應(yīng)力的公式，是歐拉公式的另一表達(dá)形式。式中，稱為壓桿的柔度或長細(xì)比，它集中反映了壓桿的長度、約束條件、截面尺寸和形狀等因素對臨界應(yīng)力的影響。從式(16-5)可以看出，壓桿的臨界應(yīng)力與柔度的平方成反比，柔度越大，則壓桿的臨界應(yīng)力越低，壓桿越容易失穩(wěn)。因此，在壓桿穩(wěn)定問題中，柔度是一個很重要的參

14、數(shù)。16.4.2 歐拉公式的適用范圍在推導(dǎo)歐拉公式時，曾使用了彎曲時撓曲線近似微分方程式，而這個方程是建立在材料服從虎克定律基礎(chǔ)上的。試驗已證實，當(dāng)臨界應(yīng)力不超過材樹比例極限時，由歐拉公式得到的理論曲線與試驗曲線十分相符，而當(dāng)臨界應(yīng)力超過時，兩條曲線隨著柔度減小相差得越來越大(如圖16-12所示)。這說明歐拉公式只有在臨界應(yīng)力不超過材料比例極限時才適用，即圖16-12或 (b)若用表示對應(yīng)于臨界應(yīng)力等于比例極限時的柔度值，則 （16-6）僅與壓桿材料的彈性模量E和比例極限有關(guān)。例如，對于常用的Q235鋼，E200GPa，200MPa，代入式(16-6)，得從以上分析可以看出：當(dāng)時，這時才能應(yīng)用

15、歐拉公式來計算壓桿的臨界力或臨界應(yīng)力。滿足的壓桿稱為細(xì)長桿或大柔度桿。16.4.3 中柔度壓桿的臨界應(yīng)力公式在工程中常用的壓桿，其柔度往往小于。實驗結(jié)果表明，這種壓桿喪失承載能力的原因仍然是失穩(wěn)。但此時臨界應(yīng)力已大于材料的比例極限，歐拉公式已不適用，這是超過材料比例極限壓桿的穩(wěn)定問題。對于這類失穩(wěn)問題，曾進(jìn)行過許多理論和實驗研究工作，得出理論分析的結(jié)果。但工程中對這類壓桿的技算，一般使用以試驗結(jié)果為依據(jù)的經(jīng)驗公式。在這里我們介紹兩種經(jīng)常使用的經(jīng)驗公式：直線公式和拋物線公式。1. 直線公式 把臨界應(yīng)力與壓桿的柔度表示成如下的線性關(guān)系。 (16-7)式中a、b是與材料性質(zhì)有關(guān)的系數(shù),可以查相關(guān)手冊

16、得到。由式(16-7)可見，臨界應(yīng)力隨著柔度的減小而增大。必須指出，直線公式雖然是以的壓桿建立的，但絕不能認(rèn)為凡是的壓桿都可以應(yīng)用直線公式。因為當(dāng)值很小時，按直線公式求得的臨界應(yīng)力較高，可能早已超過了材料的屈服強度或抗壓強度，這是桿件強度條件所不允許的。因此，只有在臨界應(yīng)力 不超過屈服強度 (或抗壓強度)時，直線公式才能適用。若以塑性材料為例，它的應(yīng)用條件可表示為或若用表示對應(yīng)于時的柔度值，則 (16-8)這里，柔度值是直線公式成立時壓桿柔度的最小值，它僅與材料有關(guān)。對Q235鋼來說，MPa，=304MPa，。將這些數(shù)值代入式(16-8)，得當(dāng)壓桿的柔度值滿足條件時，臨界應(yīng)力用直線公式計算，這

17、樣的壓桿被稱為中柔度桿或中長桿。2. 拋物線公式把臨界應(yīng)力與柔度的關(guān)系表示為如下形式 (16-9)式中是材料的屈服強度，是與材料性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)，是歐拉公式與拋物線公式適用范圍的分界柔度，對低碳鋼和低錳鋼 (16-10)16.4.4 小柔度壓桿當(dāng)壓桿的柔度滿足條件時，這樣的壓桿稱為小柔度桿或短粗桿。實驗證明，小柔度桿主要是由于應(yīng)力達(dá)到材料的屈服強度(或抗壓強度)而發(fā)生破壞，破壞時很難觀察到失穩(wěn)現(xiàn)象。這說明小柔度桿是由于強度不足而引起破壞的，應(yīng)當(dāng)以材料的屈服強度或抗壓強度作為極限應(yīng)力，這屬于第二章所研究的受壓直桿的強度計算問題。若形式上也作為穩(wěn)定問題來考慮，則可將材料的屈服強度 (或抗壓強度)看作

18、臨界應(yīng)力，即（或）16.4.5 臨界應(yīng)力總圖綜上所述，壓桿的臨界應(yīng)力隨著壓桿柔度變化情況可用圖16-13的曲線表示，該曲線是采用直線公式的臨界應(yīng)力總圖，總圖說明如下：圖16-131)當(dāng)時，是細(xì)長桿，存在材料比例極限內(nèi)的穩(wěn)定性問題，臨界應(yīng)力用歐拉公式計算。2)當(dāng)（或）<時，是中長桿，存在超過比例極限的穩(wěn)定問題，臨界應(yīng)力用直線公式計算。3)當(dāng)（或）時，是短粗桿，不存在穩(wěn)定性問題，只有強度問題，臨界應(yīng)力就是屈服強度或抗壓強度。由圖16-13還可以看到，隨著柔度的增大，壓桿的破壞性質(zhì)由強度破壞逐漸向失穩(wěn)破壞轉(zhuǎn)化。由式(16-5)和式(16-9)，可以繪出采用拋物線公式時的臨界應(yīng)力總圖，如圖16-

19、14所示。圖16-1416.5 壓桿穩(wěn)定性計算從上節(jié)可知，對于不同柔度的壓桿總可以計算出它的臨界應(yīng)力，將臨界應(yīng)力乘以壓桿橫截面面積，就得到臨界力。值得注意的是，因為臨界力是由壓桿整體變形決定的，局部削弱(如開孔、槽等)對桿件整體變形影響很小，所以計算臨界應(yīng)力或臨界力時可采用未削弱前的橫截面面積A和慣性矩I。壓桿的臨界力與壓桿實際承受的軸向壓力F之比值，為壓桿的工作安全系數(shù)n，它應(yīng)該不小于規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)nst 。因此壓桿的穩(wěn)定性條件為 (16-11)由穩(wěn)定性條件便可對壓桿穩(wěn)定性進(jìn)行計算，在工程中主要是穩(wěn)定性校核。通常,nst規(guī)定得比強度安全系數(shù)高，原因是一些難以避免的因素(例如壓桿的初彎曲、

20、材料不均勻、壓力偏心以及支座缺陷等)對壓桿穩(wěn)定性影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過對強度的影響。式(16-11)是用安全系數(shù)形式表示的穩(wěn)定性條件，在工程中還可以用應(yīng)力形式表示穩(wěn)定性條件 (a)其中 (b)式中為穩(wěn)定許用應(yīng)力。由于臨界應(yīng)力隨壓桿的柔度而變，而且對不同柔度的壓桿又規(guī)定不同的穩(wěn)定安全系數(shù)nst ，所以，是柔度的函數(shù)。在某些結(jié)構(gòu)設(shè)計中，常常把材料的強度許用應(yīng)力乘以一個小于1的系數(shù)作為穩(wěn)定許用應(yīng)力，即 (c)式中稱為折減系數(shù)。因為是柔度的函數(shù)，所以也是的函數(shù)，且總有。幾種常用材料壓桿的折減系數(shù)列于表16-3中，引入折減系數(shù)后，式(a)可寫為 (16-12)例16-1 圖16-15為用20a工字鋼制成的壓桿，材

21、料為Q235鋼，E=200Mpa，=200MPa，壓桿長度=5m，F(xiàn)=200kN 。若nst=2，試校核壓桿的穩(wěn)定性。圖16-15解(1)計算由附錄中的型鋼表查得，A=35.5cm2。壓桿在i最小的縱向平面內(nèi)抗彎剛度最小，柔度最大，臨界應(yīng)力將最小。因而壓桿失穩(wěn)一定發(fā)生在壓桿的縱向平面內(nèi)(2)計算臨界應(yīng)力，校核穩(wěn)定性因為，此壓桿屬細(xì)長桿，要用歐拉公式來計算臨界應(yīng)力所以此壓桿穩(wěn)定。例16-2 如圖16-16所示連桿，材料為Q235鋼，其E=200MPa，=200MPa，承受軸向壓力F=110kN。若nst=3，試校核連桿的穩(wěn)定性。圖16-16解 根據(jù)圖16-16中連桿端部約束情況，在xy縱向平面內(nèi)

22、可視為兩端鉸支；在xz平面內(nèi)可視為兩端固定約束。又因壓桿為矩形截面，所以。根據(jù)上面的分析，首先應(yīng)分別算出桿件在兩個平面內(nèi)的柔度，以判斷此桿將在哪個平面內(nèi)失穩(wěn)，然后再根據(jù)柔度值選用相應(yīng)的公式來計算臨界力。(1) 計算在xy縱向平面內(nèi)，z軸為中性軸在xz縱向平面內(nèi)，y軸為中性軸，。連桿若失穩(wěn)必發(fā)生在xz縱向平面內(nèi)。(2) 計算臨界力，校核穩(wěn)定性,該連桿不屬細(xì)長桿，不能用歐拉公式計算其臨界力。這里采用直線公式，查表16-2，Q235鋼的,，屬中等桿，因此該連桿穩(wěn)定。例16-3 螺旋千斤頂如圖16-17所示。起重絲杠內(nèi)徑，最大長度。材料為Q235鋼，E=200GPa，千斤頂起重量F =100kN。若n

23、st3.5，試校核絲杠的穩(wěn)定性。圖16-17解(1) 計算絲杠可簡化為下端固定，上端自由的壓桿(2)計算，校核穩(wěn)定性，采用拋物線公式計算臨界應(yīng)力千斤頂?shù)慕z杠穩(wěn)定。例16-4 某液壓缸活塞桿承受軸向壓力作用。已知活塞直徑，油壓。活塞桿長度，兩端視為鉸支，材料為碳鋼，E=210GPa。取，試設(shè)計活塞直徑。解(1) 計算活塞桿承受的軸向壓力活塞桿工作時不失穩(wěn)所應(yīng)具有的臨界力值為(2) 設(shè)計活塞桿直徑因為直徑未知，無法求出活塞桿的柔度，不能判定用怎樣的公式計算臨界力。為此，在計算時可先按歐拉公式計算活塞桿直徑，然后再檢查是否滿足歐拉公式的條件可取，然后檢查是否滿足歐拉公式的條件由于，所以用歐拉公式計算

24、是正確的。例16-5 簡易吊車搖臂如圖16-18所示，兩端鉸接的AB桿由鋼管制成，材料為Q235鋼，其強度許用應(yīng)力，試校核AB桿的穩(wěn)定性。圖16-18解(1) 求AB桿所受軸向壓力，由平衡方程，得(2) 計算(3) 校核穩(wěn)定性據(jù)，查表16-3得折減系數(shù),穩(wěn)定許用應(yīng)力AB桿工作應(yīng)力,所以AB桿穩(wěn)定。例166 由壓桿撓曲線的微分方程，導(dǎo)出一端固定，另一端鉸支壓桿的歐拉公式。解一端固定、另一端鉸支的壓桿失穩(wěn)后，計算簡圖如圖16-19所示。為使桿件平衡，上端鉸支座應(yīng)有橫向反力。于是撓曲線的微分方程為Fcr圖1619設(shè)，則上式可寫為以上微分方程的通解為由此求出v的一階導(dǎo)數(shù)為壓桿的邊界條件為時， 時， 把以上邊界條件代入及中，可得這是關(guān)于,和的齊次線性方程組。因為,和不能都為零，所以其系數(shù)行列式應(yīng)等于零，即展開得上式超越方程可用圖解法求解。以為橫坐標(biāo)，作直線和曲線（圖1620），其第一個交點得橫坐標(biāo)4.49顯然是滿足超越方程得最小根。由此求得圖