數(shù)學研究性學習報告

1、爭辯性學習報告 探究勾股定理一、 什么是勾股定理。在我國古代，把直角三角形叫做勾股形。如圖： 圖1 圖 2如圖1，我國古代一般都把直角三角形中，短的一條直角邊叫做“勾”，長的一條直角邊叫做“股”，斜邊叫做“弦”。所以，我國古代把直角邊與斜邊關系所形成的定理，叫做勾股定理（a2+b2=c2）圖（2）中的直角三角形ABC中，設 勾AB=3，股BC=4，弦AC=5。依據(jù)勾股定理，三條邊的關系為：3242=52所以假如把一個直角三角形的兩條直角邊分別記為a、b，把斜邊記為c，那么它們之間的關系式是：a2+b2=c2即在任何一個直角三角形中，兩條直角邊的平方之和肯定等于斜邊的平方。 這就是我國最古老的數(shù)

2、學書籍周髀算經（約成書于公元前一世紀左右）一開頭就指出的：“勾三、股四、弦五”。這是直角三角形的三條邊長都是整數(shù)時的例證。古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯也證明白這個定理。所以在國外，常把這個定理稱為畢達哥拉斯定理。勾股定理在中國又稱為"商高定理"，在外國稱為"畢達哥拉斯定理"。為什么一個定理有這么多名稱呢？商高是公元前十一世紀的中國人。當時中國的朝代是西周，是奴隸社會時期。在中國古代大約是戰(zhàn)國時期西漢的數(shù)學著作周髀算經中記錄著商高同周公的一段對話。商高說："故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。"什么是"勾、股"呢？在中國古代，

3、人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為"勾"，由于勾股定理的內容最早見于商高的話中，所以人們就把這個定理叫作"商高定理"。畢達哥拉斯是古希臘數(shù)學家，他是公元前五世紀的人，比商高晚誕生五百多年。希臘另一位數(shù)學家歐幾里德（Euclid，是公元前三百年左右）在編著幾何原本時，認為這個定理是畢達哥達斯最早發(fā)覺的，所以他就把這個定理稱為"畢達哥拉斯定理"，以后就流傳開了。 勾股定理的應用格外廣泛。我國戰(zhàn)國時期另一部古籍路史后記十二注中就有這樣的記載："禹治洪水決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，使注東海，無漫溺之患，此勾股之所

4、系生也。"這段話的意思是說：大禹為了治理洪水，使不決流江河，依據(jù)地勢凹凸，打算水流走向，因勢利導，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的災難，是應用勾股定理的結果。 二、勾股定理的驗證。1. 我國歷代數(shù)學家關于勾股定理的論證。我國歷代數(shù)學家關于勾股定理的論證方法有多種，為勾股定理作的圖注也不少，其中較早的是趙爽（即趙君卿）在他附于周髀算經之中的論文勾股圓方圖注中的證明。接受的是割補法： 將四個直角三角形涂上朱色，把中間小正方形涂上黃色，叫做中黃實，以弦為邊的正方形稱為弦實，然后經過拼補搭配，“令出入相補，各從其類”，他確定了勾股弦三者的關系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之為弦實，開方

5、除之，即弦也”。 趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數(shù)學家超群的證題思想，較為簡明、直觀。 2.利用現(xiàn)在的方法也能證明勾股定理。 如圖(3)：延長CB到H,使CH=AB, 以C為頂點，CH為一邊，作GCH=CAB,且使CG=AC,以AC,CG為兩邊， 過G做GDAC, 過A做ADCG，再過D點作DEAB于E, 過G做GFDE與FGCH=CAB，ABC=90CAB+ACB=90GCHACB=90既：ACG=90又GDAC，ADCG，且CG=AC四邊形ACGD為正方形.AC=CG=GD=AD, ACG=CGD=ADG= CAD. DEAB，B=90,DECH,CHGF于HHGC+HCG=90ACB+

6、HCG=90HGC=ACB.可得：ABCCHG同理可證得：ABCCHGGFDDEACH=GF=DE=AB, DF=AE=BC=GHEF=FH=HB=EB四邊形EFHB為菱形又GFDE四邊形EFHB為正方形設CH=GF=DE=AB=a, DF=AE=BC=GH=b, AC=CG=GD=AD=cS正方形EFHB =(ab)2=S正方形ACGD4•SACB =c22ab整理：a22ab+b2=c22aba2+b2=c2既AB2+BC2=AC2 三、 名人與勾股定理。畢達哥拉斯在古希臘早期的數(shù)學家中，畢達哥拉斯的影響是最大的。他那傳奇般的一生給后代留下了眾多奇特的傳奇。畢達哥拉斯生

7、于薩摩斯(今希臘東部小島)，卒于他林敦(今意大利南部塔蘭托)。他既是哲學家、數(shù)學家，又是天文學家。他在年輕時，依據(jù)當時富家子弟的慣例，他曾到巴比倫和埃及去游學，因而直接受到東方文明的熏陶?；貒?，畢達哥拉斯創(chuàng)建了政治、宗教、數(shù)學合一的隱秘學術團體，這個團體被后人稱為畢達哥拉斯學派。這個學派的活動都是隱秘的，掩蓋著一種不行思議的奇特氣氛。據(jù)說，每個新入學的同學都得宣誓嚴守隱秘，并終身只加入這一學派。該學派還有一種習慣，就是將一切創(chuàng)造都歸之于學派的領袖，而且秘而不宣，以致后人不知是何人在何時所創(chuàng)造的。畢達哥拉斯定理(即勾股定理)是畢達哥拉斯的另一貢獻，他的一個同學希帕索斯通過勾股定理發(fā)覺了無理數(shù)，

8、雖然這一發(fā)覺打破了畢達哥拉斯宇宙萬物皆為整數(shù)與整數(shù)之比的信條，并導致希帕索斯凄慘地死去，但該定理對數(shù)學的進展起到了巨大的促進作用。此外，畢達哥拉斯在音樂、天文、哲學方面也做出了肯定貢獻，首創(chuàng)地圓說，認為日、月、五星都是球體，浮懸在太空之中。小故事: 西方的勾股定理之父畢達哥拉斯畢達哥拉斯有次應邀參與一位富有政要的餐會，這位仆人豪華宮殿般的餐廳鋪著是正方形秀麗的大理石地磚，由于大餐遲遲不上桌，這些饑腸轆轆的貴賓頗有怨言；但這位擅長觀看和理解的數(shù)學家卻凝視腳下這些排列規(guī)章、秀麗的方形磁磚，但畢達哥拉斯不只是觀賞磁磚的秀麗，而是想到它們和數(shù)之間的關系，于是 拿了畫筆并且蹲在地板上，選了一塊磁磚以它的

9、對角線 AB為邊畫一個正方形，他發(fā)覺這個正方形面積恰好等于兩塊磁磚的面積和。他很古怪，于是再以兩塊磁磚拼成的矩形之對角線作另一個正方形，他發(fā)覺這個正方形之面積等于5塊磁磚的面積，也就是以兩股為邊作正方形面積之和。至此畢達哥拉斯作了大膽的假設： 任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等于另兩邊平方之和。那一頓飯，這位古希臘數(shù)學大師，視線都始終沒有離開地面。趙爽與勾股圓方圖中國古代的數(shù)學家們不僅很早就發(fā)覺并應用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數(shù)學家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結合得到方法，給出了勾股定理的具體證明。在這幅“勾股圓方圖

10、”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2.則可得4×（ab/2）+（b-a）2=c2 化簡后便可得： a2+b2=c2 即c= a2+b2 趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結合、互不行分的獨特風格樹立了一個典范。以后的數(shù)學家大多繼承了這一風格并且代有進展。例如稍后一點的劉徽在證明勾股定理時也是用的以形證數(shù)的方法，只是具體圖形的分合移補略有不同而已。中國古代數(shù)學家們對于勾股定理的發(fā)覺和證明，在世界數(shù)學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體