正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)-

1、§7. 2 正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)一、簡(jiǎn)介對(duì)于正態(tài)總體,其參數(shù)無(wú)非是兩個(gè):均值(期望µ和方差,如果加上兩總體的參數(shù)比較,概括起來(lái),對(duì)參數(shù)的假設(shè)一般只有如下四種情形:2(對(duì)µ,(對(duì),(對(duì)221µµ,(對(duì). 2221/檢驗(yàn)的類別和方法:關(guān)于均值的檢驗(yàn) (方差未知檢驗(yàn)法方差已知檢驗(yàn)法t u 關(guān)于方差的檢驗(yàn)(2兩個(gè)正態(tài)總體檢驗(yàn)法一個(gè)正態(tài)總體檢驗(yàn)法F 下面我們將分別予以討論。 二、正態(tài)總體均值µ 的檢驗(yàn)(一 u 檢驗(yàn)u 檢驗(yàn)適應(yīng)在方差已知的情況下,對(duì)均值的檢驗(yàn)(一個(gè)總體或兩個(gè)總體。 1. 一個(gè)正態(tài)總體情形設(shè)總體,樣本來(lái)自總體X , 已知.

2、 ,(2µN X ,(21n X X X 21° 提出假設(shè): H 0:; H 0µµ=1: 0µµ2° 取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量: n X U µ0=,在H 0成立的條件下,(0,10N nX U µ=3° 給定顯著性水平 05.00(<,=u U P由21( =u .:,22u u x x n 2u 2u 4° U由樣本值計(jì)算的觀察值5°作判斷:若 H 0;否則,.0u ,則拒絕W u 0,若W u 0 則接受H . 0例 7.4 某工廠生產(chǎn)的銅絲的折斷力(單位:N 服從正態(tài)分布

3、N (µ, 82. 某日抽取10根銅絲, 若已認(rèn)為該日生產(chǎn)的銅絲合格(=0.10?解 1° 假設(shè): H 0:進(jìn)行折斷力試驗(yàn), 測(cè)得結(jié)果如下:578, 572, 570, 568, 572, 570, 572, 596, 584, 570知µ=576, 問(wèn)是否可以576=µ H 1:576µ 108576=X U2° 取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量: (0,1108576N X U =5762.5750<=u 50作判斷,因?yàn)閃 u 0 所以接受H ,即在顯著水平=0.10下,可認(rèn)為該日生產(chǎn)的銅絲合格。0例 7.5 微波爐在爐門(mén)關(guān)閉時(shí)的輻射量是一個(gè)

4、重要的質(zhì)量指標(biāo),某廠該指標(biāo)服從正態(tài)分布N (µ, 2. 長(zhǎng)期以來(lái)1.0=,且均值都符合要求不超過(guò)0.12. 為檢查近期產(chǎn)品的質(zhì)量,抽查了25臺(tái),µ解 1° 假設(shè): H 0:12.0µ 12.0> 此問(wèn)題屬于單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題. 已知1.0=, H 1: n =25.2° 取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量: 251.0µ=X U(0,1251.0N X U µ=在H 0成立的條件下,05.0=,12.0µ若H 0成立,則 ,從而251.012.0251.0=X U X U µ.645.1:,(05.021=u u x x

5、x W n.012.01203.0251.012.00<=×=x u50作判斷,因?yàn)閃 u 0 所以接受H 0,即在顯著水平=0.05下,可認(rèn)為當(dāng)前生產(chǎn)的微波爐關(guān)門(mén)時(shí)的輻射量無(wú)明顯升高. 兩個(gè)總體檢驗(yàn)適應(yīng)的問(wèn)題的一般提法如下:設(shè)為出自的樣本,Y Y Y 為出自µN 的樣本,2.兩個(gè)正態(tài)總體情形u .,(121n X X X ,(211µN .,(,(21,2221n 2221µµ=21µµ 已知,兩個(gè)總體的樣本之間獨(dú)立。1° 提出假設(shè): H 0:; H 1:2° 取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量: 222121(n n

6、 Y X U +=1,0(222121N n n Y X U +=在H 0成立的條件下,3° 給定顯著性水平 05.00(<,=2u U P,21(=u 查表可得臨界值 .2u由拒絕域:,;,(2y x x x W = ,221211u u y y n n 4° 由樣本值計(jì)算U 的觀察值u .:,05°,W u 則接受H .作判斷:若 ,則拒絕W u 0H 0;否則,若00例 7.6 一卷煙,化驗(yàn)?zāi)峁哦〉暮渴欠裣嗤?從A , B 中1 2426據(jù)經(jīng)驗(yàn)知,尼古丁含量服從正態(tài)分布,且A 種的方差為B 種的方差為8,取=0.05,問(wèn)兩種差異?解 設(shè)兩種煙草的尼古

7、丁平均含量分別為 1° 提出零假設(shè): H 0:; H 1:2° 取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量: 廠向化驗(yàn)室送去A , B 兩種煙草各隨機(jī)抽取重量相同的五例進(jìn)行化驗(yàn),測(cè)得尼古丁的含量(單位:毫克為:A :24 27 26 2B :27 28 23 31 5,21µµ和.煙草的尼古丁含量是否有21µµ=21µµ 222121(n n Y X U +=1,0(2在H 0成立的條件下,22121N n n Y X U +=12121=u y y y x x x W n n 4° 由樣本值:27,4.24,521=y x n n

8、計(jì)算U 的觀察值.0u 612.15852+n 5274.24(221210=+=n y x u 5°作判斷:,因?yàn)閃 u 0 所以接受H 0,即在顯著水平=0.05下,認(rèn)為兩種煙草的尼古丁含量是無(wú)顯著差異.7.2中: 表7.2 統(tǒng)計(jì)假設(shè)方差已知時(shí),對(duì)正態(tài)總體期望的假設(shè)檢驗(yàn)小結(jié)于表對(duì)總體要求檢方法H 0H 1驗(yàn) 統(tǒng)計(jì)量 拒絕域 時(shí),對(duì)期望的檢驗(yàn),可以是單總體,也可是雙總體。當(dāng)然對(duì)于雙總體,它們的樣本之間應(yīng)該是獨(dú)立的。 1.設(shè)總體,樣本來(lái)自總體X ,未知. 1° 提出假設(shè): H 0:; H 1:(二 t 檢驗(yàn)t 檢驗(yàn)用于當(dāng)方差未知 一個(gè)正態(tài)總體情形,(2µN X ,

9、(21n X X X 20µµ=0µµ nS X T n =µ 2° 取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在H 0成立的條件下,=T 1(0n t nS X n µ3° 給定顯著性水平 05.00(<,=1(n t T P查表可得臨界值 .(2n t 拒絕域:,=t x W n 1.1(:,(221n t x x 22.0t 4° 由樣本值計(jì)算T 的觀察值5°作判斷:若 ,則拒絕W t 0H 0;否則,若W t 0 則接受H 0.例 7.7 設(shè)某次考試的考生成績(jī)服從正態(tài)分布,從中隨機(jī)地抽取36位考生的成績(jī),算得平

10、均成績(jī)?yōu)?6.5分,修正的標(biāo)準(zhǔn)差為15分. 問(wèn):在顯著水平0.05下,是否可以認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績(jī)?yōu)?0分?解 設(shè)該次考試的學(xué)生成績(jī)?yōu)閄 ,則,(2µN X 1° 提出假設(shè): H 0: nS X T n =µ 70=µ70µ H 1由于未知,所以用t 檢驗(yàn)法. :22° 取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量1(0在H 0成立的條件下,=t T n nS X n µ 3° 給定顯著性水平 05.0=,=1(2n t T P15,5.66,36=ns x n , n 1(02=t n t 拒絕域:.0301.2:,(21=t x x

11、 x W n0=t ,因?yàn)閃 t 705.66< 5°作判斷:0 所以接受H 0,即在顯著水平=0.05下,可以認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績(jī)?yōu)榭傮w情形對(duì)于兩個(gè)總體,一般地討論比較麻煩,通常考慮兩種特殊情況: 70分.2.兩個(gè)正態(tài) (1=21(未知,這一情形問(wèn)題的一般提法是:設(shè)為來(lái)自的樣本,為來(lái)的樣假設(shè):2111o <>或或µµµ的顯著水平為,(121n X X X ,(21µN ,(221n Y Y Y ,(22µN 自0,0(0:本,兩個(gè)總體的樣本之間獨(dú)立,需檢驗(yàn)H ;0H 2=µ21µ

12、81;=21µµ的檢驗(yàn)。檢驗(yàn)步驟:1° 提出假設(shè): H 0:; H 1:2° 取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)2212222111(1(21n n S n S n T nn +=量: 在H 0成立的條件下,(=n t T 2(1(1(2121+n n n n n n n S n S n Y X nn3° 給定顯著性水平 05.00(<,=+2(212n n t T P查表可得臨界值 .2(21+n n t .2(:,;,(212121221+=n n t t y y y x x x W n n 拒絕域:4° 由樣本值計(jì)算T 的觀察值作判.0t 5&#

13、176; 斷:若 t 0H ;否則,0,若W t 0 則接受H .(221,未知,但,則可考慮所謂配對(duì)檢驗(yàn)法。此時(shí)令n n n =21,則拒絕W =nS Z Z 21,1=ni ini i i i i Z Zn nZ n i Y X 121(1,2,1,由于當(dāng)21µµ=時(shí),且相互獨(dú)立,則,0(2221+N Z i 1(1(,0(2222122221+n S n n N Z 2nS Z 與獨(dú)立,故1(111(222122221=+=n t n S Zn S n nZT nn 且t 可作為0=µµH 。8羊毛在處理前后,各抽取樣本,側(cè)得含脂率如下(% 1 3

14、0 27 的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量0:21例 7. 某種: 處理前 19 18 21 30 66 42 8 2 05.0=處理后 4162,8,102121=+=n n n n 自由度:已知.151372419820羊毛含脂率服從正態(tài)分布,問(wèn):處理后含脂率有無(wú)顯著變化(?解 1° 假設(shè): H 0:; H 1:21µµ=21µµ212222111(1(21n n S n S n T nn +=2° 取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量: 在H 0成立的條件下,16(2(2(1(1(1Y X +=05.0=,05.016(025.0=t T P 223° 給定顯著

15、性水平 2.12.216(025.0=t查表可得臨界值 拒絕域:.12.2:,;,(212121=t y y y x x x W n n81,10175.13,3.278122110122121=i in i in ys xs y x ,1522.212(2120+=n n n x t1(1(211222211+n n n s n s n y nn,即可以認(rèn)為處理后含脂率有顯著變化.表7.321 5°作判斷:因?yàn)?,所以拒絕W t 0H 0方差未知時(shí),對(duì)正態(tài)總體期望的假設(shè)檢驗(yàn)小結(jié)于表7.3中: 2F 2F(三檢驗(yàn)和檢驗(yàn)(test and test 2檢驗(yàn)和F 檢驗(yàn)都是對(duì)于方差的檢驗(yàn),

16、前者用于一個(gè)正態(tài)總體的方差檢驗(yàn).,后者用于兩個(gè)正態(tài)總體的方差比的檢驗(yàn)。檢驗(yàn)為出自的樣本,要對(duì)參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn),這里1.設(shè),(21n X X X ,(2µN 2µ2往往是未知的。0:; H 1:2=202201° 提出假設(shè): H 2° 選擇統(tǒng)計(jì)量:2= n S n n (在H 0成立下3° 給定顯著性水平 05.00(<1(1(2202,拒絕域?yàn)?(1(,(212222122=n n x x x W n : 如圖7-3所示。 圖7-3此時(shí),.|(0=+=H W P2的觀察值 20224° 由樣本值計(jì)算. 25°作判斷:若 ,

17、則拒絕W 0H 0;否則,若W 0 則接受H 2例 7.9 某廠生產(chǎn)的汽車蓄電池使用壽命服從正態(tài)分布,其說(shuō)明書(shū)上寫(xiě)明其標(biāo)準(zhǔn)差不超過(guò)0.9a ,現(xiàn)隨機(jī)抽取10只,得修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差為1.2a ,試在005.0=水平下檢驗(yàn)廠方說(shuō)明書(shū)上所寫(xiě)的標(biāo)準(zhǔn)差是否可信.; H 1:采用檢驗(yàn)法,為單側(cè)檢驗(yàn).2° 選擇統(tǒng)計(jì)量:解1° 假設(shè): H 0:29.029.0>21(22=n n 1222S n(在H 0成立下3° 給定顯著性水平05.0=, 查表得 拒絕域?yàn)?21=n W ,其中919.1699205.02=( 9(919.169(,2220229.091(=nnS S n

18、 (2=:x x x 2的觀察值 .204° 由樣本值計(jì)算919.169(169.02.1 922×,因?yàn)閃 20 所以接受H 0,即認(rèn)為在05.0=05.0220=<= 5°作判斷:水平下廠方說(shuō)明書(shū)上所寫(xiě)的標(biāo)準(zhǔn)差可信。設(shè),1X X 出1n Y Y 為出自的樣本,且樣本之間獨(dú)立?？紤]假設(shè)(H : ; : (四 F 檢驗(yàn),N 2,(222µN 1,2n X 為自,(211µ的樣本,2Y 21=22 1H 2122 0(: ; H : 對(duì)此可采用統(tǒng)計(jì)量0H 2122 2>211222222121/S F /=S 進(jìn)行檢驗(yàn),易知,對(duì)于(,

19、在下,我們可取拒絕域?yàn)?H 1,1(21n n F F 1,1(1,1(2112122><=n n F F n n F F W 此時(shí).0.例 7.10 假設(shè)其壽命服從正態(tài)分布,=|(0H W P 對(duì)于(,類似前面的討論,可取拒絕域?yàn)?,1(211>=n n F F W 此時(shí)|(H W P 現(xiàn)有兩箱燈泡,今從第一箱中抽取9只,算得壽命的樣本均值 ,1532=x 樣本均方差 ;43211=n s 從第二箱中抽取18只,算得壽命的樣本均值 ,1532=x 樣本均方差; 作適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn),對(duì)38022=n s 05.0=,檢驗(yàn)是否可以認(rèn)為這兩箱燈泡壽命服從同一正態(tài)分布. F0.025 (

20、18,9 = 3.69 t 0.025 (27 = 2.052 F0.025 (9,18 = 2.93 F0.025 (17,8 = 4.05 t 0.025 (25 = 2.06 F0.025 (8,17 = 3.061 解 設(shè)第一箱、第二箱燈泡壽命分別為 X, Y. X 與 Y 獨(dú)立， 2 2 X N ( 1 , 1 , Y N ( 2 , 2 (1 先作 F 檢驗(yàn) 1° 假設(shè): H0： 1 = 2 ; 2 2 H1： 1 2 2 2 2 S 2 / 1 S 2 = 1 F (n1 1, n 2 2 = F (8,17 (在H0成立下 2° 取統(tǒng)計(jì)量： F = 1 2

21、S 22 / 2 S 22 3° 給定顯著性水平 = 0.05 ， 由 F0.025 (17,8 = 4.05 得 F0.975 (8,17 = 拒絕域?yàn)?W = ( x1 , , x n ; y1 , 1 1 1 = 0.247 F0.025 (17,8 4.05 , y n : F F0.975 (8,17 = 0.247 F F0.025 (8,17 = 3.061 ， 2 4° 由樣本值計(jì)算 F 的觀察值 f 0 1.32. 5° 作判斷： 因?yàn)?f 0 W，所以接受H0，即可認(rèn)為 1 = 2 . 2 2 (2 再作 t 檢驗(yàn) 1° 假設(shè): H0： 1 = 2 ； H1： 1 2 2° 取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量： T = (X Y 2 2 n1 S1n + n 2 S 2n 1 2 n1n 2 (n1 + n 2 2 n1 + n 2 在H0成立的條件下， T= (X Y 2 2 n1 S1n + n 2 S 2n 1 2 n1n 2 (n1 + n 2 2 t (n1 + n 2 2 = t (25 n1 + n 2 3°