淺談數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中信息的提取、加工處理及其利用

1、淺談數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中信息的提取、加工處理及其利用 洪魯平  數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)一般要經(jīng)過(guò)三個(gè)步驟，一是根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，二是對(duì)得到的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行推理和演算，求出所需的解，三是聯(lián)系原來(lái)的問(wèn)題對(duì)得到的解答作出解釋和評(píng)價(jià)，再返回到原問(wèn)題中去作出最終的判斷，這一過(guò)程，從信息學(xué)的角度來(lái)啟是不斷重復(fù)利用，信息的提取，信息的加工處理和信息的輸出的過(guò)程。在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中正確地捕捉信息并對(duì)獲得地信息加工處理是順利完成數(shù)?；顒?dòng)的基礎(chǔ)。一、問(wèn)題信息獲取的途徑 從信息的來(lái)源看，獲取信息主要從以下幾個(gè)方面獲得。首先，從問(wèn)題的題設(shè)和題斷中提取，在這里提取的信息主要有問(wèn)題體現(xiàn)的位置特征、數(shù)值特征與結(jié)構(gòu)

2、特征。歸納起來(lái)就是問(wèn)題中體現(xiàn)的“圖形信息”與“數(shù)的信息”。其次是從解題者自身的記憶庫(kù)中獲取，從這提取的信息主要有：數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)。例如與問(wèn)題有關(guān)的數(shù)學(xué)定義、概念、定理以及數(shù)學(xué)模型，問(wèn)題涉及到的數(shù)學(xué)思想方法。二、對(duì)獲得的信息應(yīng)進(jìn)行加工處理和利用 數(shù)學(xué)模型面臨的是實(shí)際問(wèn)題，它往往是用實(shí)際生活中的語(yǔ)言描述的，不是現(xiàn)成的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述的問(wèn)題，因而問(wèn)題的題設(shè)與題戀灳?斷提取的信息可以有許多，往往不是唯一的，這些信息有時(shí)是有價(jià)值的，有時(shí)則起干擾解題的作用，因此，必須對(duì)獲得的信息進(jìn)行分析，篩選和有效組合。 1、從整體上把握問(wèn)題，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象 數(shù)學(xué)建模面臨的是實(shí)際問(wèn)題，它往往是實(shí)際生活中的語(yǔ)言描述的，因而

3、我們必須回繞要解決的問(wèn)題，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，即對(duì)真實(shí)事物或現(xiàn)象進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化和完善化，使之變成數(shù)學(xué)中理想元素（如幾何中的點(diǎn)、線、面等）與理想的模型（即數(shù)學(xué)模型）。 例如：哥尼斯堡七橋問(wèn)題。 哥尼斯堡位于普累格爾河的兩條支流之間，座落在離他們匯合處不遠(yuǎn)的山丘上，市內(nèi)有七座各具特色的搭橋，橫跨普累格爾河（如圖1），問(wèn)能否在一次散步中把每座橋都起一次，而且只走一次，最后又會(huì)到原來(lái)的 位置。 在這問(wèn)題中有橋、河、陸地等元素，但橋連接陸地等。歐拉在解決這問(wèn)題的思路是：既然島與三處陸地是橋梁的連接點(diǎn)，不妨將其理想化，而把島與三處陸地抽象成四個(gè)點(diǎn)，并把七座橋抽象成七條線（如圖2）。這樣，橋與陸地的結(jié)構(gòu)關(guān)系

4、正是對(duì)所要解決問(wèn)題的本質(zhì)特征的數(shù)學(xué)抽象，于是，一次重復(fù)地走 完七座橋地問(wèn)題就等價(jià)于一筆畫(huà)出圖形地問(wèn)題。 2、對(duì)獲取地信息應(yīng)進(jìn)行篩選、區(qū)分、取其精華，去其糟粕。 數(shù)學(xué)模型面臨的問(wèn)題是較復(fù)雜的，信息也是雜亂無(wú)章的，有些信息是有用的，有些信息是干擾問(wèn)題解決的因而為了順利解決問(wèn)題有必要將問(wèn)題中獲取的信息進(jìn)行篩選區(qū)分，取其精華、去其糟粕，將問(wèn)題解決有關(guān)的信息從問(wèn)題中無(wú)關(guān)的信息中區(qū)分出來(lái)，從而使問(wèn)題得到正確的解決。 例如：一生物學(xué)家要想計(jì)算一個(gè)湖中魚(yú)的條數(shù)，在五月一日，她隨機(jī)地捕捉了60條魚(yú)，并對(duì)他們作了標(biāo)記后防回湖中，再九月一日，她再隨機(jī)地捕捉了70條魚(yú)發(fā)現(xiàn)期中3條魚(yú)是有標(biāo)記地，為了計(jì)算五月一日這湖中魚(yú)

5、地條數(shù)，她假定五月一日湖中魚(yú)的25%到九月一日已不在湖中（由于死亡和遷出）九月一日湖中魚(yú)的40%五月一日時(shí)并不在湖中（由于出生和遷入），而且九月一日抽樣所得的文標(biāo)記及有標(biāo)記的魚(yú)都是有代表性的，這位生物學(xué)家算出的五月一日湖中的魚(yú)數(shù)時(shí)多少？ 分析：從信息角度看，本題的信息主要有：1五月一日捕捉了60條魚(yú)作了標(biāo)記。2九月一日捕捉70條魚(yú)中有三條是有標(biāo)記的。3五月一日湖中魚(yú)有25%到九月一日已不在湖中。4九月一日湖中魚(yú)40%五月一日不在湖中。5兩次捕捉的具有代表性。6要計(jì)算五月一日湖中的魚(yú)數(shù)。 對(duì)這些信息應(yīng)進(jìn)行分析，之后發(fā)現(xiàn)，第4條信息是不切題，即與解決的問(wèn)題最終要求是無(wú)的，應(yīng)將其舍去，從而列出正確的

6、式子。 即五月一日湖中的點(diǎn)數(shù)是840條。 從此例中可以發(fā)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題的建模材料具有一定的隱蔽性，要求解題者具有較強(qiáng)的理解與篩選能力。 三、對(duì)獲取的信息進(jìn)行有效整合轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)潔與流暢。 數(shù)學(xué)建模面臨的是實(shí)際問(wèn)題，因而從中獲取的信息是復(fù)雜的、多樣的，故將獲得的信息進(jìn)行加工處理中，須有一個(gè)優(yōu)化整合信息與信息轉(zhuǎn)換的過(guò)程，從而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)建立數(shù)學(xué)模型。例如：現(xiàn)有流量約為300m3/s的兩條河流A、B匯合與某處后不斷混合，他們的含沙量分別為2kg/m3和0.2kg/m3,假設(shè)從匯合處開(kāi)始沿岸設(shè)有若干觀測(cè)點(diǎn)，兩股水在流經(jīng)相鄰的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的過(guò)程中其混合效果相當(dāng)于兩股水戀灳?在1秒鐘內(nèi)交換100

7、m3的水量，即從A股注入B股100m3水，經(jīng)混合后又從B股注入A股100m3的水量，問(wèn)：從第幾個(gè)觀測(cè)點(diǎn)兩股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3(不考慮泥沙沉淀)。 要解決此問(wèn)題，需根據(jù)題意將它抽象為一個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，建一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，從題目所給的信息：若干觀測(cè)點(diǎn)的測(cè)得的A，B兩股水流的含沙量不同，同時(shí)水流中的含沙量在兩股水流不斷的混合之中，每個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的兩河A、B含沙量在不斷的接近。將兩點(diǎn)綜合考慮之后，可知此問(wèn)題是可歸結(jié)為一個(gè)數(shù)列問(wèn)題，其次在第n個(gè)觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得的含沙量an、bn是由于前一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的含沙量an-1、bn-1經(jīng)交換100m3水量而混合而測(cè)得。因而可以進(jìn)一步將問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)遞推關(guān)系給出的遞推數(shù)列問(wèn)題，這樣我們要建的數(shù)學(xué)模型就清楚了，同時(shí)還需