chap02第二章 動(dòng)力學(xué)

1、 “I seem to have been only like a boy playing on the seashore and diverting myself in now and then finding a smoother pebble or a prettier shell than ordinary, while the great ocean of truth lay all undiscovered before me.” Sir Isaac Newton 第二章第二章 牛頓運(yùn)動(dòng)定律牛頓運(yùn)動(dòng)定律1 1）牛頓第二定律及應(yīng)用）牛頓第二定律及應(yīng)用2-1 2-1 牛頓運(yùn)動(dòng)定律牛頓運(yùn)

2、動(dòng)定律牛頓第一定律牛頓第一定律牛頓第二定律牛頓第二定律 牛頓第三定律牛頓第三定律慣性參考系慣性參考系參考讀物參考讀物: A.Einstein, : A.Einstein, 物理學(xué)的進(jìn)化物理學(xué)的進(jìn)化, ,上海科學(xué)技術(shù)出版社上?？茖W(xué)技術(shù)出版社二、牛頓第二定律二、牛頓第二定律F am=是作用在質(zhì)點(diǎn)上外力的矢量和。是作用在質(zhì)點(diǎn)上外力的矢量和。F直角坐標(biāo)：直角坐標(biāo)：F = maxxF = mayy自然坐標(biāo)自然坐標(biāo): :F= mannmv2Fmatt= mdvdt四、牛頓定律的應(yīng)用四、牛頓定律的應(yīng)用 應(yīng)用牛頓定律的解題步驟：應(yīng)用牛頓定律的解題步驟：分解不在坐分解不在坐標(biāo)軸上的力標(biāo)軸上的力 確定確定研究對(duì)象

3、研究對(duì)象 進(jìn)行進(jìn)行受力分析受力分析 建立建立坐標(biāo)系坐標(biāo)系求解求解 建立方程建立方程（投影式）（投影式）*牛頓定律只在慣性系中成立。牛頓定律只在慣性系中成立。變力的三種類型變力的三種類型: :1). 力與位置有關(guān)力與位置有關(guān):2). 力與速度有關(guān)力與速度有關(guān):3). 力與時(shí)間有關(guān)力與時(shí)間有關(guān):)(xFF )(vFF )(tFF 例例: P40,2-6dxdvmvdtdxdxdvmdtdvmxF)( 例例 有一柔軟的鏈條，長(zhǎng)度為有一柔軟的鏈條，長(zhǎng)度為 l , , 其部分平放在光其部分平放在光滑滑lbb() 鏈條靜止。鏈條靜止。 的桌面上的桌面上 , ,另一部分懸垂在桌邊另一部分懸垂在桌邊 , ,

4、其長(zhǎng)度為其長(zhǎng)度為b。開(kāi)。開(kāi)始始 試求：當(dāng)鏈條全部脫離桌子時(shí)的速度。試求：當(dāng)鏈條全部脫離桌子時(shí)的速度。 Tgxxl x()T(l-x)x設(shè)鏈條單位長(zhǎng)度質(zhì)量為設(shè)鏈條單位長(zhǎng)度質(zhì)量為aT=lx()vd=axdxdtdvd=xdv=gxlg=xTxa=agxlvdxdv=gxl=122vgl22l2b()=vgl2l2b()vdxdv=gxl積分得：積分得：由上面得到：由上面得到：xvdxdv=gl0lbvRt = 0m 例例一小鋼球，從靜止開(kāi)一小鋼球，從靜止開(kāi)mgmcosN =2RvmgN解：解：mgmsindtdv =n下滑。下滑。始自光滑圓柱形軌道的頂點(diǎn)始自光滑圓柱形軌道的頂點(diǎn)求：小球脫軌時(shí)的角度

5、求：小球脫軌時(shí)的角度。sindtdv =gddddt=vcos2Rg()1 =2vsin d=Rg00dvvvRt = 0mmgNnmgmsindtdv =mgmcosN =2Rv由式由式 ddv=Rv脫軌條件：脫軌條件：N = 0由式由式 得：得：由由、可解得：可解得：cos=23=arc cos()23mgmcos=2RvmgmcosN =2Rvcos2Rg()1 =2vvBFrF解解 取坐標(biāo)如圖取坐標(biāo)如圖 )(dd0bFmbtvvmarFmgv6B令令rbFmgF6B0tmbFdd0vv Py)(tv 例例5 5 一質(zhì)量一質(zhì)量 ，半徑，半徑 的球體在水中靜止釋的球體在水中靜止釋放沉入水底

6、放沉入水底. .已知阻力已知阻力 , , 為粘滯系數(shù)，為粘滯系數(shù)， 求求 . . vrF6rmrBF為浮力為浮力bFt/,0Lv（極限速度）（極限速度）tmbbF)/(0e1vLL95. 0)05. 01 (vvvbmt3當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)L,3vv bmt一般認(rèn)為一般認(rèn)為ttmbbF000d)(dvvvvBFrFPyvbF0to)(dd0bFmbtvv作業(yè) 1練習(xí)3 If I have seen further, it is by standing on the shoulders of giants. Sir Isaac Newton第三章第三章 動(dòng)量動(dòng)量 動(dòng)量定理動(dòng)量定理1 1）質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理）

7、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理3-1 3-1 動(dòng)量動(dòng)量 動(dòng)量定理動(dòng)量定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理由牛頓第二定律表達(dá)式得：由牛頓第二定律表達(dá)式得：1 1、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量mvd=dt()Fmdt=dv其中其中 mvP定義為質(zhì)點(diǎn)的定義為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量動(dòng)量，用，用表示表示Fdt=dP則牛頓第二定律的動(dòng)量表達(dá)式：則牛頓第二定律的動(dòng)量表達(dá)式：動(dòng)量是矢量，它的方向與物體的運(yùn)動(dòng)方向一致。動(dòng)量是矢量，它的方向與物體的運(yùn)動(dòng)方向一致。動(dòng)量的單位為動(dòng)量的單位為 kg.m/s 2 2、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理將將Fdt=dP分離變量、兩邊積分得：分離變量、兩邊積分得：=mvmv12F=dtd mv()vvtt12

8、12其中其中dtFtt21稱為力的稱為力的沖量沖量，用，用I I 表示表示上式為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理。上式為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理。IP=-P21* *關(guān)于質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理的討論：關(guān)于質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理的討論：式中沖量是矢量，式中沖量是矢量，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理為矢量式，投影式為：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理為矢量式，投影式為：xF dttt12=mvmv12xxyF dttt12=mvmv12yy平均沖力平均沖力平均沖力平均沖力Fx用平均沖力表示的動(dòng)量定理為：用平均沖力表示的動(dòng)量定理為：tt21xF dttt12= Fx()tt21Fx=mvmv12xx()=mvmv12yytt21Fy()Fttt120Fxx二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理

9、二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理1 1、質(zhì)點(diǎn)系：由多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。、質(zhì)點(diǎn)系：由多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。2 2、系統(tǒng)的內(nèi)力和外力、系統(tǒng)的內(nèi)力和外力3 3、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理系統(tǒng)的內(nèi)力矢量和為零。系統(tǒng)的內(nèi)力矢量和為零。vviii2 2i1 1mm-)(d =ttFti外外21系統(tǒng)的總動(dòng)量等于一常矢量，總動(dòng)量守恒。系統(tǒng)的總動(dòng)量等于一常矢量，總動(dòng)量守恒。=Fmiiid ()dtv即：即：=c miiv即外力矢量和為零即外力矢量和為零 Fi= 0若：若：= 0 miid ()dtv則：則：三、動(dòng)量守恒定律三、動(dòng)量守恒定律*關(guān)于動(dòng)量守恒定律的討論：關(guān)于動(dòng)量守恒定律的討論：=Fmixiixd()dtv將

10、上式寫(xiě)成分量式，其中將上式寫(xiě)成分量式，其中x 方向的分量式為：方向的分量式為：若：若：=Fix0則有：則有：mixiv= c=Fmiiid()dtv內(nèi)力的存在只改變系統(tǒng)內(nèi)動(dòng)量的分配，而不能改變系內(nèi)力的存在只改變系統(tǒng)內(nèi)動(dòng)量的分配，而不能改變系 動(dòng)量守恒是自然界普遍適用的物理定律，它比牛頓動(dòng)量守恒是自然界普遍適用的物理定律，它比牛頓統(tǒng)的總動(dòng)量。統(tǒng)的總動(dòng)量。定律更為基本。定律更為基本。的分動(dòng)量守恒。的分動(dòng)量守恒。如果外力在如果外力在 x 方向投影的代數(shù)和為零，則在方向投影的代數(shù)和為零，則在 x 方向方向v = v =5.0 m.s-1, ,碰撞時(shí)間碰撞時(shí)間 例例 一小球與地面碰撞一小球與地面碰撞m

11、=210-3kg, ,a a = 600, , 求求: :平均沖力。平均沖力。Nmvmv sintxsinaa=vvyxaaNNxymgNmvmvmgcosty=()()cosaa解：解：Nx= 0解得：解得：= 2.2 ( N )Nmgcos ty=+2mvat =0.05s 。 例例 人與船質(zhì)量分別為人與船質(zhì)量分別為m 及及M ，船長(zhǎng)為，船長(zhǎng)為L(zhǎng) ，若人從船，若人從船mML尾走到船首。試求船相對(duì)于岸的位移。尾走到船首。試求船相對(duì)于岸的位移。( (初始時(shí)刻人與初始時(shí)刻人與船靜止船靜止) )設(shè)人相對(duì)于船的速度為設(shè)人相對(duì)于船的速度為 u船相對(duì)于岸的速度為船相對(duì)于岸的速度為 v 由動(dòng)量守恒由動(dòng)量守

12、恒: :mMxLulv()vMu+ mv= 0Mvum=m+u dtMm=m+=Mmm+Lx=v dt注意不管人注意不管人的行走速度的行走速度如何變化。如何變化。結(jié)果是相同結(jié)果是相同的。的。 例例 2 一柔軟鏈條長(zhǎng)為一柔軟鏈條長(zhǎng)為l,單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為 .鏈條放鏈條放在桌上在桌上,桌上有一小孔桌上有一小孔,鏈條一端由小孔稍伸下鏈條一端由小孔稍伸下,其余部分其余部分堆在小孔周圍堆在小孔周圍.由于某種擾動(dòng)由于某種擾動(dòng),鏈條因自身重量開(kāi)始落下鏈條因自身重量開(kāi)始落下 .求鏈條下落速度與落下距離之間的關(guān)系求鏈條下落速度與落下距離之間的關(guān)系 . 設(shè)鏈與各處的設(shè)鏈與各處的摩擦均略去不計(jì)摩擦均略

13、去不計(jì),且認(rèn)為鏈條軟得可以自由伸開(kāi)且認(rèn)為鏈條軟得可以自由伸開(kāi) . 解解 以豎直懸掛的鏈條以豎直懸掛的鏈條和桌面上的鏈條為一系統(tǒng)和桌面上的鏈條為一系統(tǒng),建立如圖坐標(biāo)建立如圖坐標(biāo)由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理得由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理得ptFddexm1m2OyyyggmF1ex則則則則tddvyyg 兩邊同乘以兩邊同乘以 則則 yydvvvyyyyyygyddddd2t vvvyyyyyyg002dd21 gy32v232131vygy m1m2Oyy)d(d vytyg)d(dvyp又又ptFddex作業(yè) 練習(xí)4 / 填空 2 不做Joy in looking and comprehending is nature

14、s most beautiful gift. Albert Einstein第四章第四章 功和能及功能原理功和能及功能原理1 1）變力做功）變力做功2 2）保守力）保守力3 3）勢(shì)能）勢(shì)能4-1 4-1 功功 動(dòng)能動(dòng)能 勢(shì)能勢(shì)能一、功一、功 功率功率1 1、功、功F r=. 變力的功變力的功 元位移：元位移：rd元功：元功：=.F drFF ra= FcosdAdra rA = FcosadrFa 恒力的功恒力的功.F drA=F=drcosadA = F.drdzdxdyF(x)F(y)F(z)=+此式的意義是合力的功等于各分力功之和。此式的意義是合力的功等于各分力功之和。dzdxddrij

15、k=+yr =x iy jz k+F(x)F(y)F(z)=+Fijk=AF dr.dz+F(x) dxF(y) dyF(z)=功的幾何意義：功的幾何意義：dAF (x) dx=功在數(shù)值上等于示功圖曲功在數(shù)值上等于示功圖曲2. 2. 功率功率平均功率平均功率: : A=N t瞬時(shí)功率瞬時(shí)功率: :=NAttlim0=dAdt=Fdr.dt.= FvF (x)xdxo示功圖示功圖F12xxxA =F (x) dxx12線下的面積。線下的面積。 例例 1 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m 的小球豎直落入水中，的小球豎直落入水中， 剛接觸剛接觸水面時(shí)其速率為水面時(shí)其速率為 . 設(shè)此球在水中所受的浮力與重力設(shè)此球

16、在水中所受的浮力與重力相等相等, 水的阻力為水的阻力為 , b 為一常量為一常量. 求阻力對(duì)求阻力對(duì)球作的功與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系球作的功與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系 .0v vbFr解解 如圖建立坐標(biāo)軸如圖建立坐標(biāo)軸ttxbxbrFWdddddvv即即tbWd2v又由又由 2 - 5 節(jié)例節(jié)例 5 知知tmbe0vvtbWttmb020de2v) 1(e21220tmbWmv0vxo二、動(dòng)能定理二、動(dòng)能定理rdF則力則力在這段元位移上的功為：在這段元位移上的功為：設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)沿任一曲線運(yùn)動(dòng)，在曲線上任取一元位移設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)沿任一曲線運(yùn)動(dòng)，在曲線上任取一元位移dA = F.drdt=dtd mv()v.=mv dv

17、.=mvdv所以：所以：21mvdA=mvdv()2=1mv2122mvmv-)2(dA=122dA=1221其中其中表示。表示。mvE212K稱為質(zhì)點(diǎn)的稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能動(dòng)能，用，用K1EK2合外合外E-dr =.F21上式為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理。上式為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理。即：即：1mv2122mvF-_.dr=合外合外2A=1221三、保守力的功三、保守力的功mg dy=(+mg j ).(dxidy j )yy=()abm gm gdAdr=G.yxoyyaabbdrGmgdy=A1. 1. 重力的功重力的功若物體從若物體從a出發(fā)經(jīng)任意路徑回到出發(fā)經(jīng)任意路徑回到a點(diǎn)，則有點(diǎn)，則有: :Adr=G.=

18、0物體沿任意閉合路徑一周，重力所作的功為零物體沿任意閉合路徑一周，重力所作的功為零. .MmrGF=2cos=()F ds90 +02. 2. 萬(wàn)有引力的功萬(wàn)有引力的功=dAF dr.MmrG=2drMmrGsin=2dsrabrdsF太陽(yáng)太陽(yáng)地球地球Mmrdrab)(=abGMmGMmrrMmGA2=rrabdrr3. 3. 彈簧彈性力的功彈簧彈性力的功Fkx=kxdx=Fdx=dAkx=ab()1221kx22x自然長(zhǎng)度自然長(zhǎng)度彈簧彈簧xFokxdx=baAxx* *保守力的定義：保守力的定義： drF.=0或：若有一個(gè)力能滿足條件：或：若有一個(gè)力能滿足條件：則稱此力為則稱此力為保守力保守

19、力。 若力若力F 對(duì)物體所作的功決定于作功的起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)物體所作的功決定于作功的起點(diǎn)和終點(diǎn)而與作功的路徑無(wú)關(guān)，稱此力為保守力。而與作功的路徑無(wú)關(guān)，稱此力為保守力。如某力的功與路徑有關(guān)，則稱這種力為如某力的功與路徑有關(guān)，則稱這種力為非保守力非保守力。四、勢(shì)能四、勢(shì)能保守力的功只與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的始末位置有關(guān)與路徑無(wú)關(guān)。保守力的功只與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的始末位置有關(guān)與路徑無(wú)關(guān)。 a by重重)A =mgmgy(A引引)(=abGMmGMmrrA彈彈kx=ab()1221kx22功與能量的改變相關(guān)功與能量的改變相關(guān)保守力的功與勢(shì)能增量的關(guān)系：保守力的功與勢(shì)能增量的關(guān)系：則：則： 重力勢(shì)能：重力勢(shì)能：mgyE =P重

20、重引力勢(shì)能：引力勢(shì)能：=rE-GMmP引引彈性勢(shì)能：彈性勢(shì)能：=kxE212P彈彈p E=pbpa()=EEA保保保保dr=.FbaPE勢(shì)能勢(shì)能，用，用表示。表示。勢(shì)能零點(diǎn)：勢(shì)能零點(diǎn)：pbbapaErdFEbapardFEabparMmGrMmGE1).1).以以b b點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn): :引力勢(shì)能引力勢(shì)能: :2).2).以無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)以無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn): :aaparMmGrdFE3).3).當(dāng)保守力做正功時(shí)，系統(tǒng)勢(shì)能減少；保守力做負(fù)功當(dāng)保守力做正功時(shí)，系統(tǒng)勢(shì)能減少；保守力做負(fù)功時(shí)，系統(tǒng)勢(shì)能增加。時(shí)，系統(tǒng)勢(shì)能增加。保守力與勢(shì)能。保守力與勢(shì)能。*關(guān)于勢(shì)能的討論：關(guān)于勢(shì)能的討論

21、：勢(shì)能零點(diǎn)勢(shì)能零點(diǎn)六、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理與功能原理六、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理與功能原理AAAmv22112非保內(nèi)非保內(nèi)外外保內(nèi)保內(nèi)=+mvib2ia1 1、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：將其推廣到質(zhì)點(diǎn)系，有將其推廣到質(zhì)點(diǎn)系，有 : :AA外外內(nèi)內(nèi)+A=AAA非保內(nèi)非保內(nèi)外外保內(nèi)保內(nèi)+由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：mv22112mv2baA =由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：ApapbEE=)(保內(nèi)保內(nèi)且：且：2 2、功能原理：、功能原理：AAAmv22112非保內(nèi)非保內(nèi)外外保內(nèi)保內(nèi)=+mvib2iaAAmv22112非保內(nèi)非保內(nèi)外外=+mvib2iapapbEE)(AAmv221

22、12非保內(nèi)非保內(nèi)外外=+mvib2iapapbEE)(+(+)kakbEEEE=()+pb(+)pa系統(tǒng)的功能原理：系統(tǒng)的功能原理：AkakbEEEE=()+A外外非保內(nèi)非保內(nèi)pb(+)pa機(jī)械能機(jī)械能，用，用E 表示。表示。E =Ek+Ep則系統(tǒng)的功能原理還可表示為：則系統(tǒng)的功能原理還可表示為：AA非保內(nèi)非保內(nèi)外外=+1EE2AkakbEEEE=()+A外外非保內(nèi)非保內(nèi)pb(+)pa由系統(tǒng)的功能原理：由系統(tǒng)的功能原理：E=+則：則：EEEkbpbkapa+恒量恒量七、機(jī)械能守恒定律七、機(jī)械能守恒定律若：若： 系統(tǒng)的機(jī)械能不變。系統(tǒng)的機(jī)械能不變。AA非保內(nèi)非保內(nèi)外外+0=設(shè)設(shè) 地球質(zhì)量地球質(zhì)量

23、 , 拋體質(zhì)量拋體質(zhì)量 , 地球半徑地球半徑 .EmERmvh 解解 取拋體和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)取拋體和地球?yàn)橐幌到y(tǒng) ，系統(tǒng)的機(jī)械能系統(tǒng)的機(jī)械能 E 守恒守恒 .1） 人造地球衛(wèi)星人造地球衛(wèi)星 第一宇宙速度第一宇宙速度 第一宇宙速度第一宇宙速度 ，是在地面上發(fā)射人造地球衛(wèi)星，是在地面上發(fā)射人造地球衛(wèi)星所需的最小速度所需的最小速度 .1v)(21EE21RmmGmEv)(21EE2hRmmGmv解得解得hRGmRGmEEEE12vvh)(21)(21EE2EE21hRmmGmRmmGmEvv2EEE2)(hRmmGhRmv由牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得由牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得vh2EERGmg

24、)2(EEE1hRRgRv地球表面附近地球表面附近hR E故故E1gRvm/s109 . 731v計(jì)算得計(jì)算得第一宇宙速度第一宇宙速度0)(2EEhRGmmE0EhRGmRGmEEEE12v2） 人造行星人造行星 第二宇宙速度第二宇宙速度0 )(21pkEE22EERmmGmEvvh設(shè)設(shè) 地球質(zhì)量地球質(zhì)量 , 拋體質(zhì)量拋體質(zhì)量 , 地球半徑地球半徑 . EmERm 第二宇宙速度第二宇宙速度 ，是，是拋體脫離地球引力所需拋體脫離地球引力所需的最小發(fā)射速度的最小發(fā)射速度 .2vE 取拋體和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)取拋體和地球?yàn)橐幌到y(tǒng) 系統(tǒng)機(jī)械能系統(tǒng)機(jī)械能 守恒守恒 .0;0, vFr當(dāng)當(dāng)若此時(shí)若此時(shí)則則EEE

25、222gRRGmv第二宇宙速度第二宇宙速度0E0)(21EE22RmmGmEvvhkm/s2 .112v計(jì)算得計(jì)算得問(wèn)題：質(zhì)量分布均勻的球或球殼與質(zhì)點(diǎn)之間的引力和引力勢(shì)能結(jié)論：等效，將所有質(zhì)量集中于球心；結(jié)論：球殼內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)受力為零；aaparMmGrdFE問(wèn)題：第三宇宙速度vh拋拋 體體 的的 軌軌 跡跡 與與 能能 量量 的的 關(guān)關(guān) 系系0E0E 橢橢 圓圓(包括圓包括圓)km/s9 . 71v0E0E 拋物線拋物線km/s2 .112v0E0E 雙曲線雙曲線sm.4k16 3v作業(yè) 練習(xí)5Learn from yesterday, live for today, hope for tomo

26、rrow. The important thing is to not stop questioning. Albert Einstein第五章第五章 角動(dòng)量和角動(dòng)量定理角動(dòng)量和角動(dòng)量定理1 1）角動(dòng)量）角動(dòng)量2 2）質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理）質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理3 3）角動(dòng)量守恒定律）角動(dòng)量守恒定律一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量：一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量：r質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于o 點(diǎn)的點(diǎn)的角動(dòng)量角動(dòng)量，0r=Lmvr=pL 的大小的大小|L|為：為：L=| |rmv| |sim為為r 和和mv 的夾角，的夾角，L 方向?yàn)榉较驗(yàn)閞 和和mv 的右旋。的右旋。Lmv*關(guān)于角動(dòng)量的討論：關(guān)于角動(dòng)量的討論：角動(dòng)量與位矢有關(guān)，談到角動(dòng)

27、量時(shí)必須指明是對(duì)哪角動(dòng)量與位矢有關(guān)，談到角動(dòng)量時(shí)必須指明是對(duì)哪一點(diǎn)而言。一點(diǎn)而言。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，= =2則角動(dòng)量大小為：則角動(dòng)量大小為：L = r mv 2= mr在直角坐標(biāo)系中，角動(dòng)量在各坐標(biāo)軸的分量為：在直角坐標(biāo)系中，角動(dòng)量在各坐標(biāo)軸的分量為：角動(dòng)量的單位為角動(dòng)量的單位為: : kg m2/sLx= ypzzpyLy= zpxxpzLz= xpyypx二、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：二、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：1 1、力矩、力矩r0FM力對(duì)某一固定點(diǎn)的力矩力對(duì)某一固定點(diǎn)的力矩Frsim=M其中其中為為r 和和F 的夾角的夾角r=MF力矩的矢量關(guān)系為：力矩的矢量關(guān)系為：有心力對(duì)力心

28、的力矩為零。有心力對(duì)力心的力矩為零。在直角坐標(biāo)系中，力矩在各坐標(biāo)軸的分量為：在直角坐標(biāo)系中，力矩在各坐標(biāo)軸的分量為：Mx= yFzzFyMy= zFxxFzMz= xFyyFx力矩的單位為：力矩的單位為： N m*關(guān)于力矩的討論：關(guān)于力矩的討論：上式也稱為力對(duì)軸的力矩。上式也稱為力對(duì)軸的力矩。始終指向某一固定點(diǎn)的力叫有心力，該固定點(diǎn)為力心。始終指向某一固定點(diǎn)的力叫有心力，該固定點(diǎn)為力心。2 2、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理r=Lmv將質(zhì)點(diǎn)對(duì)將質(zhì)點(diǎn)對(duì)o 點(diǎn)的角動(dòng)量點(diǎn)的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間對(duì)時(shí)間t 求導(dǎo)：求導(dǎo)：( r=mv )dLdtddt r=(mv )drdtddt+mv r=vF +mv2 2

29、、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理r=Lmv將質(zhì)點(diǎn)對(duì)將質(zhì)點(diǎn)對(duì)o 點(diǎn)的角動(dòng)量點(diǎn)的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間對(duì)時(shí)間t 求導(dǎo)：求導(dǎo)：( r=mv )dLdtddt r=(mv )drdtddt+mv r=vF +mv02 2、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理r=Lmv將質(zhì)點(diǎn)對(duì)將質(zhì)點(diǎn)對(duì)o 點(diǎn)的角動(dòng)量點(diǎn)的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間對(duì)時(shí)間t 求導(dǎo)：求導(dǎo)：( r=mv )dLdtddt r=(mv )drdtddt+mv r=vF +mv r=F =M于是有：于是有：dLdt=M上式為質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理，上式為質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理，dLdt=M表示成積分形式：表示成積分形式：* *在應(yīng)用角動(dòng)量定理時(shí)，一定要注意等式兩邊的力矩在應(yīng)用角動(dòng)量

30、定理時(shí)，一定要注意等式兩邊的力矩和角動(dòng)量必須都是對(duì)同一固定點(diǎn)。和角動(dòng)量必須都是對(duì)同一固定點(diǎn)。t2LL21M dtt1=3 3、質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律、質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律由：由：dLdt=M知，若知，若0=M則有：則有： r=mv=L常矢量常矢量* *質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下角動(dòng)量守恒。質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下角動(dòng)量守恒。 例例 用繩系一小球使它在光滑的水平面上做勻速率圓用繩系一小球使它在光滑的水平面上做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，其半徑為周運(yùn)動(dòng)，其半徑為r0，角速度為，角速度為0 。現(xiàn)通過(guò)圓心處的?，F(xiàn)通過(guò)圓心處的小孔緩慢地往下拉繩使半徑逐漸減小。求當(dāng)半徑縮為小孔緩慢地往下拉繩使半徑逐漸減小。求當(dāng)半徑縮為r時(shí)的角速度。時(shí)的

31、角速度。解：以小孔解：以小孔o(hù) 為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，mr0rov繩對(duì)小球的拉力為繩對(duì)小球的拉力為有心力，其力矩為零。有心力，其力矩為零。則小球?qū)c(diǎn)的角動(dòng)量守恒。則小球?qū)c(diǎn)的角動(dòng)量守恒。mvr = mv0r0因：因：v = r有：有：mr2 = mr02 0 =則：則：r2r020作業(yè) 練習(xí)6習(xí)題課第一章第一章 運(yùn)動(dòng)的描述運(yùn)動(dòng)的描述l1).運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類問(wèn)題:第一類問(wèn)題：第一類問(wèn)題：( (求導(dǎo)問(wèn)題求導(dǎo)問(wèn)題) )第二類問(wèn)題：第二類問(wèn)題：( (積分問(wèn)題積分問(wèn)題) )rr =( )t 已知：已知：a =(t )a 已知：已知：v=(t )rr =(t )v求：求：、=a a =vv( )t(t )求：軌跡求

32、：軌跡、l2).自然坐標(biāo)系l計(jì)算法向加速度:edtdsevva+tev=dtdRvne2atan+=22222ntyxaaaaal3).圓周運(yùn)動(dòng):l4).相對(duì)運(yùn)動(dòng):l教材中典型習(xí)題教材中典型習(xí)題lP23 / 思考題 1-1lP23 / 1-5, 1-9, 1-12, 1-15l作業(yè): P23 / 1-3, 1-6, 1-12第二章第二章 牛頓運(yùn)動(dòng)定律牛頓運(yùn)動(dòng)定律l1).1).牛頓第二定律及應(yīng)用牛頓第二定律及應(yīng)用, , 三種變力三種變力; ;l典型習(xí)題典型習(xí)題lP 37 / 2-6, 2-8, 2-12,lP 40 / 2-5第三章第三章 動(dòng)量動(dòng)量 動(dòng)量定理動(dòng)量定理l1).1).質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理質(zhì)

33、點(diǎn)系動(dòng)量定理l2).2).動(dòng)量守恒；動(dòng)量守恒；l典型習(xí)題典型習(xí)題lP52 / 3-1， 3-7，l作業(yè)：作業(yè)：3-14第四章第四章 功和能功和能l1 1）變力做功）變力做功l2 2）勢(shì)能）勢(shì)能l3 3）機(jī)械能守恒）機(jī)械能守恒l典型習(xí)題典型習(xí)題lP70/ 4-1,4-2, 4-12, 4-13l作業(yè)作業(yè):P70 / 4-3, 4-7, 第五章第五章 角動(dòng)量和角動(dòng)量定理角動(dòng)量和角動(dòng)量定理1 1）角動(dòng)量）角動(dòng)量2) 2) 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理3 3）角動(dòng)量守恒定律）角動(dòng)量守恒定律典型習(xí)題典型習(xí)題P102 / 5-4,5-5Logic will get you from A to B. I

34、magination will take you everywhere. Albert Einstein第六章第六章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1 1）如何描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；）如何描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；2 2）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律；）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律；剛體剛體: :特殊的質(zhì)點(diǎn)系特殊的質(zhì)點(diǎn)系平動(dòng)平動(dòng): :各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)完全相同各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)完全相同一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述3.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述: :特點(diǎn)特點(diǎn): : 各點(diǎn)都做圓周運(yùn)動(dòng)各點(diǎn)都做圓周運(yùn)動(dòng)相相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)相同的同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)相同的 角度角度. .有相同的角速有相同的角速度和角加速度度和角加速度. .4. 描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量

35、描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量1). 角位置角位置參考線參考線)(,trsox 角位置角位置 角位移角位移 角位置角位置角位移角位移4、描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量A.t B. t+t 角速度角速度=limt0t=ddt(rad.s-1)=t平均角速度平均角速度瞬時(shí)角速度瞬時(shí)角速度limtt=0 角加速度角加速度=ddt=ddt22=t平均角加速度平均角加速度瞬時(shí)角加速度瞬時(shí)角加速度(rad.s-2)R=s 線量和角量的關(guān)系線量和角量的關(guān)系ttttR00= slimlimRsR=R=vRsR=v=vRat=Rttt=limlim0vRt0t=Rdda2=vnR22=RRRa2=n

36、2=vRR2=5. 各量之間的關(guān)系各量之間的關(guān)系200000021,0tttdtdtdtddtdtdtddtddtdtaaaaaaa二二 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理一、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理1 1、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理設(shè)一質(zhì)點(diǎn)系設(shè)一質(zhì)點(diǎn)系n 由個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，其中由個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，其中i 質(zhì)點(diǎn)受力為：質(zhì)點(diǎn)受力為：現(xiàn)對(duì)現(xiàn)對(duì)i 質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用角動(dòng)量定理，有：質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用角動(dòng)量定理，有：ddt(ri mivi )ri ( Fi外外+fij )=對(duì)對(duì)i 求和，且一對(duì)內(nèi)力對(duì)任一點(diǎn)的力矩的矢量和為零，求和，且一對(duì)內(nèi)力對(duì)任一點(diǎn)的力矩的矢量和為零，F(xiàn)i外外+fij于是有：于

37、是有：2 2、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的角動(dòng)量定理、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的角動(dòng)量定理i 質(zhì)點(diǎn)的線速度：質(zhì)點(diǎn)的線速度：vi=ri對(duì)質(zhì)點(diǎn)系有：對(duì)質(zhì)點(diǎn)系有：dtd( ri mivi )ri Fi外外= M合外合外=Mi=ddt(miri2)令：令：I = =miri2I 稱為稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則：，則：Mi = =(I)=ddtdLdt上式為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的角動(dòng)量定理。上式為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的角動(dòng)量定理。3 3、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：?jiǎn)蝹€(gè)質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：I = =mr2質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：I = =miri2I = = mr2dm質(zhì)量連續(xù)分布的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：質(zhì)量連續(xù)分

38、布的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：dldm 質(zhì)量為線分布質(zhì)量為線分布dsdm 質(zhì)量為面分布質(zhì)量為面分布dVdm 質(zhì)量為體分布質(zhì)量為體分布 、 、 分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布線分布體分布體分布面分布面分布 例例 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解解:若為薄圓筒（不計(jì)厚度）結(jié)果相同。若為薄圓筒（不計(jì)厚度）結(jié)果相同。軸與圓環(huán)平面垂直并通過(guò)圓心。軸與圓環(huán)平面垂直并通過(guò)圓心。222mRdmRdmR dmrI2Rdm討論：討論：若圓環(huán)質(zhì)量分布不均勻，結(jié)果相同。若圓環(huán)質(zhì)量分布不均勻，結(jié)果相同。 例例 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m、半

39、徑為、半徑為R、厚為、厚為l 的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)解：取半徑為解：取半徑為r 寬為寬為dr 的薄圓環(huán)的薄圓環(huán),dVdm drlr2dmrdI32 ZORlR21drlr2dII4R03 可見(jiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與可見(jiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與l 無(wú)關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)無(wú)關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)22mR21IlRm lrdr2 動(dòng)慣量也是動(dòng)慣量也是mR2/2。慣量。軸與盤平面垂直并通過(guò)盤心。慣量。軸與盤平面垂直并通過(guò)盤心。 例例 求長(zhǎng)為求長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標(biāo)，解：取如圖坐標(biāo)，dm=dx dmrI2C d

40、mrI2A3/mLdxx2L02 12/mLdxx22L2L2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。平行軸定理平行軸定理2mhIIcomoomr122 I =ooml1122 I =oomr142 I =ooml13 I =2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量單位：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量單位：kg.m2*關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的討論：關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的討論：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)軸有關(guān)。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)軸有關(guān)。同一個(gè)物體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的。同一個(gè)物體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的。 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和質(zhì)量分布有關(guān)。和質(zhì)量分布有關(guān)。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有可加性，一個(gè)復(fù)雜形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有可加性，一個(gè)復(fù)雜形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體各個(gè)組成部分對(duì)同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。量等于剛

41、體各個(gè)組成部分對(duì)同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。作業(yè) 練習(xí)7“It is not so very important for a person to learn facts. For that he does not really need a college. He can learn them from books. The value of an education is not learning of many facts but the training of the mind to think something that cannot be learned from textbooks.”

42、Albert Einstein二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律1 1、力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩、力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩sinrFMz ZfrPdOzM轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面 FrMz 2 2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律IdtdIMn1iiz 上式為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律。上式為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律。m 反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性，反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性，I反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力矩是使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變而產(chǎn)生角加速度的原因。力矩是使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變而產(chǎn)生角加速度的原因。*關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)定律的討論：關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)定律的討論：MI 與與地位相當(dāng)?shù)匚幌喈?dāng)maF * *剛體剛體轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)定定律的律的另一種

43、形式另一種形式剛體剛體所受的外力矩等于剛體角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。所受的外力矩等于剛體角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。dtdIIM dtdLdtIdM )(則：則：dtdLM 竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？ 例例 如圖所示，兩物體如圖所示，兩物體1 1和和2 2的質(zhì)量分別為的質(zhì)量分別為m1與與m2，m22T1Tm1滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J, ,半徑為半徑為r 。如物體如物體2 2與桌面間的摩擦系數(shù)為與桌面間的摩擦系數(shù)為，求系統(tǒng)的加速，求系統(tǒng)的加速度度a 及繩中的張力及繩中的張力 T1 與與 T2（設(shè)繩子與滑輪間無(wú)相（設(shè)繩子與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)）；對(duì)滑動(dòng)）；如物體如物體2 2與桌面

44、間為光滑接觸，求系統(tǒng)的加速度與桌面間為光滑接觸，求系統(tǒng)的加速度a 及繩中的張力及繩中的張力 T1與與 T2 。fm=Ngm2m=1T=m a1gm12T=m a2fa =rNgf2Tm2m22T1Tagm11Tm1解：解：0N=gm2Ir=1T2T r+=r2+m2mgm1m2I()r2+m1m2I1T+=r2+m1mgm2m1I()r2+m1m2I2Tmr2+a =gm2mgm1m1m2I解得：解得：gm1r2+m1m2Ia=+=r2gm1m2I()r2+m1m2I1T=gm2m1r2+m1m2I2Tm= 0轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與角動(dòng)量的關(guān)系轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與角動(dòng)量的關(guān)系2ILE 2k 2mpE 2k 2kmv

45、21E 三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理1 1、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能22n1i2ii22in1iikI21rm21rm21E )(2kI21E 2 2、力矩的功、力矩的功dMdrFdsFdAiiiiii 式中式中iiirFM 對(duì)對(duì)i 求和，得：求和，得：MddMdAi )(dMA21 力矩的功率為：力矩的功率為：MdtdMdtdAP O轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面Zdm上式上式 A 為力矩的功。為力矩的功。r ddFndFdF Mz3 3、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理ddIdtdddIIdtdIM 2121 dIdM當(dāng)當(dāng)=1 1 時(shí)，時(shí)，=1 1 所以：所以：2122I21I2

46、1dM21 例例 一根長(zhǎng)為一根長(zhǎng)為l、質(zhì)量為、質(zhì)量為m 的均勻細(xì)直棒，其一端有的均勻細(xì)直棒，其一端有力矩為重力對(duì)力矩為重力對(duì)O的力矩。的力矩。 棒棒dlcosglgdmcosldM 一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺 角時(shí)的角加角時(shí)的角加速度和角速度。速度和角速度。解：棒下擺為加速過(guò)程，外解：棒下擺為加速過(guò)程，外上取質(zhì)元上取質(zhì)元dm,當(dāng)棒處在下擺當(dāng)棒處在下擺 角時(shí)角時(shí)，該質(zhì)量元的重力對(duì)該質(zhì)量元的重力對(duì)軸的元力矩為：軸的元力矩為： Ogdmdmldl 重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩

47、為：重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩為： Ogdmdmldl dMM L0dlcosglcosmgL21cosgL22 代入轉(zhuǎn)動(dòng)定律，可得：代入轉(zhuǎn)動(dòng)定律，可得：2Lcosg3mL31cosmgL21IM2 ddI dtd ddIdtdIIM dIdcosmgL21 00dIdcosmgL212I21sinmgL21 Lsing3IsinmgL dIMd 2mL31I cosmgl21M代入代入四、對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒定律四、對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒定律012LLttIILLdLMdt 021 0M 12LL II * *角動(dòng)量守恒定律的兩種情況：角動(dòng)量守恒定律的兩種情況：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變的剛

48、體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可變的物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可變的物體例：旋轉(zhuǎn)的舞蹈演員例：旋轉(zhuǎn)的舞蹈演員例：回轉(zhuǎn)儀例：回轉(zhuǎn)儀0 ，則：，則：0II 0M 當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)I 增大時(shí)，增大時(shí)， 就減??；當(dāng)就減?。划?dāng)I 減小時(shí)，減小時(shí)， 就增大，就增大，I從而從而 保持不變。保持不變。作業(yè) 練習(xí)8，9An example isnt another way to teach, it is the only way to teach. Albert Einstein 例例1 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為 l , 質(zhì)量為質(zhì)量為 的竿可繞支點(diǎn)的竿可繞支點(diǎn)O自由自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) . 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 、速率為、速率為 的子彈射入竿內(nèi)距支的子彈射入竿內(nèi)距支點(diǎn)

49、為點(diǎn)為 處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為30 . 問(wèn)子彈的初速率為問(wèn)子彈的初速率為多少多少 ?vamm 解解 把子彈和竿看作一個(gè)系統(tǒng)把子彈和竿看作一個(gè)系統(tǒng) .子彈射入竿的過(guò)程系統(tǒng)角動(dòng)量守恒子彈射入竿的過(guò)程系統(tǒng)角動(dòng)量守恒)31(22malmamvoamv302233malmamvoamv30mamalmmalmg6)3)(2)(32(22v222)31(21malm)30cos1 (2lgm)30cos1 (mga 射入竿后，以子彈、細(xì)桿和射入竿后，以子彈、細(xì)桿和地球?yàn)橄到y(tǒng)地球?yàn)橄到y(tǒng) ，機(jī)械能守恒，機(jī)械能守恒 .2233malmamv 例例2 質(zhì)量很小長(zhǎng)度為質(zhì)量很小長(zhǎng)度為l 的均勻細(xì)桿的均勻

50、細(xì)桿,可繞過(guò)其中心可繞過(guò)其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)細(xì)桿靜止于水平當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí)位置時(shí), 有一只小蟲(chóng)以速率有一只小蟲(chóng)以速率 垂直落在距點(diǎn)垂直落在距點(diǎn)O為 l/4 處處, 并并背離點(diǎn)背離點(diǎn)O 向細(xì)桿的端點(diǎn)向細(xì)桿的端點(diǎn)A 爬行爬行.設(shè)小蟲(chóng)與細(xì)桿的質(zhì)量均為設(shè)小蟲(chóng)與細(xì)桿的質(zhì)量均為m.問(wèn)問(wèn):欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng), 小蟲(chóng)應(yīng)以多大速率小蟲(chóng)應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?0v220)4(1214lmmllmvl0712 v 解解 小蟲(chóng)與細(xì)桿的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞小蟲(chóng)與細(xì)桿的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞前

51、后系統(tǒng)角動(dòng)量守恒前后系統(tǒng)角動(dòng)量守恒l0712 v由角動(dòng)量定理由角動(dòng)量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22即即考慮到考慮到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg 例例3 一雜技演員一雜技演員 M 由距水平蹺板高為由距水平蹺板高為 h 處自由下處自由下落到蹺板的一端落到蹺板的一端A,并把蹺板另一端的演員并把蹺板另一端的演員N 彈了起來(lái)彈了起來(lái).設(shè)設(shè)蹺板是勻質(zhì)的蹺板是勻質(zhì)的,長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為l,質(zhì)量為質(zhì)量為 ,蹺板可繞中部支撐點(diǎn)蹺板可繞中部支撐點(diǎn)C 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),演員的質(zhì)量均為演員的質(zhì)量均為m.假定演員假定演員

52、M落在蹺落在蹺板上板上,與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞.問(wèn)演員問(wèn)演員N可彈起多可彈起多高高?ll/2CABMNh 解解 碰撞前碰撞前 M 落在落在 A點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度21M)2( ghv 碰撞后的瞬間碰撞后的瞬間, M、N具有相同的線速度具有相同的線速度2lu m 把把M、N和蹺板作為和蹺板作為一個(gè)系統(tǒng)一個(gè)系統(tǒng), 角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒21M)(2gh v2lu 22M21121222mllmlmuJlmvlmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得解得演員演員 N 以以 u 起起跳跳, 達(dá)到的高度達(dá)到的高度hmmmglguh2222)63(82ll/2CABMNh 例例 一半徑為一半徑為 R 的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi).一質(zhì)量一質(zhì)量為為 m 的小球穿在圓環(huán)上的小球穿在圓環(huán)上, 并可在圓環(huán)上滑動(dòng)并可在圓環(huán)上滑動(dòng). 小球開(kāi)始時(shí)小球開(kāi)始時(shí)靜止于圓環(huán)上的點(diǎn)靜止于圓環(huán)上的點(diǎn) A (該點(diǎn)在通過(guò)環(huán)心該點(diǎn)在通過(guò)環(huán)心 O 的水平面上的水平面上),然然后從后從 A 點(diǎn)開(kāi)始下滑點(diǎn)開(kāi)始下滑.設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計(jì)設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計(jì).求小求小球滑到點(diǎn)球滑到點(diǎn) B 時(shí)對(duì)環(huán)心時(shí)對(duì)環(huán)心 O 的角動(dòng)量和角速度的角動(dòng)量和角速度. 解解 小球受重力和支持小球