動態(tài)規(guī)劃講解大全(含例題及答案)

1、動態(tài)規(guī)劃講解大全動態(tài)規(guī)劃(dynamic programming)是運(yùn)籌學(xué)的一個分支，是求解決策過程(decision process)最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法。20世紀(jì)50年代初美國數(shù)學(xué)家R.E.Bellman等人在研究多階段決策過程(multistep decision process)的優(yōu)化問題時，提出了著名的最優(yōu)化原理(principle of optimality)，把多階段過程轉(zhuǎn)化為一系列單階段問題，逐個求解，創(chuàng)立了解決這類過程優(yōu)化問題的新方法動態(tài)規(guī)劃。1957年出版了他的名著Dynamic Programming，這是該領(lǐng)域的第一本著作。動態(tài)規(guī)劃問世以來，在經(jīng)濟(jì)管理、生產(chǎn)調(diào)度、工程技術(shù)和

2、最優(yōu)控制等方面得到了廣泛的應(yīng)用。例如最短路線、庫存管理、資源分配、設(shè)備更新、排序、裝載等問題，用動態(tài)規(guī)劃方法比用其它方法求解更為方便。雖然動態(tài)規(guī)劃主要用于求解以時間劃分階段的動態(tài)過程的優(yōu)化問題，但是一些與時間無關(guān)的靜態(tài)規(guī)劃(如線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃)，只要人為地引進(jìn)時間因素，把它視為多階段決策過程，也可以用動態(tài)規(guī)劃方法方便地求解。動態(tài)規(guī)劃程序設(shè)計(jì)是對解最優(yōu)化問題的一種途徑、一種方法，而不是一種特殊算法。不象前面所述的那些搜索或數(shù)值計(jì)算那樣，具有一個標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)表達(dá)式和明確清晰的解題方法。動態(tài)規(guī)劃程序設(shè)計(jì)往往是針對一種最優(yōu)化問題，由于各種問題的性質(zhì)不同，確定最優(yōu)解的條件也互不相同，因而動態(tài)規(guī)劃的設(shè)計(jì)

3、方法對不同的問題，有各具特色的解題方法，而不存在一種萬能的動態(tài)規(guī)劃算法，可以解決各類最優(yōu)化問題。因此讀者在學(xué)習(xí)時，除了要對基本概念和方法正確理解外，必須具體問題具體分析處理，以豐富的想象力去建立模型，用創(chuàng)造性的技巧去求解。我們也可以通過對若干有代表性的問題的動態(tài)規(guī)劃算法進(jìn)行分析、討論，逐漸學(xué)會并掌握這一設(shè)計(jì)方法?；灸Ｐ投嚯A段決策過程的最優(yōu)化問題。在現(xiàn)實(shí)生活中，有一類活動的過程，由于它的特殊性，可將過程分成若干個互相聯(lián)系的階段，在它的每一階段都需要作出決策，從而使整個過程達(dá)到最好的活動效果。當(dāng)然，各個階段決策的選取不是任意確定的，它依賴于當(dāng)前面臨的狀態(tài)，又影響以后的發(fā)展，當(dāng)各個階段決策確定后，

4、就組成一個決策序列，因而也就確定了整個過程的一條活動路線，如圖所示：（看詞條圖）這種把一個問題看作是一個前后關(guān)聯(lián)具有鏈狀結(jié)構(gòu)的多階段過程就稱為多階段決策過程，這種問題就稱為多階段決策問題。記憶化搜索給你一個數(shù)字三角形, 形式如下:12 34 5 67 8 9 10找出從第一層到最后一層的一條路,使得所經(jīng)過的權(quán)值之和最小或者最大.無論對與新手還是老手，這都是再熟悉不過的題了，很容易地，我們寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：f(i, j)=ai, j + minf(i+1, j)，f(i+1, j + 1)對于動態(tài)規(guī)劃算法解決這個問題，我們根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方向，比較容易地寫出動態(tài)規(guī)劃的循環(huán)表示方法。但是

5、，當(dāng)狀態(tài)和轉(zhuǎn)移非常復(fù)雜的時候，也許寫出循環(huán)式的動態(tài)規(guī)劃就不是那么簡單了。解決方法：我們嘗試從正面的思路去分析問題，如上例，不難得出一個非常簡單的遞歸過程 :f1:=f(i-1,j+1); f2:=f(i-1,j);if f1f2 then f:=f1+ai,j else f:=f2+ai,j;顯而易見，這個算法就是最簡單的搜索算法。時間復(fù)雜度為2n，明顯是會超時的。分析一下搜索的過程，實(shí)際上，很多調(diào)用都是不必要的，也就是把產(chǎn)生過的最優(yōu)狀態(tài)，又產(chǎn)生了一次。為了避免浪費(fèi)，很顯然，我們存放一個opt數(shù)組：Opti, j - 每產(chǎn)生一個f(i, j)，將f(i, j)的值放入opt中，以后再次調(diào)用到f

6、(i, j)的時候，直接從opti, j來取就可以了。于是動態(tài)規(guī)劃的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程被直觀地表示出來了，這樣節(jié)省了思維的難度，減少了編程的技巧，而運(yùn)行時間只是相差常數(shù)的復(fù)雜度，避免了動態(tài)規(guī)劃狀態(tài)轉(zhuǎn)移先后的問題，而且在相當(dāng)多的情況下，遞歸算法能更好地避免浪費(fèi)，在比賽中是非常實(shí)用的.狀態(tài) 決策決策：當(dāng)前狀態(tài)通過決策,回到了以前狀態(tài).可見決策其實(shí)就是狀態(tài)之間的橋梁。而以前狀態(tài)也就決定了當(dāng)前狀態(tài)的情況。數(shù)字三角形的決策就是選擇相鄰的兩個以前狀態(tài)的最優(yōu)值。狀態(tài)：我們一般在動規(guī)的時候所用到的一些數(shù)組，也就是用來存儲每個狀態(tài)的最優(yōu)值的。我們就從動態(tài)規(guī)劃的要訣，也就是核心部分“狀態(tài)”開始，來逐步了解動態(tài)規(guī)劃。有時

7、候當(dāng)前狀態(tài)確定后,以前狀態(tài)就已經(jīng)確定,則無需枚舉.動態(tài)規(guī)劃算法的應(yīng)用一、動態(tài)規(guī)劃的概念近年來，涉及動態(tài)規(guī)劃的各種競賽題越來越多，每一年的NOI幾乎都至少有一道題目需要用動態(tài)規(guī)劃的方法來解決；而競賽對選手運(yùn)用動態(tài)規(guī)劃知識的要求也越來越高，已經(jīng)不再停留于簡單的遞推和建模上了。要了解動態(tài)規(guī)劃的概念，首先要知道什么是多階段決策問題。1. 多階段決策問題如果一類活動過程可以分為若干個互相聯(lián)系的階段，在每一個階段都需作出決策(采取措施)，一個階段的決策確定以后，常常影響到下一個階段的決策，從而就完全確定了一個過程的活動路線，則稱它為多階段決策問題。各個階段的決策構(gòu)成一個決策序列，稱為一個策略。每一個階段都

8、有若干個決策可供選擇，因而就有許多策略供我們選取，對應(yīng)于一個策略可以確定活動的效果，這個效果可以用數(shù)量來確定。策略不同，效果也不同，多階段決策問題，就是要在可以選擇的那些策略中間，選取一個最優(yōu)策略，使在預(yù)定的標(biāo)準(zhǔn)下達(dá)到最好的效果.2動態(tài)規(guī)劃問題中的術(shù)語階段：把所給求解問題的過程恰當(dāng)?shù)胤殖扇舾蓚€相互聯(lián)系的階段，以便于求解，過程不同，階段數(shù)就可能不同描述階段的變量稱為階段變量。在多數(shù)情況下，階段變量是離散的，用k表示。此外，也有階段變量是連續(xù)的情形。如果過程可以在任何時刻作出決策，且在任意兩個不同的時刻之間允許有無窮多個決策時，階段變量就是連續(xù)的。在前面的例子中，第一個階段就是點(diǎn)A，而第二個階段就

9、是點(diǎn)A到點(diǎn)B，第三個階段是點(diǎn)B到點(diǎn)C，而第四個階段是點(diǎn)C到點(diǎn)D。狀態(tài)：狀態(tài)表示每個階段開始面臨的自然狀況或客觀條件，它不以人們的主觀意志為轉(zhuǎn)移，也稱為不可控因素。在上面的例子中狀態(tài)就是某階段的出發(fā)位置，它既是該階段某路的起點(diǎn)，同時又是前一階段某支路的終點(diǎn)。在前面的例子中，第一個階段有一個狀態(tài)即A，而第二個階段有兩個狀態(tài)B1和B2，第三個階段是三個狀態(tài)C1，C2和C3，而第四個階段又是一個狀態(tài)D。過程的狀態(tài)通?？梢杂靡粋€或一組數(shù)來描述，稱為狀態(tài)變量。一般，狀態(tài)是離散的，但有時為了方便也將狀態(tài)取成連續(xù)的。當(dāng)然，在現(xiàn)實(shí)生活中，由于變量形式的限制，所有的狀態(tài)都是離散的，但從分析的觀點(diǎn)，有時將狀態(tài)作為連

10、續(xù)的處理將會有很大的好處。此外，狀態(tài)可以有多個分量(多維情形)，因而用向量來代表；而且在每個階段的狀態(tài)維數(shù)可以不同。當(dāng)過程按所有可能不同的方式發(fā)展時，過程各段的狀態(tài)變量將在某一確定的范圍內(nèi)取值。狀態(tài)變量取值的集合稱為狀態(tài)集合。無后效性：我們要求狀態(tài)具有下面的性質(zhì)：如果給定某一階段的狀態(tài)，則在這一階段以后過程的發(fā)展不受這階段以前各段狀態(tài)的影響，所有各階段都確定時，整個過程也就確定了。換句話說，過程的每一次實(shí)現(xiàn)可以用一個狀態(tài)序列表示，在前面的例子中每階段的狀態(tài)是該線路的始點(diǎn)，確定了這些點(diǎn)的序列，整個線路也就完全確定。從某一階段以后的線路開始，當(dāng)這段的始點(diǎn)給定時，不受以前線路（所通過的點(diǎn)）的影響。狀

11、態(tài)的這個性質(zhì)意味著過程的歷史只能通過當(dāng)前的狀態(tài)去影響它的未來的發(fā)展，這個性質(zhì)稱為無后效性。決策：一個階段的狀態(tài)給定以后，從該狀態(tài)演變到下一階段某個狀態(tài)的一種選擇（行動）稱為決策。在最優(yōu)控制中，也稱為控制。在許多間題中，決策可以自然而然地表示為一個數(shù)或一組數(shù)。不同的決策對應(yīng)著不同的數(shù)值。描述決策的變量稱決策變量，因狀態(tài)滿足無后效性，故在每個階段選擇決策時只需考慮當(dāng)前的狀態(tài)而無須考慮過程的歷史。決策變量的范圍稱為允許決策集合。策略：由每個階段的決策組成的序列稱為策略。對于每一個實(shí)際的多階段決策過程，可供選取的策略有一定的范圍限制，這個范圍稱為允許策略集合。允許策略集合中達(dá)到最優(yōu)效果的策略稱為最優(yōu)策

12、略。給定k階段狀態(tài)變量x(k)的值后，如果這一階段的決策變量一經(jīng)確定，第k+1階段的狀態(tài)變量x(k+1)也就完全確定，即x(k+1)的值隨x(k)和第k階段的決策u(k)的值變化而變化，那么可以把這一關(guān)系看成(x(k)，u(k)與x(k+1)確定的對應(yīng)關(guān)系，用x(k+1)=Tk(x(k),u(k)表示。這是從k階段到k+1階段的狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律，稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。最優(yōu)性原理:作為整個過程的最優(yōu)策略，它滿足：相對前面決策所形成的狀態(tài)而言，余下的子策略必然構(gòu)成“最優(yōu)子策略”。D也是B1到D的最短路徑事實(shí)正是如此，因此我們認(rèn)為這個例子滿足最優(yōu)性原理的要求。C2C2是A到C2的最短路徑，B1B1D，這些點(diǎn)

13、的選擇構(gòu)成了這個例子的最優(yōu)策略，根據(jù)最優(yōu)性原理，這個策略的每個子策略應(yīng)是最優(yōu)：AC2B1最優(yōu)性原理實(shí)際上是要求問題的最優(yōu)策略的子策略也是最優(yōu)。讓我們通過對前面的例子再分析來具體說明這一點(diǎn)：從A到D，我們知道，最短路徑是A動態(tài)規(guī)劃練習(xí)題USACO 2.2 Subset Sums題目如下：對于從1到N的連續(xù)整集合合，能劃分成兩個子集合，且保證每個集合的數(shù)字和是相等的。舉個例子，如果N=3，對于1，2，3能劃分成兩個子集合，他們每個的所有數(shù)字和是相等的：and 1,2這是唯一一種分發(fā)（交換集合位置被認(rèn)為是同一種劃分方案，因此不會增加劃分方案總數(shù)）如果N=7，有四種方法能劃分集合1，2，3，4，5，6

14、，7，每一種分發(fā)的子集合各數(shù)字和是相等的:1,6,7 and 2,3,4,5 注 1+6+7=2+3+4+52,5,7 and 1,3,4,63,4,7 and 1,2,5,61,2,4,7 and 3,5,6給出N，你的程序應(yīng)該輸出劃分方案總數(shù)，如果不存在這樣的劃分方案，則輸出0。程序不能預(yù)存結(jié)果直接輸出。PROGRAM NAME: subsetINPUT FORMAT輸入文件只有一行，且只有一個整數(shù)NSAMPLE INPUT (file subset.in)7OUTPUT FORMAT輸出劃分方案總數(shù)，如果不存在則輸出0。SAMPLE OUTPUT (file subset.out)4參考

15、程序如下：#include using namespace std;const unsigned int MAX_SUM = 1024;int n;unsigned long long int dynMAX_SUM;ifstream fin (subset.in);ofstream fout (subset.out);int main() fin n;fin.close();int s = n*(n+1);if (s % 4) fout 0 endl;fout.close ();return ;s /= 4;int i, j;dyn 0 = 1;for (i = 1; i = i; j-)dy

16、nj += dynj-i;fout (dyns/2) endl;fout.close();return 0;USACO 2.3 Longest Prefix題目如下：在生物學(xué)中，一些生物的結(jié)構(gòu)是用包含其要素的大寫字母序列來表示的。生物學(xué)家對于把長的序列分解成較短的（稱之為元素的）序列很感興趣。如果一個集合 P 中的元素可以通過串聯(lián)（允許重復(fù)；串聯(lián)，相當(dāng)于 Pascal 中的 “+” 運(yùn)算符）組成一個序列 S ，那么我們認(rèn)為序列 S 可以分解為 P 中的元素。并不是所有的元素都必須出現(xiàn)。舉個例子，序列 ABABACABAAB 可以分解為下面集合中的元素：A, AB, BA, CA, BBC序列

17、S 的前面 K 個字符稱作 S 中長度為 K 的前綴。設(shè)計(jì)一個程序，輸入一個元素集合以及一個大寫字母序列，計(jì)算這個序列最長的前綴的長度。PROGRAM NAME: prefixINPUT FORMAT輸入數(shù)據(jù)的開頭包括 1.200 個元素（長度為 1.10 ）組成的集合，用連續(xù)的以空格分開的字符串表示。字母全部是大寫，數(shù)據(jù)可能不止一行。元素集合結(jié)束的標(biāo)志是一個只包含一個 “.” 的行。集合中的元素沒有重復(fù)。接著是大寫字母序列 S ，長度為 1.200,000 ，用一行或者多行的字符串來表示，每行不超過 76 個字符。換行符并不是序列 S 的一部分。SAMPLE INPUT (file pref

18、ix.in)A AB BA CA BBC.ABABACABAABCOUTPUT FORMAT只有一行，輸出一個整數(shù)，表示 S 能夠分解成 P 中元素的最長前綴的長度。SAMPLE OUTPUT (file prefix.out)11示例程序如下：#include #define MAXP 200#define MAXL 10char primMAXP+1MAXL+1;int nump;int start200001;char data200000;int ndata;int main(int argc, char *argv)FILE *fout, *fin;int best;int lv,

19、lv2, lv3;if (fin = fopen(prim.in, r) = NULL)perror (fopen fin);exit(1);if (fout = fopen(prim.out, w) = NULL)perror (fopen fout);exit(1);while (1)fscanf (fin, %s, primnump);if (primnump0 != .) nump+;else break;ndata = 0;while (fscanf (fin, %s, data+ndata) = 1)ndata += strlen(data+ndata);start0 = 1;be

20、st = 0;for (lv = 0; lv ndata; lv+)if (startlv)best = lv;for (lv2 = 0; lv2 nump; lv2+)for (lv3 = 0; lv + lv3 ndata & primlv2lv3 &primlv2lv3 = datalv+lv3; lv3+);if (!primlv2lv3)startlv + lv3 = 1;if (startndata) best = ndata;fprintf (fout, %in, best);return 0;USACO 3.1 Score Inflation題目如下：我們試著設(shè)計(jì)我們的競賽以便

21、人們能盡可能的多得分,這需要你的幫助。我們可以從幾個種類中選取競賽的題目,這里的一個種類是指一個競賽題目的集合,解決集合中的題目需要相同多的時間并且能得到相同的分?jǐn)?shù)。你的任務(wù)是寫一個程序來告訴USACO的職員,應(yīng)該從每一個種類中選取多少題目,使得解決題目的總耗時在競賽規(guī)定的時間里并且總分最大。輸入包括競賽的時間,M(1 = M = 10,000)和N,種類的數(shù)目1 = N = 10,000。后面的每一行將包括兩個整數(shù)來描述一個種類:第一個整數(shù)說明解決這種題目能得的分?jǐn)?shù)(1 = points = 10000),第二整數(shù)說明解決這種題目所需的時間(1 = minutes = 10000)。你的程序

22、應(yīng)該確定我們應(yīng)該從每個種類中選多少道題目使得能在競賽的時間中得到最大的分?jǐn)?shù)。來自任意的種類的題目數(shù)目可能任何非負(fù)數(shù)(0或更多)。計(jì)算可能得到的最大分?jǐn)?shù)。PROGRAM NAME: inflateINPUT FORMAT第 1 行: M, N-競賽的時間和題目種類的數(shù)目。第 2-N+1 行: 兩個整數(shù):每個種類題目的分?jǐn)?shù)和耗時。SAMPLE INPUT (file inflate.in)300 4100 60250 120120 10035 20OUTPUT FORMAT單獨(dú)的一行包括那個在給定的限制里可能得到的最大的分?jǐn)?shù)。SAMPLE OUTPUT (file inflate.out)605從

23、第2個種類中選兩題，第4個種類中選三題示例程序如下：#include ifstream fin(inflate.in);ofstream fout(inflate.out);const short maxm = 10010;long bestmaxm, m, n;voidmain()short i, j, len, pts;fin m n;for (j = 0; j = m; j+)bestj = 0;for (i = 0; i pts len;for (j = len; j bestj)bestj = bestj-len + pts;fout bestm endl; / 由于數(shù)組元素不減，末

24、元素最大USACO 3.3 A Game題目如下：有如下一個雙人游戲:N(2 = N = 100)個正整數(shù)的序列放在一個游戲平臺上，兩人輪流從序列的兩端取數(shù)，取數(shù)后該數(shù)字被去掉并累加到本玩家的得分中，當(dāng)數(shù)取盡時，游戲結(jié)束。以最終得分多者為勝。編一個執(zhí)行最優(yōu)策略的程序，最優(yōu)策略就是使自己能得到在當(dāng)前情況下最大的可能的總分的策略。你的程序要始終為第二位玩家執(zhí)行最優(yōu)策略。PROGRAM NAME: game1INPUT FORMAT第一行: 正整數(shù)N, 表示序列中正整數(shù)的個數(shù)。第二行至末尾: 用空格分隔的N個正整數(shù)（大小為1-200）。SAMPLE INPUT (file game1.in)64 7

25、 2 95 2OUTPUT FORMAT只有一行，用空格分隔的兩個整數(shù): 依次為玩家一和玩家二最終的得分。SAMPLE OUTPUT (file game1.out)18 11參考程序如下：#include #define NMAX 101int bestNMAX2, tNMAX;int n;voidreadx () int i, aux;freopen (game1.in, r, stdin);scanf (%d, &n);for (i = 1; i y ? y : x;voidsolve () int i, l;for (l = 1; l = n; l+)for (i = 1; i + l

26、 = n + 1; i+)bestl%2 = ti + l - 1 - ti - 1 - min (besti + 1(l - 1) % 2,best(l - 1) % 2);void writex () freopen (game1.out, w, stdout);printf (%d %dn, best1n % 2, tn - best1n % 2);fclose (stdout);intmain () readx ();solve ();writex ();return 0;USACO 3.4 Raucous Rockers題目如下：你剛剛得到了流行的“破鑼搖滾”樂隊(duì)錄制的尚未發(fā)表的N(

27、1 = N = 20)首歌的版權(quán)。你打算從中精選一些歌曲，發(fā)行M(1 = M = 20)張CD。每一張CD最多可以容納T(1 = T = 20)分鐘的音樂，一首歌不能分裝在兩張CD中。不巧你是一位古典音樂迷，不懂如何判定這些歌的藝術(shù)價值。于是你決定根據(jù)以下標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行選擇：歌曲必須按照創(chuàng)作的時間順序在CD盤上出現(xiàn)。選中的歌曲數(shù)目盡可能地多。PROGRAM NAME: rockersINPUT FORMAT第一行： 三個整數(shù)：N, T, M.第二行： N個整數(shù)，分別表示每首歌的長度，按創(chuàng)作時間順序排列。SAMPLE INPUT (file rockers.in)4 5 24 3 4 2OUTPUT

28、FORMAT一個整數(shù)，表示可以裝進(jìn)M張CD盤的樂曲的最大數(shù)目。SAMPLE OUTPUT (file rockers.out)3參考程序如下：#include #define MAX 25int dpMAXMAXMAX, lengthMAX;intmain ()FILE *in = fopen (rockers.in, r);FILE *out = fopen (rockers.out, w);int a, b, c, d, best, numsongs, cdlength, numcds;fscanf (in, %d%d%d, &numsongs, &cdlength, &numcds);f

29、or (a = 1; a = numsongs; a+)fscanf (in, %d, &lengtha);best = 0;for (a = 0; a numcds; a+)for (b = 0; b = cdlength; b+)for (c = 0; c = numsongs; c+) for (d = c + 1; d = numsongs; d+) if (b + lengthd dpab + lengthdd)dpab + lengthdd = dpac + 1;else if (dpac + 1 dpa + 1lengthdd)dpa + 1lengthdd = dpac + 1

30、;if (dpac best)best = dpac;fprintf (out, %dn, best);return 0;解決背包問題動態(tài)規(guī)劃的定義：動態(tài)規(guī)劃的基本思想是把待求解的問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然后再從這些子問題的解得到原問題的解，其中用動態(tài)規(guī)劃分解得到的子問題往往不是互相獨(dú)立的。動態(tài)規(guī)劃在查找有很多重疊子問題的情況的最優(yōu)解時有效。它將問題重新組合成子問題。為了避免多次解決這些子問題，它們的結(jié)果都逐漸被計(jì)算并被保存，從簡單的問題直到整個問題都被解決。因此，動態(tài)規(guī)劃保存遞歸時的結(jié)果，因而不會在解決同樣的問題時花費(fèi)時間。動態(tài)規(guī)劃只能應(yīng)用于有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)的問題。最優(yōu)子結(jié)構(gòu)的意思

31、是局部最優(yōu)解能決定全局最優(yōu)解(對有些問題這個要求并不能完全滿足，故有時需要引入一定的近似)。簡單地說，問題能夠分解成子問題來解決。求解步驟如下：1. 找出最優(yōu)解的性質(zhì)，并刻畫其結(jié)構(gòu)特征；2. 遞歸地定義最優(yōu)值；3. 以自底向上的方式計(jì)算出最優(yōu)值；4. 根據(jù)計(jì)算最優(yōu)值時得到的信息，構(gòu)造最優(yōu)解。問題描述及實(shí)現(xiàn)：背包問題：解決背包問題的方法有多種，動態(tài)規(guī)劃，貪心算法，回溯法，分支定界法都能解決背包問題。其中動態(tài)規(guī)劃，回溯法，分支定界法都是解決0-1背包問題的方法。背包問題與0-1背包問題的不同點(diǎn)在于在選擇物品裝入背包時，可以只選擇物品的一部分，而不一定是選擇物品的全部。在這里，我們組用的有貪心法和動

32、態(tài)規(guī)劃法來對這個問題進(jìn)行算法的分析設(shè)計(jì)。用動態(tài)規(guī)劃的方法可以看出如果通過第n次選擇得到的是一個最優(yōu)解的話，那么第n-1次選擇的結(jié)果一定也是一個最優(yōu)解。這符合動態(tài)規(guī)劃中最優(yōu)子問題的性質(zhì)。動態(tài)規(guī)劃方法是處理分段過程最優(yōu)化一類問題極其有效的方法。在實(shí)際生活中，有一類問題的活動過程可以分成若干個階段，而且在任一階段后的行為依賴于該階段的狀態(tài)，與該階段之前的過程是如何達(dá)到這種狀態(tài)的方式無關(guān)。這類問題的解決是多階段的決策過程?？紤]用動態(tài)規(guī)劃的方法來解決，這里的：階段是：在前n件物品中，選取若干件物品放入背包中；狀態(tài)是：在前n件物品中，選取若干件物品放入所?？臻g為w的背包中的所最大價值；決策是：第n件物品放或者不放； 由此可以寫出動態(tài)轉(zhuǎn)移方程：我們用fi,j表示在前 i 件物品中選擇若干件放在所?？臻g為 j 的背包里所能獲得最大價值是：fi,j=maxfi-1,j-wi+pi (j=wi), fi-1,j。這樣，我們可以自底向上地得出在前m件物品中取出若干件放進(jìn)背包能獲得的最大價值，也就是fm,w令f(i,j)表示用前i個物體裝出重量為j的組合時的最大價值f(i,j)=maxf(i-1,j), f(i-1, j-wi)+vi ,i0, j=wi;f(i,j) = f(i-1,j