考研數(shù)學]北京航天航空大學線性代數(shù)6-3正定二次型

1、2021/4/11第三節(jié) 正定二次型 對二次型對二次型f (x1, x2, , xn)經(jīng)過滿秩變換后可化經(jīng)過滿秩變換后可化為規(guī)范形為規(guī)范形.22122221rppyyyyyf 為討論其性質(zhì)為討論其性質(zhì), 在應用中對二次型進行以在應用中對二次型進行以下分類下分類.2021/4/12定義定義 設設f (x1, x2, , xn)=x Ax為實二次型為實二次型, 若若對于任意非零實向量對于任意非零實向量x=(x1, x2, , xn) , 都有都有f=x Ax0, 稱稱f為為正定二次型正定二次型, 對稱矩陣對稱矩陣A稱為稱為正定矩陣正定矩陣.f=x Ax0, f=x2Ax20,因此因此f正定正定.2

2、021/4/14例例2 判斷實二次型判斷實二次型2122212182),(xxxxxxf 的類型的類型.解解 取取x1=(1, 0), x2=(1, -1), 有有, 05)1, 1(, 01)0 , 1( f f因此由定義因此由定義f是不定二次型是不定二次型.問題問題：如何判定所給定的二次型的類型：如何判定所給定的二次型的類型?定理定理3.1 設設n元實二次型元實二次型f = x Ax的秩為的秩為r, 正慣正慣性指數(shù)為性指數(shù)為p, 則則f 為為正定二次型正定二次型p=r=n, 即標準形中有即標準形中有n個正項個正項;負定二次型負定二次型p=0, 即標準形中有即標準形中有n個負項個負項;202

3、1/4/15半正定二次型半正定二次型p=rn, 即標準形中只有即標準形中只有r個正項個正項;半負定二次型半負定二次型p=0, rn, 即標準形中只有即標準形中只有r個負個負項項;不定二次型不定二次型0p0(i=1, 2, , n).2021/4/16顯然顯然, 0),(02010 nyyyy代入代入(1)右端右端, 總有總有 f 0.由由x=Cyy=C-1x.將它視為系數(shù)矩陣為滿秩矩陣將它視為系數(shù)矩陣為滿秩矩陣C-1的非齊次方的非齊次方程組程組, 由克萊姆法則由克萊姆法則, 對任意非零向量對任意非零向量y, 有唯一有唯一的非零向量的非零向量),(02010nxxxx 與之對應與之對應.由由y0

4、的任意性的任意性, 因此因此x0任意任意, 因此恒有因此恒有f = x Ax0, 這樣這樣f正定正定.()反證反證.若若f正定正定, 但標準形不是但標準形不是(1), 即即p0.x (kA)x=k x Ax0(k0).(2) x (C AC)x=(Cx) A(Cx)0. (Cx=y0)注注 C AC與與A的正定、負定或不定一致的正定、負定或不定一致(合同變合同變換保秩、保正、負慣性指數(shù)換保秩、保正、負慣性指數(shù)).2021/4/19性質(zhì)性質(zhì)2 若若A=(aij)nn是正定矩陣是正定矩陣, 則則aii0(i=1,2,n).證明證明由定義由定義, A正定正定, 因此因此 x 0, x Ax0.取取n

5、ixi, 2 , 1,)0 , 0 , 1 , 0 , 0( 則則 010), 0 , 1 , 0 , 0(212222111211nnnnnniiaaaaaaaaaA ), 2 , 1(, 0ni aii 2021/4/110注注 (1) 反之不成立反之不成立.例例2中中 2441Aa110, a220, 但不是正定矩陣但不是正定矩陣.(2) 可用來判斷二次型不是正定的可用來判斷二次型不是正定的.例例3 2551Aa22=20, 因此因此A不是正定矩不是正定矩陣陣.另外另外22212121210),(xxxxxxf 2222127)5(xxx 令令 222115xyxxy則則222127yy

6、f 是不定二次型是不定二次型.2021/4/111(3) 若若A=(aij)nn是負定矩陣是負定矩陣, 則則aii0.證明證明由性質(zhì)由性質(zhì)4, A正定正定, 則存在滿秩矩陣則存在滿秩矩陣B, 使得使得A=B B. 因此因此|A|=|B |B|=|B|20.注注 性質(zhì)性質(zhì)5為必要條件為必要條件. A負定時不一定有負定時不一定有|A|0.性質(zhì)性質(zhì)6 A為正定矩陣為正定矩陣 A的所有順序主子式皆的所有順序主子式皆大于零大于零.順序主子式順序主子式,11a,22211211aaaa.A2021/4/113A負定負定 A正定正定.A負定負定 A的奇數(shù)階順序主子式小于零的奇數(shù)階順序主子式小于零, 偶數(shù)階偶

7、數(shù)階順序主子式大于零順序主子式大于零.性質(zhì)性質(zhì)7 A正定正定A的特征值全為正數(shù)的特征值全為正數(shù). 例例4 判斷實二次型判斷實二次型32212322213214252),(xxxxxxxxxxf 是否正定是否正定.判斷方法判斷方法1. 順序主子式順序主子式(性質(zhì)性質(zhì)6)2. 標準形標準形(定理定理3.1)3. 特征值特征值(性質(zhì)性質(zhì)7)2021/4/114解解方法一方法一二次型所對應的矩陣為二次型所對應的矩陣為 520221011三個順序主子式三個順序主子式10, , 012111 . 015021152221520221011 由性質(zhì)由性質(zhì)6, f是正定二次型是正定二次型.2021/4/115

8、方法二方法二 用配方法將所給二次型化為標準形用配方法將所給二次型化為標準形32212322213214252),(xxxxxxxxxxf 32232222145)(xxxxxx 23232221)2()(xxxxx 令令 333222112xyxxyxxy為滿秩變換為滿秩變換. 得得232221yyyf 正慣性指數(shù)正慣性指數(shù)p=3=n, 得得 f 正定正定.2021/4/116方法方法3 特征值特征值520221011)( AEf112823 f(0)= 1, f(1)=4, f(2)= 1, f(4)=3, f(5)= 16.由零點定理由零點定理, f()=0有三個正根有三個正根. f 正定

9、正定.2021/4/117練習練習 判別二次型判別二次型32312123222132148455),(xxxxxxxxxxxxf 是否正定是否正定.正定正定(性質(zhì)性質(zhì)6)例例5 求求的值的值, 使實二次型使實二次型2222222)(wzxyzxyzyxf 為正定二次型為正定二次型, 并討論并討論2的情形的情形.解解二次型對應矩陣二次型對應矩陣 1000011011011 A2021/4/118令它的各階順序主子式大于令它的各階順序主子式大于0, 01 011122 得得1;0)2()1(111111243 得得2.取交后得取交后得2.所以所以2時時, f是正定二次型是正定二次型.2021/4/119=2時時, 2222222222wzxyzxyzyxf 222)(23)2121(2wzyzyx 正慣性指數(shù)正慣性指數(shù)p=34, =2時時f 為半正定二次型為半正定二次型.2時時, 3=40, 因此因此f 非負定、非正定非負定、非正定.利用