夏顯奇矢量三角形法則在物理解題中的應(yīng)用

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流夏顯奇矢量三角形法則在物理解題中的應(yīng)用.精品文檔.矢量三角形法則在物理解題中的應(yīng)用夏顯奇（云南師范大學(xué)2011級(jí)學(xué)科教學(xué)（物理）教育碩士）摘要：矢量合成的平行四邊形定則可以用矢量三角形法則來等效替代，應(yīng)用矢量三角形法則可以求解動(dòng)態(tài)平衡問題，求物理量的極值及研究拋體運(yùn)動(dòng)，利用矢量三角形法則再結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)，可以使很多物理問題迅速得到解決,而且非常直觀顯見、簡捷。關(guān)鍵詞：矢量三角形；動(dòng)態(tài)平衡；極值；拋體運(yùn)動(dòng)；直觀1. 引言矢量概念是高中物理教學(xué)中引進(jìn)的重要概念之一，在物理中，將有大小和方向的量稱為矢量，如力、位移、速度、加速度、動(dòng)量、沖量等物理量都

2、是矢量。平行四邊形是一切矢量合成的普遍法則，在許多矢量合成與分解的問題中，尤其是一些動(dòng)態(tài)變化的問題，應(yīng)用平行四邊形法則導(dǎo)出的矢量三角形法則進(jìn)行分析求解就顯得很方便快捷。矢量三角形法則作圖簡單，線條較少，圖象清晰，在討論某些變化的矢量或矢量的增量時(shí)，有時(shí)比平行四邊形法則更清楚、方便。矢量三角形不但可以處理力的問題，它同樣可以處理與速度、加速度、動(dòng)量等有關(guān)的矢量問題。2. 矢量三角形的建立2.1 矢量三角形1丙乙丙甲圖1在 圖1甲中，是共點(diǎn)力和的合力，構(gòu)成平行四邊形，該平行四邊形含有兩個(gè)全等的三角形，每一個(gè)三角形都包含了三個(gè)矢量的大小和方向，因此，如果我們只取其中的一個(gè)三角形，如圖1乙所示，從點(diǎn)出

3、發(fā)，把代表和的線段、首尾相接地畫出來，連接和，從指向的矢量就表示合力的大小和方向。上述作圖法叫做力的三角形定則，其合矢量與分矢量的關(guān)系是：兩個(gè)分矢量首尾相接，分矢量與合矢量首首相接，尾尾相接，作三角形，如圖1丙所示，同樣可以求出和的合力。圖1乙、丙中矢量三角形的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:。2.2 矢量三角形2乙圖2甲三個(gè)力、使物體處于平衡狀態(tài)，如圖2甲，由力的平衡知識(shí)知道，、的合力與力等大、反向，如果把平移到的位置上，則構(gòu)成如圖2乙的三角形。圖2乙中矢量三角形的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:。若一個(gè)物體在三個(gè)共點(diǎn)力作用下處于平衡狀態(tài)，則代表三個(gè)力的有向線段必定構(gòu)成首尾相接的封閉三角形。3. 用矢量三角形解動(dòng)態(tài)平衡問題力學(xué)

4、中的動(dòng)態(tài)平衡是指在控制某一或某些物理量不變的情況下，物體的狀態(tài)發(fā)生緩慢連續(xù)的變化，在該變化過程中物體始終處于動(dòng)態(tài)平衡。因此，我們也可以把動(dòng)態(tài)平衡稱為準(zhǔn)靜態(tài)平衡。3.1 常見動(dòng)態(tài)平衡問題的分類3.1.1 三個(gè)參量不變高中階段接觸的力學(xué)動(dòng)態(tài)平衡問題，一般物體只受三個(gè)力，分析這三個(gè)力的大小、方向總共六個(gè)參量中，大都會(huì)有三個(gè)參量不變。一般而言，三個(gè)不變的參量往往是一個(gè)恒力的大小和方向以及另一個(gè)力的大小或方向。3.1.1.1一力為恒力，另一個(gè)力方向恒定情形三力中有一個(gè)力確定，即大小、方向不變，另一個(gè)力方向確定，這個(gè)力的大小及第三個(gè)力的大小、方向變化情況待定。圖3 的方向確定如圖3中的大小和方向恒定，力的

5、方向確定，三個(gè)力構(gòu)成閉合矢量三角形，對應(yīng)的就是物體所處動(dòng)態(tài)平衡的相應(yīng)狀態(tài)。的大小單調(diào)變化，的大小變化不單調(diào)，存在極小值，且方向?qū)⒆兓?.1.1.2 一力為恒力，另一個(gè)力大小恒定情形圖4 的大小確定三力中有一個(gè)力確定，即大小方向不變，另一個(gè)力大小確定，這個(gè)力的方向及第三力的大小、方向變化情況待定。圖4中若力的大小確定，則的方向?qū)⒆兓?，的大小單調(diào)變化，方向可能出現(xiàn)重復(fù)性。如果題目對力的角度加以限制，那么的方向變化也可能是單調(diào)的。因此，常規(guī)的動(dòng)態(tài)平衡問題總體形態(tài)分布比較明確，抓住三個(gè)不變的參量，構(gòu)建合理的力的矢量三角形，并抓住與狀態(tài)動(dòng)態(tài)變化相對應(yīng)的特征物理量進(jìn)行分析，就能使問題順利得解。例1 如圖

6、5所示，在“驗(yàn)證力的平行四邊形定則”實(shí)驗(yàn)中，用、兩只彈簧稱把橡皮條上的節(jié)點(diǎn)拉到某一位置，這時(shí)兩繩套、的夾角小于°，現(xiàn)保持彈簧稱的 示 數(shù) 不 變 而 改 變其拉力方向使角減小，那么要使結(jié)點(diǎn)仍在位置，就應(yīng)調(diào)整彈簧稱的拉力大小及角，則下列調(diào)整方法中可行的是（）增大的拉力，增大角（）增大的拉力，角不變圖5（）增大的拉力，減小角（）的拉力大小不變，增大角圖6解析：因?yàn)楣?jié)點(diǎn)不變，故左邊橡皮條上的拉力大小和方向均確定，彈簧拉力大小確定。如圖6所示，取點(diǎn)為起始點(diǎn)，先作力的有向線段，以其箭頭端點(diǎn)為圓心，以大小不變力的線段長度為半徑作一圓，該圓的每條矢徑均為力矢量，從該圓周上各點(diǎn)指向點(diǎn)的各有向線段便是

7、彈簧稱的拉力矢量，這樣就畫出了表示可能的三力關(guān)系的三角形集合圖，由圖能很快得出正確選項(xiàng)為（）、（）、（）。3.1.2 兩個(gè)參量不變這樣的動(dòng)態(tài)平衡問題就很特殊。進(jìn)一步分析可知，這兩個(gè)不變的參量往往是某個(gè)力的大小、方向同時(shí)不變，即有一個(gè)力是恒力。恒力外的其他兩力方向受條件（如空間方位、大小尺寸、運(yùn)動(dòng)軌跡等）的定性約束，從而可以判斷方向變化趨勢，在這類特殊習(xí)題中，挖掘并正確解讀這些信息對解決問題是至關(guān)重要的。3.1.2.1三力中有一個(gè)力確定，即大小方向不變，另二力方向變化有依據(jù)，判斷二力大小變化情況。例2 建筑工人通過安裝在樓頂?shù)囊粋€(gè)定滑輪，將建筑材料運(yùn)送到高處，如圖7所示，為了防止建筑材料與墻壁相

8、碰，站在地面上的工人（未畫出）要用繩拉住材料，使它與豎直墻面總保持一定的距離。若不計(jì)兩根繩的重力，在建筑材料被提起的過程中，繩的拉力和繩的拉力的大小將如何變化。圖7乙甲解析： 點(diǎn)在拉力、和(材料對點(diǎn)的拉力，大小等于材料的重力)3個(gè)力作用下處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)，在建筑材料提起的過程中，的大小和方向不變，和水平方向間的夾角逐漸減小，和水平方向間的夾角逐漸增大，點(diǎn)受力情況用矢量三角形如圖7乙所示，從圖中可以看出，、都在增大。3.1.2.2 一力為恒力，另兩力夾角恒定情形 恒力外的其他兩力方向變化趨勢確定，且方向間存在定量的約束關(guān)系，兩力夾角始終不變。圖8例3 如圖8所示，物體用兩根繩子懸掛，開始時(shí)繩水平

9、，現(xiàn)將兩繩同時(shí)順時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)過，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中始終保持角不變（），且物體始終靜止。設(shè)繩的拉力為，繩的拉力為，甲則在此旋轉(zhuǎn)過程中(A)先減小后增大(B)先增大后減小(C)逐漸減小(D)最終變?yōu)榱銏D9乙解析： 、的合力的大小、方向兩個(gè)參量是不變的，在繩子從水平到豎直的順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，設(shè)繩與豎直方向的夾角為，則，且不斷減小。選取繩子在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的任一狀態(tài)，并構(gòu)成如圖9所示的力的矢量三角形。由于兩繩夾角不變，其余各角如圖9所示。由幾何知識(shí)可知，力的矢量三角形的三個(gè)定點(diǎn)、位于同一圓周上，是長度、位置均不變的固定弦，因此所對的圓周角大小也不變（角大小為），且小于，如圖所示。依據(jù)題意，沿圓周從水平方向緩慢轉(zhuǎn)到豎

10、直位置的過程中，弦的長度先邊長再變短，當(dāng)弦恰好為直徑時(shí)最長，此時(shí)三條弦恰好構(gòu)成直角三角形，表明力的大小先變大后變小，存在著極大值；弦一直變短，當(dāng)弦與弦重合時(shí)，弦為零，即表明力的大小一直減小，存在的極小值為零。3.1.2.3 一個(gè)力恒定不變，另外兩個(gè)力的大小方向均發(fā)生變化例4 光滑半球固定在水平面上，懸點(diǎn)處有一大小不計(jì)的定滑輪，如圖所示，小球在一穿過定滑輪的繩子的拉力作用下，沿半球面緩慢上滑一段距離。則半球?qū)π∏虻闹С至图?xì)繩對小球的拉力的大小將如何變化。乙甲圖10解析： 在小球沿半球面緩慢上滑過程中，除重力大小和方向之外的四個(gè)參量都可能變化，但小球在上滑時(shí)，繞半球的球心在轉(zhuǎn)動(dòng)，長度始終不變是該

11、題的重要特征。依題意知，與恒定的重力對應(yīng)的豎直邊長度一定，且其余的對應(yīng)邊都互相平行或共線，將力的矢量三角形與幾何三角形類比，對應(yīng)邊成比例。如圖10所示，由三角形相似關(guān)系得。由于半球的半徑長度不變，繩長逐漸變短，故支持力大小不變，拉力變小。4. 用矢量三角形求物理量的極值求物理量的極值是中學(xué)物理中較常見的一類問題，求解方法很多。利用矢量三角形求物理量的極值，較其它方法有更為直觀、簡捷的優(yōu)點(diǎn)。如果能熟練運(yùn)用它，不僅節(jié)省時(shí)間，而且不容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。例5 質(zhì)量為的物體放在水平面上，物體與水平面間的動(dòng)摩擦因素為，欲使物體勻速向右運(yùn)動(dòng)，求拉力的最小值？乙甲圖11解析：當(dāng)物體勻速滑動(dòng)時(shí)，物體受個(gè)力而平衡（如圖

12、11所示）。和正交，其合力為。在、和三力構(gòu)成的矢量三角形中，當(dāng)和正交時(shí)，取最小值。由圖可知： ， (1)而，故 (2)力與水平方向的夾角例6 表面光滑的均質(zhì)球重，置于傾角為的斜面上，如圖12所示。當(dāng)擋板與斜面的夾角為何值時(shí)，擋板對球的作用力有極小值。圖12乙甲解析： 圖12所示球受三個(gè)力的作用，用三力平衡作矢量圖。從矢量三角形可看出，當(dāng)與正交時(shí)，取極小值。即時(shí)， 。 (3)例7 把重為的物體放在傾角為的斜面上，物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為。若使物體沿斜面向上滑動(dòng)，求拉力的最小值。圖13甲乙解析：當(dāng)物體沿斜面勻速向上滑動(dòng)時(shí) 受力如圖13所示，物體受、4個(gè)力。根據(jù)力的平衡條件，做矢量圖，與正交，合力

13、為。在、和三力構(gòu)成的矢量三角形中，當(dāng)和正交時(shí)，取最小值。則。 (4)因，故。 (5)例8 水面上有、兩船，船以速度沿直線，從點(diǎn)如圖所示方向勻速航行，同時(shí)船從距直線為的點(diǎn)勻速追趕船，。若能趕上船，求船的最小速度。圖14解析：根據(jù)速度矢量的合成，若取船為參考系，則把船看成靜止的。要使船勻速追上船，船相對船的速度必須從指向。設(shè)船的對地速度為，作船的速度矢量三角形如圖14，只有當(dāng)與正交時(shí)，才取極小值。故： (6)方向：，即圖中的方向。5. 用矢量三角形法研究拋體運(yùn)動(dòng)根據(jù)物體在剛拋出時(shí)的速度方向不同，拋體運(yùn)動(dòng)分為平拋運(yùn)動(dòng)和斜拋運(yùn)動(dòng)，描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，拋體運(yùn)動(dòng)是高中物理教學(xué)

14、的重點(diǎn),是曲線運(yùn)動(dòng)的重要形式之一。在處理拋體運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，學(xué)生往往是死搬硬套位移、速度大小公式，而忽視了它們的方向。實(shí)際上從它們的方向這一角度去處理拋體運(yùn)動(dòng)問題，會(huì)使問題迎刃而解，思路變得簡單而又清晰。為此拋體運(yùn)動(dòng)中的位移矢量三角形、速度矢量三角形，值得老師和同學(xué)們高度重視。下面就幾個(gè)例子說明這兩個(gè)矢量三角形及其應(yīng)用。拋體運(yùn)動(dòng)是勻變速運(yùn)動(dòng)，加速度恒定，為重力加速度。由于位移矢量和速度矢量隨時(shí)間變化，所以通常解題時(shí)需要先確定研究的位置（狀態(tài)），再根據(jù)平行四邊形定則得到兩個(gè)矢量三角形，即位移三角形和速度三角形。圖15為平拋運(yùn)動(dòng)，圖16為斜拋運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形。圖15圖16例9 如圖17所示，從傾角為的斜面

15、頂端，以初速度水平拋出一小球，不計(jì)空氣阻力，若斜面足夠長，則小球拋出后離開斜面的最大距離是多少？圖17解析：此題常見的解決方法是分解法，即將小球的初速度和加速度沿斜面和垂直于斜面分解。這樣分解比沿水平方向和豎直方向分解要簡單。該解法見諸各種資料，此不贅述。下面從分析拋體運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)矢量三角形的方法解此題。由題意分析可知，當(dāng)物體的速度方向平行于斜面時(shí)，離斜面最遠(yuǎn)。經(jīng)過時(shí)間時(shí)作物體的位移矢量三角形和速度矢量三角形，如圖17，在位移矢量三角形中有 (7)在速度矢量三角形中有 (8)將°代入式（7）、（8）得由幾何知識(shí)有 (9)代入數(shù)據(jù)得 (10)例10 如圖18所示，大炮在山腳直接對著傾角為

16、的山坡發(fā)射炮彈，炮彈初速度為，要在山坡上達(dá)到盡可能遠(yuǎn)的射程，則大炮的瞄準(zhǔn)角應(yīng)為多少？最遠(yuǎn)射程有多少？（不計(jì)空氣阻力）圖18解析：此題常見解法是把速度與加速度沿斜面和垂直于斜面分解，建立兩個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求解。下面利用拋體運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)矢量三角形來解此題。如圖18所示，作炮彈運(yùn)動(dòng)的位移矢量三角形。由正弦定理有 (11)取前一個(gè)等號(hào)并化簡得代入第二個(gè)等號(hào)并解得 (12)由式可知，當(dāng)即時(shí)，得 (13)例11 從高處斜向上拋出一初速度大小為的物體，討論拋出角為多大時(shí)，物體落地的水平位移最大。（不計(jì)空氣阻力）圖19解析：例10用到了位移矢量三角形，本題嘗試用速度矢量三角形來討論。設(shè)落地時(shí)速度大小為，作速度矢量三角形，如圖19所示由動(dòng)能定理，易得的大小 (14)設(shè)矢量三角形的面積為，則 (15)式中即為物體水平方向的位移因此，只需考慮何時(shí)矢量三角形有最大面積即可。由于三角形面積也可以寫成 (16)因，的大小確定，則當(dāng)時(shí)，有最大值。此時(shí) (17)由面積相等得水平位移最大值為 (18)6. 結(jié)論矢量運(yùn)算在力學(xué)中占有重要的地位，利用矢量三角形法則可以使很多物理問題迅速