參數(shù)估計(jì)計(jì)算

1、正態(tài)分布 正態(tài)分布是一種很重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的正態(tài)分布是一種很重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。概率分布。生物現(xiàn)象中有許多變量是服從生物現(xiàn)象中有許多變量是服從或近似服從正態(tài)分布的或近似服從正態(tài)分布的。許多統(tǒng)計(jì)分析方。許多統(tǒng)計(jì)分析方法都是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。此外，還有法都是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。此外，還有不少隨機(jī)變量的概率分布在一定條件下以不少隨機(jī)變量的概率分布在一定條件下以正態(tài)分布為其極限分布。因此在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，正態(tài)分布為其極限分布。因此在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，正態(tài)分布無論在理論研究上還是實(shí)際應(yīng)用正態(tài)分布無論在理論研究上還是實(shí)際應(yīng)用中中 ， 均占有重要的地位。均占有重要的地位。 正態(tài)分布的定義正態(tài)分布的定義

2、若連續(xù)型隨機(jī)變量若連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率分布密的概率分布密度函數(shù)為度函數(shù)為 其中其中為平均數(shù)，為平均數(shù)，2為方差，則稱隨機(jī)變量為方差，則稱隨機(jī)變量x服服從正態(tài)分布從正態(tài)分布(normal distribution)， 記為記為xN(,2)。相應(yīng)的概率分布函數(shù)為。相應(yīng)的概率分布函數(shù)為 222)(21)(xexfxxdxexF222)(21)(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 由上述正態(tài)分布的特征可知由上述正態(tài)分布的特征可知 ，正態(tài)分布是，正態(tài)分布是依賴于參數(shù)依賴于參數(shù)和和2 (或或) 的的 分布分布 ， 正態(tài)正態(tài)曲線之位置及形態(tài)隨曲線之位置及形態(tài)隨和和2的不同而不同的不同而不同 。 這就給研究具體的正態(tài)

3、總體帶來困難，這就給研究具體的正態(tài)總體帶來困難， 需需將一般的將一般的N(，2) 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 換為換為 = 0,2=1的正態(tài)分布。的正態(tài)分布。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 我們稱我們稱=0,2=1的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standard normal distribution)。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)分別記作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)分別記作(u)和和(u) ： 隨機(jī)變量隨機(jī)變量u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作uN(0，1) 。 2221)(ueudueuuu22121)(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 對于任何一個服從正態(tài)分布對于任何一個服

4、從正態(tài)分布N(,2)的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量x，都可以通過標(biāo)準(zhǔn)化變換：都可以通過標(biāo)準(zhǔn)化變換： u=(x-) 將將 其變換為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量其變換為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量u。 u 稱稱 為為 標(biāo)標(biāo) 準(zhǔn)準(zhǔn) 正正 態(tài)變量或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差態(tài)變量或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差(standard normal deviate)。 正態(tài)分布的概率計(jì)算正態(tài)分布的概率計(jì)算 例如，例如，u=1.75 ，1.7放在第一列放在第一列,0.05放在第七行放在第七行 。 1.7所在行與所在行與 0.05 所在列相交處的數(shù)值為所在列相交處的數(shù)值為0.9599，即即 (1.75)=0.9599 有有 時時 會會 遇遇 到到 給給 定

5、定 (u) 值值 ， 例例 如如 (u)=0.284， 反過來查反過來查u值。這只要在表中找到值。這只要在表中找到與與 0.284 最接近的值最接近的值0.2843，對應(yīng)行的第一列數(shù)，對應(yīng)行的第一列數(shù) -0.5， 對應(yīng)列的第一行數(shù)對應(yīng)列的第一行數(shù) 值值 0.07 ，即相應(yīng)的，即相應(yīng)的u值值為為 u = - 0.57，即，即 (-0.57)=0.284 如果要求更精確的如果要求更精確的u值，可用線性插值法計(jì)算。值，可用線性插值法計(jì)算。 正態(tài)分布的概率計(jì)算正態(tài)分布的概率計(jì)算 已知已知uN(0，1)，試求：，試求： (1) P(u-1.64)? (2) P (u2.58)=? (3) P (u2.5

6、6)=? (4) P(0.34u1.53) =? 一般正態(tài)分布的概率計(jì)算一般正態(tài)分布的概率計(jì)算 設(shè)設(shè)x服從服從=30.26,2=5.102的正態(tài)分布，試求的正態(tài)分布，試求P(21.64x32.98)。 令令 則則u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故 =P(-1.69u0.53) =(0.53)-(-1.69) =0.7019-0.04551=0.6564 10.526.30 xu)10.526.3098.3210.526.3010.526.3064.21()98.3264.21(xPxP 設(shè)有一個總體設(shè)有一個總體 ，總體平均數(shù)為，總體平均數(shù)為 ,方差為方差為2，總體中，總體中各變數(shù)為各變

7、數(shù)為 x， 將將 此總體稱為原總體?，F(xiàn)從這個總體此總體稱為原總體。現(xiàn)從這個總體中隨機(jī)抽取含量為中隨機(jī)抽取含量為n的樣本，樣本平均數(shù)記為的樣本，樣本平均數(shù)記為 。 可以設(shè)想，從原總體中可抽出很多甚至無窮多個可以設(shè)想，從原總體中可抽出很多甚至無窮多個含量為含量為n的樣本。由這些樣本算得的平均數(shù)有大有小，的樣本。由這些樣本算得的平均數(shù)有大有小，不盡相同，與原總體平均數(shù)不盡相同，與原總體平均數(shù)相比往往表現(xiàn)出不同程相比往往表現(xiàn)出不同程度的差異。這種差異是由隨機(jī)抽樣造成的度的差異。這種差異是由隨機(jī)抽樣造成的 ，稱為，稱為抽抽樣誤差樣誤差(sampling error)。 顯然，樣本平均數(shù)也是一個隨機(jī)變量，

8、其概率分顯然，樣本平均數(shù)也是一個隨機(jī)變量，其概率分布叫做布叫做樣本平均數(shù)的抽樣分布樣本平均數(shù)的抽樣分布。由樣本平均數(shù)構(gòu)成。由樣本平均數(shù)構(gòu)成的總體稱為的總體稱為樣本平均數(shù)的抽樣總體樣本平均數(shù)的抽樣總體。x 有甲、乙、丙、丁4名工人，他們的日工資分別為50、60、70、80元，則他們的平均工資是多少以及方差是多少？ 現(xiàn)在隨機(jī)抽取2人組成樣本,對總體4名工人進(jìn)行推斷。 若采用重復(fù)抽樣一共有多少個樣本？ 若采用不重復(fù)抽樣一共有多少個樣本？重復(fù)抽樣 其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別記為其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別記為 和和 。 是樣本平均數(shù)抽樣總體的標(biāo)準(zhǔn)差，簡稱是樣本平均數(shù)抽樣總體的標(biāo)準(zhǔn)差，簡稱標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)誤準(zhǔn)誤(standar

9、d error)，它表示平均數(shù)抽樣誤差，它表示平均數(shù)抽樣誤差的大小的大小。統(tǒng)計(jì)學(xué)上已證明總體的兩個參數(shù)與。統(tǒng)計(jì)學(xué)上已證明總體的兩個參數(shù)與x 總總體的兩個參數(shù)有如下關(guān)系：體的兩個參數(shù)有如下關(guān)系： =， nxxxxx 隨著樣本含量隨著樣本含量 n 的增大，的增大， 樣本平均數(shù)的分樣本平均數(shù)的分布愈來愈從不連續(xù)趨向于連續(xù)的正態(tài)分布。布愈來愈從不連續(xù)趨向于連續(xù)的正態(tài)分布。當(dāng)當(dāng)n30時，時， 的分布就近似正態(tài)分布了。的分布就近似正態(tài)分布了。x 中心極限定理告訴我們：不論中心極限定理告訴我們：不論x變量是變量是連續(xù)型還是離散型，也無論連續(xù)型還是離散型，也無論x服從何種分布，服從何種分布，一般只要一般只要n

10、30，就可認(rèn)為，就可認(rèn)為 X 的分布是正的分布是正態(tài)的。態(tài)的。一、一、正態(tài)總體正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)均值與方差的區(qū)間估計(jì) 總體均值總體均值 的置信區(qū)間的置信區(qū)間(1)(1)設(shè)設(shè) 已知已知時時22( ,),XN (0,1)N221/XPuun 22 1P XuXunn 即 /XUn構(gòu)造置信度為置信度為 的置信區(qū)間是的置信區(qū)間是122(,)XuXunn由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位數(shù)的定義知分位數(shù)的定義知 包糖機(jī)某日開工包了包糖機(jī)某日開工包了1212包糖包糖, ,稱得重量稱得重量( (單單位位: :克克) )分別為分別為506,500,495,488,504,486,505,50

11、6,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485. 513,521,520,512,485. 假設(shè)重量服從正態(tài)分布假設(shè)重量服從正態(tài)分布, ,解解,12,10 n ,92.502 x計(jì)計(jì)算算得得樣樣本本均均值值,10. 0)1(時時當(dāng)當(dāng) 645. 1 05. 02/ uu查查表表得得0.05). 0.10 ( 1 10, 和和分別取分別取置信區(qū)間置信區(qū)間的的試求糖包的平均重量試求糖包的平均重量且標(biāo)準(zhǔn)差為且標(biāo)準(zhǔn)差為例例1 2/unx645. 1121092.502 ,67.507 2/unx645. 1121092.502 ,17.498 90% 的置信區(qū)

12、間為的置信區(qū)間為的置信度為的置信度為即即 .,.6750717498,05. 0)2(時時當(dāng)當(dāng) 02502./uu,96. 1查表得查表得 95% 同理得 的置信度為的置信區(qū)間為.,.5850826497.,1 ;,1 ,置置信信區(qū)區(qū)間間也也較較小小較較小小時時當(dāng)當(dāng)置置信信度度置置信信區(qū)區(qū)間間也也較較大大較較大大時時當(dāng)當(dāng)置置信信度度從從此此例例可可以以看看出出 從以上解題過程可以看出，求未知參數(shù)的區(qū)間從以上解題過程可以看出，求未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)估計(jì)最關(guān)最關(guān) 鍵一步是，鍵一步是，選擇合適的函數(shù)并求出它的分布；選擇合適的函數(shù)并求出它的分布； 其次是對給定的實(shí)數(shù) ，查分位數(shù)表求出分位點(diǎn)，通過不等式變形得到參數(shù)的區(qū)間估計(jì).區(qū)間估計(jì)并不難，選擇函數(shù)是關(guān)鍵，給定查分位數(shù)表，不