第19講幾何模型應(yīng)用題

1、.1知識(shí)梳理高考速遞典例精析幾何模型應(yīng)用題第十九講.2知識(shí)梳理 1、解決幾何應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，要善于抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)應(yīng)用性問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的順利轉(zhuǎn)化； 2、要注意認(rèn)真分析數(shù)量間的關(guān)系，緊扣常用的幾何概念，充分利用圖形的幾何性質(zhì)，確定正確的解決問(wèn)題的徑，靈活運(yùn)用解幾何問(wèn)題的常用數(shù)學(xué)方法，最終得到完整的解答.3高考速遞 (2008上海卷上海卷)某海域內(nèi)有一孤島，島四周的海平面(視為平面)上有一淺水區(qū)(含邊界)，其邊界是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b的橢圓，已知島上甲、乙導(dǎo)航燈的海拔高度分別為 、 ，且兩個(gè)導(dǎo)航燈在海平面上的投影恰好落在橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)上，現(xiàn)有船只經(jīng)過(guò)該海域(船只的大小忽略不

2、計(jì))，在船上測(cè)得甲、乙導(dǎo)航燈的仰角分別為 、 ，那么船只已進(jìn)入該淺水區(qū)的判別條件是 .1h2h1221122cotcotahh答案:.4高考速遞正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面也恰好過(guò)點(diǎn)P任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，水面都恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)P若往容器內(nèi)再注入a升水，則容器恰好能裝滿其中真命題的代號(hào)是 (寫出所有真命題的代號(hào)).2. (2008江西卷江西卷)如圖1，一個(gè)正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過(guò)正四棱錐的頂點(diǎn)P.如果將容器倒置，水面也恰好過(guò)點(diǎn)P(如圖2).有下列四個(gè)命題：p圖1p圖2.5【分析】 首先抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)

3、題，半圓中的點(diǎn)可分為三類：(1)沿AP到P較近；(2)沿BP到P較近；(3)沿AP、BP到P同樣遠(yuǎn).顯然，第三類點(diǎn)是第一、二類的分界點(diǎn)，設(shè)M是分界線上的任意一點(diǎn).則有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，于是|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50.從而發(fā)現(xiàn)第三類點(diǎn)M滿足性質(zhì)：點(diǎn)M到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之差等于常數(shù)50，由雙曲線定義知，點(diǎn)M在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求此雙曲線的方程. 典例精析例例1 某工程要挖一個(gè)橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運(yùn)到P處(如右圖所示).已知PA=100 m，PB=150 m，APB=60，試說(shuō)明怎樣運(yùn)土

4、最省工.ABP.6以AB所在直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系 xoy，設(shè)M (x，y)是沿AP、BP運(yùn)土同樣遠(yuǎn)的點(diǎn)，則|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，所以|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50.在PAB中，由余弦定理得|AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA|PB|cos60=17500，且50|AB|.【解析】【解析】0APBMyx.7于是運(yùn)土?xí)r將雙曲線左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處,右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處最省工.由雙曲線定義知點(diǎn)M在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上，2222417500250cacab226 2 53 7 5 0ab則 , 解得 22221xyab設(shè)此雙

5、曲線方程為 (a0，b0).221256253750 xyx所以點(diǎn)M的軌跡是在半圓內(nèi)的一段雙曲線弧.0APBMyx.8回顧與反思回顧與反思 (1)本題是不等量與等量關(guān)系問(wèn)題，涉及到分類思想，通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)的集合性質(zhì)，構(gòu)造圓錐曲線模型(即分界線)，從而確定出最優(yōu)化區(qū)域; (2)應(yīng)用分類思想解題的一般步驟：確定分類的對(duì)象；進(jìn)行合理的分類；逐類逐級(jí)討論；歸納各類結(jié)果.9典例精析例例2 中國(guó)跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10 m跳臺(tái)跳水訓(xùn)練時(shí)，身體(看成一點(diǎn))在空中的運(yùn)動(dòng)路線為如右圖所示坐標(biāo)系下經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的一條拋物線(圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件).在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí)，正常情況下，該運(yùn)動(dòng)員在空中的最高處距水面

6、10 m，入水處距池邊的距離為4 m，同時(shí)，運(yùn)動(dòng)員在距水面高度為5 m或5 m以上時(shí)，必須完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作，并調(diào)整好入水姿勢(shì)，否則就會(huì)出現(xiàn)失誤.(1)求這條拋物線的解析式；(2)在某次試跳中，測(cè)得運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)路線是(1)中的拋物線，且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí)，距池邊的水平距離為3.8 m，問(wèn)此次跳水會(huì)不會(huì)失誤？并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由；(3)要使此次跳水不至于失誤，該運(yùn)動(dòng)員按(1)中拋物線運(yùn)行，且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí)，距池邊的水平距離至多應(yīng)為多少米？BAxy跳臺(tái)支柱1m10m3m池邊o.10【分析】(1)在給定坐標(biāo)系下準(zhǔn)確用好數(shù)據(jù)、恰當(dāng)建立方程是解題 的關(guān)鍵; (2)不等關(guān)系的正

7、確運(yùn)用是判斷是否失誤的核心.BAxy跳臺(tái)支柱1m10m3m池邊o【解析】(1)在給定的直角坐標(biāo)系下，設(shè)最高點(diǎn)為A，入水點(diǎn)為 B，拋物線的解析式為2ya xb xc由題意知，O、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)依次為(0，0)、(2，-10)，且頂點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為,23所以0c24243ac ba4210ab c 32a256a103b0c或2b0c因?yàn)閽佄锞€對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，所以02ba所以b0，后一組解舍去即又因?yàn)閽佄锞€開(kāi)口向下，所以a0,0c 256a 103b 所以拋物線的解析式為2251063yxx.11(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在空中距池邊的水平距離為 m時(shí)，即 時(shí)，所以，此時(shí)運(yùn)動(dòng)員距水面的高為 m.因此，此次跳水會(huì)

8、出現(xiàn)失誤.335353258x 225810 816( )653 53y 161410533(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在x軸上方，即y0的區(qū)域內(nèi)完成動(dòng)作并做好入水姿勢(shì)時(shí)，當(dāng)然不會(huì)失誤，但很難做到.所以當(dāng)y0時(shí)，要使跳水不出現(xiàn)失誤，則應(yīng)有，即.所以有 , .所以運(yùn)動(dòng)員此時(shí)距遲邊的距離至多為m.| 105y 5y 2251023423456355xx12345.12典例精析 根據(jù)我國(guó)汽車制造的現(xiàn)實(shí)情況，一般卡車高3 m，寬1.6 m.現(xiàn)要設(shè)計(jì)橫斷面為拋物線型的雙向二車道的公路隧道，為保障雙向行駛安全，交通管理規(guī)定汽車進(jìn)入隧道后必須保持距中線0.4 m的距離行駛.已知拱口AB寬恰好是拱高OC的4倍，若拱寬為a

9、m，求能使卡車安全通過(guò)的a的最小整數(shù)值 （變式訓(xùn)練）【分析】根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，卡車通過(guò)隧道時(shí)應(yīng)以卡車沿著距隧道中線0.4 m到2 m間的道路行駛為最佳路線，因此，卡車能否安全通過(guò)，取決于距隧道中線2 m(即在橫斷面上距拱口中點(diǎn)2 m)處隧道的高度是否夠3 m，據(jù)此可通過(guò)建立坐標(biāo)系，確定出拋物線的方程后求得.yAB,02a,02aCxO.13yAB,02a,02aCx【解析】如右圖，以拱口AB所在直線為x軸，以拱高OC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由題意可設(shè)拋物線的方程為因?yàn)辄c(diǎn)A( ，0)在拋物線上，所以 ，得p=.所以拋物線方程為取x=1.6+0.4=2，代入拋物線方程，得即22 ()4ax

10、p y 2()2 (0)24aap 2a22 ()4axa y 22()4aa y 2164aya2a.14由題意，令y3，得因?yàn)閍0，所以解得.又因?yàn)閍Z，所以a應(yīng)取14，15，16，.答：滿足本題條件使卡車安全通過(guò)的a的最小正整數(shù)為14.21634aa212160aa62 13a 【回顧與反思】本題的解題過(guò)程可歸納為兩步：第一步，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義，確定解題途徑，得到距拱口中點(diǎn)2 m處y的值；第二步，由y3，通過(guò)解不等式，結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際意義和要求，得到a的值.值得注意的是這種思路在與最佳方案有關(guān)的應(yīng)用題中是常用的.15典例精析（備選例題）例例3 A、B、C是我方三個(gè)炮兵陣地,A在B的正東,相距6千米,C在B的北偏西30相距4千米,P為敵炮陣地,某時(shí)刻,A發(fā)現(xiàn)P處的某種信號(hào),由于B、C兩地比A地距P地遠(yuǎn),因此4秒后,B、C才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號(hào).(設(shè)該信號(hào)的傳播速度為1千米秒 ）(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,確定P的位置(即求出P的坐標(biāo));(2)A若炮擊P地,求炮擊的方向 xyAOBDCP.16(1)如右圖，以直線BA為x軸，線段BA的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系，則B(-3，0)、A(3，0)、C(-5，23).因?yàn)镻B=PC，所以點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上. 因?yàn)閗BC =-3，BC的中點(diǎn)D(-4，3)，1343yx所以直線P