復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)-小世界模型

1、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò) 關(guān)于復(fù)雜性 大量個(gè)體所組成的復(fù)雜系統(tǒng)，在沒(méi)有中心控制、非完全信息、僅僅存在局域相互作用的條件下，通過(guò)個(gè)體之間的非線性相互作用，可以在宏觀層次上涌現(xiàn)出一定的結(jié)構(gòu)和功能。什么是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò) 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的抽象和描述方式，任何包含大量組成單元（或子系統(tǒng)）的復(fù)雜系統(tǒng)，當(dāng)把構(gòu)成單元抽象成節(jié)點(diǎn)、單元之間的相互關(guān)系抽象為邊時(shí)，都可以當(dāng)作復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來(lái)研究。 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是研究復(fù)雜系統(tǒng)的一種角度和方法它關(guān)注系統(tǒng)中個(gè)體相互關(guān)聯(lián)作用的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，是理解復(fù)雜系統(tǒng)性質(zhì)和功能的基礎(chǔ)。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究所關(guān)心的問(wèn)題 如何定量刻畫(huà)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò) 網(wǎng)絡(luò)是如何發(fā)展成現(xiàn)在這種結(jié)構(gòu)的 網(wǎng)絡(luò)特定結(jié)構(gòu)的后果是什么（包括網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的魯棒性和網(wǎng)絡(luò)結(jié)

2、構(gòu)的動(dòng)力學(xué)行為和以及過(guò)程）描述一個(gè)網(wǎng)絡(luò)N個(gè)節(jié)點(diǎn)，E條邊在這N個(gè)點(diǎn)之間E=N(N-1)/2描述一個(gè)網(wǎng)絡(luò) 描述一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的最簡(jiǎn)便的方法就是通過(guò)矩陣來(lái)描述 無(wú)向型 有向型Weighted networks復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的特性-度 在一個(gè)無(wú)向型的網(wǎng)絡(luò)中一個(gè)節(jié)點(diǎn)i的度Ki就是和節(jié)點(diǎn)i相連的邊的數(shù)目： 這里復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特性-平均路徑長(zhǎng)度平均路徑長(zhǎng)度：網(wǎng)絡(luò)研究中, 一般定義兩節(jié)點(diǎn)間的距離為連接兩者的最短路徑的邊的數(shù)目; 網(wǎng)絡(luò)的直徑為任意兩點(diǎn)間的最大距離; 網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度l則是所有節(jié)點(diǎn)對(duì)之間距離的平均值, 它描述了網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)間的分離程度, 即網(wǎng)絡(luò)有多小。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)是絕大多數(shù)大規(guī)模真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的平均

3、路徑長(zhǎng)度比想象的小得多, 稱之為 “小世界效應(yīng)”。平均路徑長(zhǎng)度 盡管許多實(shí)際的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)巨大，網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度卻小得驚人，具體地說(shuō)，一個(gè)網(wǎng)絡(luò)稱為是具有小世界效應(yīng)的，如果對(duì)于恒定的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)平均度，平均路徑長(zhǎng)度L的增加速度至多與網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N的對(duì)數(shù)成正比。平均路徑長(zhǎng)度聚類(lèi)系數(shù) 假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)i有Ki條邊將它和其他節(jié)點(diǎn)相連，這Ki個(gè)節(jié)點(diǎn)之間最多可能有Ki(Ki-1)/2條邊，而Ki個(gè)節(jié)點(diǎn)之間實(shí)際存在的邊數(shù)Ei和總的可能的邊數(shù)Ki(Ki-1)/2之比就定義為節(jié)點(diǎn)i的聚類(lèi)系數(shù)Ci，即 Ci=2Ei/(Ki(Ki-1)聚類(lèi)系數(shù) 整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的聚類(lèi)系數(shù)C就是所有節(jié)點(diǎn)i的聚類(lèi)系數(shù)Ci的平均值。 在很多類(lèi)

4、型的網(wǎng)絡(luò)當(dāng)中，隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)目的增多，它的聚類(lèi)系數(shù)會(huì)趨向于某一個(gè)非零常數(shù)，在某種程度上有”物以類(lèi)聚“的特性。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型 研究表明，大多數(shù)的真實(shí)網(wǎng)絡(luò)具有小世界性（較小的最短路徑）和聚集性（相對(duì)較大的聚集系數(shù)）。規(guī)則網(wǎng)絡(luò) (1)規(guī)則網(wǎng)絡(luò)是指平移對(duì)稱性晶格,任何一個(gè)格點(diǎn)的近鄰數(shù)目都相同 (2)各個(gè)節(jié)點(diǎn)的具有相同的度值 (3)如圖為最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)：每個(gè)節(jié)點(diǎn)都與它左右的K/2個(gè)節(jié)點(diǎn)相連 (4)對(duì)大的N, K, 有：聚集系數(shù)C3/4, 平均路徑長(zhǎng)度L無(wú)窮大規(guī)則網(wǎng)絡(luò) 規(guī)則網(wǎng)絡(luò)具有大的聚集系數(shù)和大的最短平均距離隨機(jī)網(wǎng)絡(luò) 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)雖然具有小世界性，但是聚集性 也很小。小世界網(wǎng)絡(luò) 所以后來(lái)提出了一個(gè)兼具小世界性和高聚集性的網(wǎng)絡(luò)模型，他們通過(guò)將規(guī)則網(wǎng)絡(luò)中的每條邊以概率 p 隨機(jī)連接到網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)新節(jié)點(diǎn)上, 構(gòu)造出一種介于規(guī)則網(wǎng)絡(luò)和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)之間的網(wǎng)絡(luò)(簡(jiǎn)稱W S 網(wǎng)絡(luò)) , 它同時(shí)具有較小的平