計算動力學第二章

1、12.1 2.1 相平面的基本概念相平面的基本概念2.2 2.2 奇點與極限環(huán)奇點與極限環(huán)2.3 2.3 相平面分析相平面分析第第2章章 相平面法相平面法22.1 相平面的基本概念相平面的基本概念 相平面法由龐加萊相平面法由龐加萊18851885年首先提出。該方法通年首先提出。該方法通過圖解法將一階和二階系統(tǒng)的運動過程轉(zhuǎn)化為位置過圖解法將一階和二階系統(tǒng)的運動過程轉(zhuǎn)化為位置和速度平面上的相軌跡，從而比較直觀、準確地反和速度平面上的相軌跡，從而比較直觀、準確地反映系統(tǒng)的映系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡狀態(tài)和穩(wěn)態(tài)精度以及初始條穩(wěn)定性、平衡狀態(tài)和穩(wěn)態(tài)精度以及初始條件及參數(shù)對系統(tǒng)運動的影響件及參數(shù)對系統(tǒng)運動的影響。

2、 3相平面法概述相平面法概述 相平面法是一種求解一、二階常微分方程的圖相平面法是一種求解一、二階常微分方程的圖解法解法, ,即二維狀態(tài)空間法。這種方法的實質(zhì)是將系即二維狀態(tài)空間法。這種方法的實質(zhì)是將系統(tǒng)的運動過程形象地轉(zhuǎn)化為相平面上一個點的移動統(tǒng)的運動過程形象地轉(zhuǎn)化為相平面上一個點的移動, , 通過研究這個點移動的軌跡通過研究這個點移動的軌跡, , 就能獲得系統(tǒng)運動規(guī)就能獲得系統(tǒng)運動規(guī)律的全部信息律的全部信息. .4相平面法的基本概念相平面法的基本概念式中式中, , 是是 的線性或非線性函數(shù)的線性或非線性函數(shù).),(xxf)(),(txtx),(xxfx 設(shè)二階系統(tǒng)的常微分方程如下設(shè)二階系統(tǒng)的

3、常微分方程如下： 由微分方程的理論可知，只要由微分方程的理論可知，只要 是解析的，那么在是解析的，那么在給定的初始條件下，方程的給定的初始條件下，方程的解是唯一的解是唯一的。這個唯一的解可以這個唯一的解可以寫成時間解的形式寫成時間解的形式x(t), 也可以寫成以也可以寫成以t為參變量的形式，為參變量的形式，用用 來表示。來表示。),(xxf)(xfx tx(t)xx 5相軌跡相軌跡1.1.相軌跡相軌跡：如果我們?nèi)。喝绻覀內(nèi)?x 和和 作為平面的直角坐標，則作為平面的直角坐標，則系統(tǒng)在每一時刻的系統(tǒng)在每一時刻的 均相應于平面上的一點。當均相應于平面上的一點。當 t t 變變化時，這一點在化時，

4、這一點在 平面上將繪出一條相應的軌跡平面上將繪出一條相應的軌跡- -相軌跡相軌跡。它描述系統(tǒng)的運動過程。它描述系統(tǒng)的運動過程。x ),(xx xx 6相軌跡相軌跡二階系統(tǒng)微分方程：二階系統(tǒng)微分方程： 兩個獨立變量：兩個獨立變量：位置量位置量速度量速度量構(gòu)成相平面構(gòu)成相平面 為相變量。給定初始條件為相變量。給定初始條件 相變量相變量在相平面上的在相平面上的運動坐標軌跡稱為運動坐標軌跡稱為相軌跡相軌跡。 x xxx ,0(0)(0)0 xxx= xxx , x x 0 相相 平平 面面 ),(00 xx 相相 軌軌 跡跡 ),(xxfx 7相平面相平面2.2.相平面相平面: : 平面稱為平面稱為相

5、平面相平面。對于一個系統(tǒng)，初始條件。對于一個系統(tǒng)，初始條件 不同時，其方程的解也不同。因而針對不同的初不同時，其方程的解也不同。因而針對不同的初始條件，可始條件，可以繪出不同的相軌跡。若以各種可能的狀態(tài)作為初始條件，以繪出不同的相軌跡。若以各種可能的狀態(tài)作為初始條件，則可得到一組相軌跡族。則可得到一組相軌跡族。xx 8相平面圖相平面圖3.3.相平面圖相平面圖：相平面及其上的相軌跡族組成的圖形稱為系統(tǒng)：相平面及其上的相軌跡族組成的圖形稱為系統(tǒng) 的的相平面圖相平面圖。它表示系統(tǒng)在各種初始條件下的。它表示系統(tǒng)在各種初始條件下的 運動過程。運動過程。9相軌跡的斜率方程相軌跡的斜率方程設(shè)二階系統(tǒng)的方程為

6、：設(shè)二階系統(tǒng)的方程為：0,xxfx 改寫為：改寫為：,dxdxdxdxdx x= xxfx xdtdxdtdxdx 兩邊除以兩邊除以 可得：可得：xdtdx,f x xdxdxx -相軌跡的相軌跡的 斜率方程斜率方程10等傾線等傾線等傾線等傾線：在相平面中，相軌跡斜率相等的點的連線在相平面中，相軌跡斜率相等的點的連線, ,即即 等傾線應滿足方程：等傾線應滿足方程：由前述可知，相軌跡的斜率方程為：由前述可知，相軌跡的斜率方程為： xxxfdxxd),()(常常數(shù)數(shù)dxxd則等傾線方程為：則等傾線方程為：),(),(xxfxxxxf給定一個 值,可由上式求得一條等傾線 ;給定一組 值,則可求得一組

7、等傾線族,它們確定了相平面中相軌跡斜率的分布.11等傾線等傾線2222:20:20:20.2xxxdxdxdx dxxxxxdxdtdx dtdxdxxxxxx 設(shè)系統(tǒng)方程為上式改寫為令代入上式等傾線方程可見，等傾線為過原點、斜率為可見，等傾線為過原點、斜率為 的直線的直線。)2(212等傾線等傾線注意：兩等傾線之間用其平注意：兩等傾線之間用其平 均值來表示相軌跡。均值來表示相軌跡。若給定系統(tǒng)參數(shù)：若給定系統(tǒng)參數(shù)： =0.5, =1.取不同的取不同的 值，求得等傾值，求得等傾線如右圖所示：線如右圖所示： 若給定初始條件為若給定初始條件為A,A,則則可作出相軌跡為可作出相軌跡為ABCDE .AB

8、CDE .等傾線和等傾線和相軌跡相軌跡 =-=-1.41.4 =-1.6=-1.6 =-2=-2 =-3=-3 =1=1 =2=2ABCDExx 0 = -1 1 = =0=0則等傾線為：則等傾線為：xx1113所有通過等傾線的相軌跡都有相同的斜率所有通過等傾線的相軌跡都有相同的斜率14普通點普通點 這樣的點稱為這樣的點稱為普通點普通點。通過普通點的相軌跡只有一條。通過普通點的相軌跡只有一條。（即相軌跡曲線不會在普通點相交）（即相軌跡曲線不會在普通點相交） 由相軌跡的斜率方程由相軌跡的斜率方程 可知可知,相平面相平面上的點上的點 只要只要不同時不同時滿足滿足 , ,則該點相則該點相軌跡的斜率是

9、軌跡的斜率是唯一唯一確定的。確定的。 ( , )dx dxf x xx ),(xx 0),(, 0 xxfx15奇點奇點 若相平面中的某點，同時滿足若相平面中的某點，同時滿足 , ,則該點則該點相軌跡的斜率相軌跡的斜率 , ,為不定值，這類特殊點稱為為不定值，這類特殊點稱為奇點奇點。通過奇點的相軌跡不止一條，它是相軌跡曲線的交點。通過奇點的相軌跡不止一條，它是相軌跡曲線的交點。0),(, 0 xxfx00dxxd 二階線性系統(tǒng)：奇點是唯一的，位于原點。二階線性系統(tǒng)：奇點是唯一的，位于原點。 二階非線性系統(tǒng)：奇點可能不止一個。二階非線性系統(tǒng)：奇點可能不止一個。16相平面分析方法相平面分析方法 由

10、于相平面圖表示了系統(tǒng)在各種初始條件下的運動過程，由于相平面圖表示了系統(tǒng)在各種初始條件下的運動過程，因而，只要繪出了系統(tǒng)的相平面圖，就可以用它來分析：因而，只要繪出了系統(tǒng)的相平面圖，就可以用它來分析：3 3）穩(wěn)態(tài)誤差。）穩(wěn)態(tài)誤差。1 1）系統(tǒng)的穩(wěn)定性；）系統(tǒng)的穩(wěn)定性；2 2）瞬態(tài)響應性能；）瞬態(tài)響應性能；17例題例題例例2-12-1. .設(shè)系統(tǒng)的微分方程為：設(shè)系統(tǒng)的微分方程為：0 xxx 圖中的箭頭表示圖中的箭頭表示系統(tǒng)的狀態(tài)沿相軌跡系統(tǒng)的狀態(tài)沿相軌跡的移動方向。的移動方向。 其相平面圖如右其相平面圖如右圖所示圖所示相平面圖相平面圖1 1xx 0 pDABCE18例題例題 （1）在各種初始條件下

11、（）在各種初始條件下（任意一條相軌跡任意一條相軌跡），），系統(tǒng)系統(tǒng)都趨都趨向向原點（原點（0,0）, ,說明原點是系統(tǒng)的平衡點，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。說明原點是系統(tǒng)的平衡點，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由圖可知：由圖可知： 可將其狀態(tài)轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化可將其狀態(tài)轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為時間響應曲線為時間響應曲線x(t)來驗證如圖所示來驗證如圖所示 （2）如果初始條件為：）如果初始條件為：x(0)=1， 。則相應的則相應的相軌跡為相軌跡為ABCDE0。系統(tǒng)的系統(tǒng)的瞬態(tài)響應為阻尼振蕩形式，瞬態(tài)響應為阻尼振蕩形式，最大超調(diào)量為最大超調(diào)量為 p，穩(wěn)態(tài)誤差，穩(wěn)態(tài)誤差為零。為零。0)0(x 1 10 x(t)tABCDE 時間響應曲線時間響應曲線

12、192.2 奇點與極限環(huán)奇點與極限環(huán) 由前述可知，奇點是相平面中斜率不確定的點，即有由前述可知，奇點是相平面中斜率不確定的點，即有多條相軌跡以不同的斜率通過或逼近該點多條相軌跡以不同的斜率通過或逼近該點。constconstx x, ,0 0 x x: :則則, ,0 0 x x由于由于奇點的求法奇點的求法0 0) )x xf(x,f(x,x x0 0 x x: :奇點必須同時滿足奇點必須同時滿足 所以奇點是所以奇點是平衡點平衡點。奇點及臨近的相軌跡反映了系。奇點及臨近的相軌跡反映了系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。一、奇點一、奇點20奇點鄰域的運動性質(zhì)奇點鄰域的運動性質(zhì)奇點鄰域的運動性質(zhì)奇點

13、鄰域的運動性質(zhì)由于在奇點上，相軌跡的斜率不定，由于在奇點上，相軌跡的斜率不定，所以可以引出無窮條相軌跡。所以可以引出無窮條相軌跡。相軌跡在奇點鄰域的運動可以分為相軌跡在奇點鄰域的運動可以分為 1.1.趨向趨向于奇點于奇點 2.2.遠離遠離奇點奇點 3.3.包圍包圍奇點奇點21非線性系統(tǒng)奇點非線性系統(tǒng)奇點),(),(21222111xxfxxxfx 非線性系統(tǒng)的方程非線性系統(tǒng)的方程相平面上孤立奇點的位置可以從下列方程0),(0),(212211 xxfxxf22非線性系統(tǒng)奇點非線性系統(tǒng)奇點在原點在原點021 xx處，處，展成臺勞級數(shù)展成臺勞級數(shù)),(),(21222212122112121111

14、xxxaxaxxxxaxax),(jixxjiijxfa23非線性系統(tǒng)奇點非線性系統(tǒng)奇點 12,xxx 12, 22211211aaaaa用矩陣表示用矩陣表示 xax 其中其中24非線性系統(tǒng)奇點非線性系統(tǒng)奇點采用變換采用變換 ubx ucu 21cb為為a的復模態(tài)矩陣，得到的復模態(tài)矩陣，得到25結(jié)點結(jié)點如果特征值如果特征值 1和和 2為兩個不同的實根且同號，對應于為兩個不同的實根且同號，對應于此種情況的奇點稱為此種情況的奇點稱為結(jié)點結(jié)點。穩(wěn)定結(jié)點26鞍點鞍點如果特征值如果特征值 1和和 2為兩個不同的實根且異號，對應為兩個不同的實根且異號，對應于此種情況的奇點稱為于此種情況的奇點稱為鞍點鞍點。

15、27焦點焦點如果特征值如果特征值 1和和 2為共軛復數(shù)，對應于此種情況的奇為共軛復數(shù)，對應于此種情況的奇點稱為點稱為焦點焦點。穩(wěn)定焦點28中心中心如果特征值如果特征值 1和和 2為共軛虛數(shù)，對應于此種情況的奇為共軛虛數(shù)，對應于此種情況的奇點稱為點稱為中心中心。中心29極限環(huán)極限環(huán) 相平面內(nèi)的封閉軌線是對系統(tǒng)周期運動的定性描述。穩(wěn)定的中心周圍密集的封閉軌線對應于單自由度保守系統(tǒng)的自由振動，振幅取決于初始條件。 孤立的封閉軌線稱作極限環(huán)，極限環(huán)，振幅取決于系統(tǒng)參數(shù)。極限環(huán)穩(wěn)定性的幾何解釋30穩(wěn)定極限環(huán)穩(wěn)定極限環(huán)特點特點: :極限環(huán)內(nèi)外的相軌跡都卷向極限環(huán)極限環(huán)內(nèi)外的相軌跡都卷向極限環(huán), ,自振蕩自

16、振蕩 是穩(wěn)定的是穩(wěn)定的. .環(huán)內(nèi)環(huán)內(nèi): :不穩(wěn)定區(qū)域不穩(wěn)定區(qū)域, ,相軌跡發(fā)散相軌跡發(fā)散環(huán)外環(huán)外: :穩(wěn)定區(qū)域穩(wěn)定區(qū)域, ,相軌跡收斂相軌跡收斂趨向極限環(huán)趨向極限環(huán)穩(wěn)定極限環(huán)穩(wěn)定極限環(huán)x x0 x(t)t031不穩(wěn)定極限環(huán)不穩(wěn)定極限環(huán)特點特點: :極限環(huán)內(nèi)外的相軌跡都卷離極限環(huán)極限環(huán)內(nèi)外的相軌跡都卷離極限環(huán)環(huán)內(nèi)環(huán)內(nèi): :穩(wěn)定區(qū)域穩(wěn)定區(qū)域, ,相軌跡收斂相軌跡收斂環(huán)外環(huán)外: :不穩(wěn)定區(qū)域不穩(wěn)定區(qū)域, ,相軌跡發(fā)散相軌跡發(fā)散 這種系統(tǒng)是小范圍穩(wěn)定這種系統(tǒng)是小范圍穩(wěn)定, ,大范圍不穩(wěn)定大范圍不穩(wěn)定. .設(shè)計時設(shè)計時應盡量增大穩(wěn)定區(qū)域應盡量增大穩(wěn)定區(qū)域( (即增大極限環(huán)即增大極限環(huán)).).卷卷離離極極

17、限限環(huán)環(huán)不穩(wěn)定極限環(huán)不穩(wěn)定極限環(huán)x(t)t0 x x032半穩(wěn)定的極限環(huán)半穩(wěn)定的極限環(huán)環(huán)內(nèi)環(huán)內(nèi), ,環(huán)外都不穩(wěn)定環(huán)外都不穩(wěn)定. . 具有這種極限環(huán)的系統(tǒng)是不會產(chǎn)生自振蕩的具有這種極限環(huán)的系統(tǒng)是不會產(chǎn)生自振蕩的, ,系系統(tǒng)的狀態(tài)最終是發(fā)散的。統(tǒng)的狀態(tài)最終是發(fā)散的。a)半穩(wěn)定的極限環(huán)半穩(wěn)定的極限環(huán)x x0 x(t)t033半穩(wěn)定的極限環(huán)半穩(wěn)定的極限環(huán) 環(huán)內(nèi)環(huán)內(nèi), ,環(huán)外都是穩(wěn)定的環(huán)外都是穩(wěn)定的. . 具有這種極限環(huán)的系統(tǒng)也不會產(chǎn)生自振蕩的具有這種極限環(huán)的系統(tǒng)也不會產(chǎn)生自振蕩的, ,系系統(tǒng)的狀態(tài)最終是趨向于環(huán)內(nèi)的穩(wěn)定奇點。統(tǒng)的狀態(tài)最終是趨向于環(huán)內(nèi)的穩(wěn)定奇點。. .b)半穩(wěn)定的極限環(huán)半穩(wěn)定的極限環(huán)x

18、x0 x(t)t0342.3 相平面分析相平面分析 對于非線性系統(tǒng)來說，相平面分析法的步驟為：對于非線性系統(tǒng)來說，相平面分析法的步驟為：（1 1）寫出一階微分方程；）寫出一階微分方程；（2 2）求出奇點位置；）求出奇點位置； （3 3）畫出相軌跡。）畫出相軌跡。35單擺例題單擺例題例例2-2 2-2 無阻尼單擺的自由振蕩無阻尼單擺的自由振蕩擺錘質(zhì)量為m 的單擺的運動方程為lgdtd 2020220sin(1)(1)36單擺例題單擺例題12,xx21xdtdx 1202sin xdtdx 令得(2)(2)37單擺例題單擺例題21xdtdx 1202xdtdx 當當1x很小時，很小時，平衡點兩個：

19、（平衡點兩個：（0 0，0 0）和（）和（ ，0 0）1. 1. 在（在（0 0，0 0）處）處 01020a38單擺例題單擺例題01)det(20 Ia0202 特征值為共軛虛根，奇點為中心特征值為共軛虛根，奇點為中心39單擺例題單擺例題21xdtdx 1202xdtdx 2. 2. 在（在（ ，0 0）處）處 01020a40單擺例題單擺例題01)det(20 Ia02, 1特征值為實數(shù)且符號相反，奇點為鞍點特征值為實數(shù)且符號相反，奇點為鞍點41單擺例題單擺例題由式由式(2)(2)中的兩式相除并消去中的兩式相除并消去t t ，則可得：，則可得：201212sin xdxdxx 再將式再將式(5)(5)改寫為改寫為(3)(3)222011sinx dxx dx 積分上式，可得：積分上式，可得：222011(1 cos)2xxh(4)(4)(5)(5)42單擺例題單擺例題式中式中h h是一個積分常數(shù)，它正比于系統(tǒng)的總能量，可是一個積分常數(shù)，它正比于系統(tǒng)的總能量，可由初始條件來確定其值。由初始條件來確定其值。22012(1 cos)xhx (6)(6)43自激振動例題自激振動例題例例2-3 2-3 范得波（范得波（Van der PolVan der Pol）方程）方程范得波方程存在著和起始條件無關(guān)的定