電子科技大學數(shù)學實驗實驗五 Monte Carlo方法計算Viviani體體積

1、1/12實驗五實驗五:蒙特卡羅方法實驗蒙特卡羅方法實驗 面積、體積計算問題面積、體積計算問題Viviani體的體積計算體的體積計算思考題與練習題思考題與練習題2/12蒙特卡羅方法蒙特卡羅方法隨機投點試驗求近似解隨機投點試驗求近似解引例引例. 給定曲線給定曲線y =2 x2 和曲線和曲線y3 = x2，曲線的交點為曲線的交點為：P1( 1，1 )、P2( 1，1 )。曲線圍成平面有限區(qū)域，用曲線圍成平面有限區(qū)域，用蒙特卡羅方法計算區(qū)域面積。蒙特卡羅方法計算區(qū)域面積。 P=rand(10000,2);x=2*P(:,1)-1;y=2*P(:,2);II=find(y=x.2);M=length(I

2、I);S=4*M/10000plot(x(II),y(II),g.)S = 2.11361532)2(11322dxxxS3/12例例5.14 計算計算 其中其中D為為y= x 2與與y2 = x 所圍所圍 D的邊界曲線交點為的邊界曲線交點為：(1，-1)，(4，2)，被積函數(shù)在求被積函數(shù)在求積區(qū)域內(nèi)的最大值為積區(qū)域內(nèi)的最大值為1616。積分值是三維體積，該三維積分值是三維體積，該三維圖形位于立方體區(qū)域圖形位于立方體區(qū)域0 x 4，1 y 2，0 z 16內(nèi)，立方體區(qū)域的體積為內(nèi)，立方體區(qū)域的體積為1 192。 data=rand(10000,3); x=4*data(:,1); y=-1+3

3、*data(:,2); z=16*data(:,3); II=find(x=y.2&x=y+2&zsqrt(x.2+y.2)&z=1&u=x.2+y.2+z.2); M=length(II); V=8*M/100005/12實驗實驗:蒙特卡羅方法計算蒙特卡羅方法計算Viviani體體積體體積( , , )|02, 11,02x y zxyz x=2*rand產(chǎn)生產(chǎn)生0到到2之間的隨機數(shù)之間的隨機數(shù)y=2*rand-1產(chǎn)生產(chǎn)生-1到到1之間的隨機數(shù)之間的隨機數(shù)z=2*rand產(chǎn)生產(chǎn)生0到到2之間的隨機數(shù)之間的隨機數(shù)含于體積含于體積 = 8 的六面體的六面體NmV8

4、由于由于rand 產(chǎn)生產(chǎn)生0 到到1之間的隨機數(shù)之間的隨機數(shù),所以所以N個點均勻分布于六面體中個點均勻分布于六面體中, Viviani體中體中占有占有m個個,則錐體與六面體體積之比近似為則錐體與六面體體積之比近似為 m : N222222&2xyzRxyRxR ，2222xyzR22xyRx 求球體求球體 被圓柱面被圓柱面所割下部分的體積所割下部分的體積 ( 稱為維維安尼稱為維維安尼 (Viviani) 體體 ). 解解 由所求立體的對稱性，只要求出在第由所求立體的對稱性，只要求出在第 一卦限內(nèi)的部分體積一卦限內(nèi)的部分體積, ,再乘以再乘以4, ,即得所求立體的體即得所求立體的體 yx

5、zR(圖圖21-32), ,而曲頂?shù)姆匠虨槎數(shù)姆匠虨?222.zRxy 所以所以 2224d,DVRxy 222223042.323RRx xRx xVRxy dydxR 0y 22xyRxxy 平面內(nèi)由平面內(nèi)由和和所確定的區(qū)域所確定的區(qū)域 D 積積. 在第一卦限內(nèi)的立體是一個曲頂柱體在第一卦限內(nèi)的立體是一個曲頂柱體, 其底為其底為 其中其中 22( ,)0,.Dx yyxyRx4)2(222RyRx8/12syms x y;f=sqrt(4-x2-y2);y1=-sqrt(2*x-x2);y2=sqrt(2*x-x2);S1=int(f,y,y1,y2);S2=int(S1,x,0,2)

6、V=double(S2)P=rand(10000,3);X=2*P(:,1);Y=2*P(:,2)-1;Z=2*P(:,3);II=find(X-1).2+Y.2=1&Z=sqrt(4-X.2-Y.2);V1=8*length(II)/10000Error=V-V1實驗參考程序?qū)嶒瀰⒖汲绦?蒙特卡羅方法計算體積蒙特卡羅方法計算體積9/12實驗任務一實驗任務一：記錄：記錄L次實驗的實驗數(shù)據(jù)及誤差次實驗的實驗數(shù)據(jù)及誤差實驗任務二實驗任務二：修改實驗程序修改實驗程序MonteC計算計算L次實驗數(shù)次實驗數(shù)據(jù)均值及均值誤差據(jù)均值及均值誤差( mean 計算平均值計算平均值 )序號序號 1 2 3

7、 4 5 6 7 數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)誤差誤差 L 8 16 32 64 128 256均值均值誤差誤差10/12圓柱面在圓柱面在 平面的投影用極坐平面的投影用極坐標表示為標表示為theta=(-180:10:1800)*pi/180;r=0:0.1:1;X=r*(1+cos(theta);Y=r*sin(theta);Z=sqrt(4-X.2-Y.2);meshz(X,Y,Z)axis offcolormap(0 0 0)view(130,30)Viviani體繪制程序體繪制程序xy0.5 (1cos ),0.5 sin ,0,2 xRyR 11/12思考題與練習題思考題與練習題5. 說明說明L次蒙特卡

8、羅實驗平均值計算次蒙特卡羅實驗平均值計算Viviani的體積誤的體積誤差與實驗次數(shù)之間關(guān)系差與實驗次數(shù)之間關(guān)系1.蒙特卡羅方法計算面積和計算體積方法有何差異？蒙特卡羅方法計算面積和計算體積方法有何差異？2.說明蒙特卡羅方法計算說明蒙特卡羅方法計算Viviani的體積誤差與哪些因的體積誤差與哪些因素有關(guān)。素有關(guān)。3.概率論中的貝努里大數(shù)定律在本次實驗中體現(xiàn)如何概率論中的貝努里大數(shù)定律在本次實驗中體現(xiàn)如何4.敘述概率論中著名獨立同分布大數(shù)定律，并以這一敘述概率論中著名獨立同分布大數(shù)定律，并以這一大數(shù)定律解釋實驗的數(shù)據(jù)變換規(guī)律。大數(shù)定律解釋實驗的數(shù)據(jù)變換規(guī)律。12/125.下面程序繪出二維圖形填下面程序繪出二維圖形填充圖充圖(右圖右圖)。分析每條語句功。分析每條語句功能能,給程序中語句寫注記給程序中語句寫注記x1=-1:0.