導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

1、導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級高中二年級適用區(qū)域江蘇省課時時長（分鐘）60知識點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念；導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及曲線切線的求解；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.教學(xué)目標(biāo)1、理解導(dǎo)數(shù)的概念；2、理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義并能夠求解曲線的切線；3、能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).教學(xué)重點(diǎn)1、求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；2、求解曲線的切線.教學(xué)難點(diǎn)1、求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；2、求解曲線的切線.教學(xué)過程一、課堂導(dǎo)入 大約在1629年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬研究了作曲線的切線和求函數(shù)極值的方法；1637年左右，他寫一篇手稿求最大值與最小值的方法。在作切線時，他構(gòu)造了差分f(A+E)-f(A)，發(fā)

2、現(xiàn)的因子E就是我們所說的導(dǎo)數(shù)f(A)。 17世紀(jì)生產(chǎn)力的發(fā)展推動了自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，在前人創(chuàng)造性研究的基礎(chǔ)上，大數(shù)學(xué)家牛頓、萊布尼茨等從不同的角度開始系統(tǒng)地研究微積分。牛頓的微積分理論被稱為“流數(shù)術(shù)”，他稱變量為流量，稱變量的變化率為流數(shù)，相當(dāng)于我們所說的導(dǎo)數(shù)。牛頓的有關(guān)“流數(shù)術(shù)”的主要著作是求曲邊形面積、運(yùn)用無窮多項(xiàng)方程的計(jì)算法和流數(shù)術(shù)和無窮級數(shù)，流數(shù)理論的實(shí)質(zhì)概括為：他的重點(diǎn)在于一個變量的函數(shù)而不在于多變量的方程；在于自變量的變化與函數(shù)的變化的比的構(gòu)成；最在于決定這個比當(dāng)變化趨于零時的極限。1750年達(dá)朗貝爾在為法國科學(xué)家院出版的百科全書第四版寫的“微分”條目中提出了關(guān)于導(dǎo)數(shù)的一種觀點(diǎn)

3、，可以用現(xiàn)代符號簡單表示：1823年，柯西在他的無窮小分析概論中定義導(dǎo)數(shù)：如果函數(shù)y=f(x)在變量x的兩個給定的界限之間保持連續(xù)，并且我們?yōu)檫@樣的變量指定一個包含在這兩個不同界限之間的值，那么是使變量得到一個無窮小增量。19世紀(jì)60年代以后，魏爾斯特拉斯創(chuàng)造了-語言，對微積分中出現(xiàn)的各種類型的極限重加表達(dá)。導(dǎo)數(shù)的定義也就獲得了今天常見的形式。二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)1.什么是平均變化率？2.什么是導(dǎo)數(shù)？3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義指的是什么？三、知識講解考點(diǎn)1 導(dǎo)數(shù)的概念設(shè)f(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，x0(a，b)，若x無限趨近于0時，比值無限趨近于一個常數(shù)A，則稱f(x)在xx0處可導(dǎo)，并稱常數(shù)A為函數(shù)f

4、(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)即 .考點(diǎn)2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義，就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率.考點(diǎn)3 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)C(C為常數(shù))f(x)0f(x)x (為常數(shù)) f(x)x1 (為常數(shù))f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax (a0，a1)f(x)axln a(a0，a1)f(x)exf(x)exf(x)logax(a0，a1，且x0)f(x)f(x)ln xf(x)2、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則3、 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則： 若yf(u)，uaxb，則yxyuux，即yxyua.四、例

5、題精析例1 一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的方程為。（1） 求質(zhì)點(diǎn)在1，1+t這段時間內(nèi)的平均速度；（2） 求質(zhì)點(diǎn)在t=1時的瞬時速度（用定義及求求導(dǎo)兩種方法）【規(guī)范解答】（1）s=8-3(1+t)2-(8-312)=-6t-3(t)2,.（2）定義法：質(zhì)點(diǎn)在t=1時的瞬時速度求導(dǎo)法：質(zhì)點(diǎn)在t時刻的瞬時速度，當(dāng)t=1時，v=-61=-6.例 2 【規(guī)范解答】(1)方法一：由題可以先展開解析式然后再求導(dǎo)：y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1，y=(6x3+2x2-3x-1)=(6x3)+(2x2)-(3x)=18x2+4x-3.方法二：由題可以利用乘積的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)：y=(2x2-1)(3x

6、+1)+(2x2-1)(3x+1)=4x(3x+1)+3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3=18x2+4x-3.(2)根據(jù)題意把函數(shù)的解析式整理變形可得：(3)根據(jù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)可得：y=(3xex)-(2x)+e=(3x)ex+3x(ex)-(2x)=3xln3ex+3xex-2xln2=(3e)xln3e-2xln2(4)根據(jù)題意利用除法的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)可得：(5)設(shè)=3-2x，則y=(3-2x)5是由y=5與=3-2x復(fù)合而成，所以y=fx=(5)(3-2x)=54(-2)=-104=-10(3-2x)4.例3 已知曲線yx3.(1)求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程；(2)

7、求曲線過點(diǎn)P(2,4)的切線方程；(3)求滿足斜率為1的曲線的切線方程【規(guī)范解答】(1)yx2，在點(diǎn)P(2,4)處的切線的斜率k4.曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y44(x2)，即4xy40.(2) 當(dāng)切點(diǎn)為P點(diǎn)時，由（1）可得，切線為4xy40 切點(diǎn)不是P點(diǎn)，令切點(diǎn)為A（x02），則 切線的斜率kx.切線方程為yx(xx0)，即yxxx.點(diǎn)P(2,4)在切線上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02（舍），此時切線方程為xy20綜上所述：所求切線方程為4xy40或xy20.(3)設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則切

8、線的斜率為kx1，解得x01，故切點(diǎn)為，(1,1)故所求切線方程為yx1和y1x1，即3x3y20和xy20.五、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1、若函數(shù)f（x）=2x21的圖象上一點(diǎn)（1，1）及鄰近一點(diǎn)（1+x，1+y），則等于 【規(guī)范解答】y=2（1+x）211=2x2+4x，=4+2x.2、設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，則等于 【規(guī)范解答】3、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y(2x3)5；(2)y；(3)yln(2x5)【規(guī)范解答】(1)設(shè)u2x3，則y(2x3)5由yu5與u2x3復(fù)合而成yyuux5u4210u410(2x3)4.(2)設(shè)u3x，則y由yu與u3x復(fù)合而成yyuuxu(1)u.(3)設(shè)u2x5，則y

9、ln(2x5)由yln u與u2x5復(fù)合而成yyuux2.4、曲線yx32x1在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為_【規(guī)范解答】yx13x22x11切線方程為y01(x1)整理得yx1.切線方程為yx1.【鞏固】1、若函數(shù)f(x)ax4bx2c滿足f(1)2，則f(1)_.【規(guī)范解答】由于f(x)4ax32bx，f(1)4a2b2，又f(x)f(x)，f(x)為R上的奇函數(shù)，因此，f(1)f(1)2.f(1)=-22、如圖所示，函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y2x9，則f(4)f(4)的值為_【規(guī)范解答】因?yàn)閒(4)2491，f(4)2， 所以f(4)f(4)1(2)1.f(4)f(4)的值

10、為-1.3、曲線C：yxln x在點(diǎn)M(e，e)處的切線方程為_【規(guī)范解答】因?yàn)閥ln xxln x1，所以在點(diǎn)M處的切線的斜率為ln e12，所以在點(diǎn)M(e，e)處的切線方程為ye2(xe)，即為y2xe.4、若曲線在x1處的切線與直線xby10垂直，則實(shí)數(shù)b的值為_【規(guī)范解答】因?yàn)?，所以在x1處的切線斜率為3，又切線與xby10垂直，所以，解得b3.答案為3【拔高】1、已知點(diǎn)P在曲線上為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角,則的取值范圍是 【規(guī)范解答】y e0，且f(x)2ax.因?yàn)榍€存在垂直于y軸的切線，故此時斜率為0，問題轉(zhuǎn)化為x0范圍內(nèi)導(dǎo)函數(shù)f(x)2ax存在零點(diǎn)令2ax0，即2ax210，

11、即x2，顯然只有a0，方程2ax210才有正實(shí)數(shù)根，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a0.3、 已知函數(shù)f(x)ax3bx2cx，且f(1)1，若方程f(x)0的實(shí)數(shù)根為1，求方程f(x)0的實(shí)數(shù)根【規(guī)范解答】由題設(shè)的三個條件“f(1)1，f(1)0，f(1)0”列方程組可解得a、b、c的值f(1)1，abc1，即abc1.又f(x)3ax22bxc，f(x)0的實(shí)數(shù)根為1，3a2bc0，且3a2bc0，聯(lián)立方程，解得a，b0，由f(x)0，得，解得x0，或x，即方程f(x)0的實(shí)數(shù)根為0，.4、過點(diǎn)作曲線：的切線，切點(diǎn)為，設(shè)在軸上的投影是點(diǎn)，過點(diǎn)再作曲線的切線，切點(diǎn)為，設(shè)在軸上的投影是點(diǎn)，依次下去，得到

12、第個切點(diǎn)則點(diǎn)的坐標(biāo)為 【規(guī)范解答】設(shè)T1（x1，ex1），此處的導(dǎo)數(shù)值為ex1，故切線方程為y-ex1=ex1（x-x1），代入點(diǎn)P（-1，0）可得0-ex1=ex1（-1-x1），解得x1=0，即T1（0，1），H1（0，0），同理可得過點(diǎn)H1再作曲線C的切線方程為y-ex2=ex2（x-x2），代入點(diǎn)H1（0，0），可得0-ex2=ex2（0-x2），可解得x2=1，故T2（1，e），H2（1，0），依次下去，可得Tn+1的坐標(biāo)為（n，en）六、課程小結(jié)1準(zhǔn)確理解曲線的切線，需注意的兩個方面：(1)直線與曲線公共點(diǎn)的個數(shù)不是切線的本質(zhì)特征，若直線與曲線只有一個公共點(diǎn)，則直線不一定是曲線的切線，同樣，若直線是曲線的切線，則直線也可能與曲線有兩個或兩個以上的公共點(diǎn)(2)曲線未必在其切線的“同側(cè)”，如曲線yx3在其過(0,0)點(diǎn)的切線y0的兩側(cè)2曲線的切線的求法：若已知曲線過點(diǎn)P(x0，y0)，求曲線過點(diǎn)P的切線則需分點(diǎn)P(x0，y0)是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩種情況求解(1)點(diǎn)P(x0，y0)是切點(diǎn)的切線方程為yy0f(x0)(xx0)(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)不是切點(diǎn)時可分以下幾步完成：第一步：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P(x1，f(x1)；第二步：寫出過P(x1，f(x1)的切線方程