基于APOS理論的函數概念教學設計

1、.基于APOS理論的函數概念教學設計一、 概念同化教學與APOS 理論高中新課程實行已經有四年多了，然而目前，相當多老師仍然采取傳統的概念同化教學方式，其教學步驟為1：1提醒概念的本質屬性，給出定義、名稱和符號;2對概念進展特殊分類，提醒概念的外延;3穩(wěn)固概念，利用概念的定義進展簡單的識別活動;4概念的應用與聯絡，用概念解決問題，并建立所學概念與其它概念間的聯絡。這種教學方式有其精妙之處，但是過快的抽象過程只能有一少部分學生進展有意義的學習，難以引發(fā)全體學生的學習活動，大部分學生理解不了數學概念，只能靠死記硬背。事實上，概念的同化教學對幫助學生構建良好的概念圖式、原理圖式，作用非常有限。因為心

2、理意義是不能傳授的，必需由學生自我構建，不能由老師代替學生操作、考慮、體驗。美國數學教育學家 Ed.Dubinsky認為：一個人是不可能直接學習到數學概念的，更確切地說,人們透過心智構造mental structure使所學的數學概念產生意義。假如一個人對于給予的數學概念擁有適當的心智構造，那么他幾乎自然就學到了這個概念。反之，假如他無法建立起適當的心智構造，那么他學習數學概念幾乎是不可能的。因此，Ed Dubinsky認為，學生學習數學概念就是要建構心智構造，這一建構過程要經歷以下4個階段2：二、基于APOS理論的函數教學設計從數學教育的研究內容來看，關于代數內容已經逐漸從以解方程為中心轉到

3、以研究函數為中心了3。函數概念已經成為中學數學中最為重要的概念之一。 函數概念本身不好理解。國外關于函數教學的研究說明了這一點斯法德調查了60 名16 歲和18 歲的學生，結論是大多數學生認為函數的概念是個過程而不是靜止的構造。中國學者也進展了相關的研究，見文獻4.可見，函數確實成了中學數學中最難教、最難學的概念之一。函數的教學在我國設置成螺旋式的教學，初中是用運動變化的觀點對函數進展定義，雖然這種定義較為直觀，但并未完全提醒出函數概念的本質。例如，對于函數假如用運動變化的觀點去看它，就不好解釋，顯得牽強。但假如用集合與對應的觀點來解釋，就非常自然。筆者在浙江省義烏市第三中學陳向陽老師設計的?

4、函數的概念?根底上進展考慮，嘗試用APOS理論來設計高中函數概念的教學。一創(chuàng)設問題情境，引出課題老師提出問題1：我們在初中學習過函數的概念，它是如何定義的呢?在初中已經學過哪些函數?在學生答復的根底上出示投影我們已經學習了一些詳細的函數，那么為什么還要學習函數呢?先請同學們考慮下面的問題：問題2：由上述定義你能判斷“y=1是否表示一個函數?函數y=x與函數表示同一個函數嗎?學生考慮、討論后，老師點撥：僅用上述函數概念很難答復這些問題，我們需要從新的角度來認識函數概念。二生活實例演示，操作練習活動A問題3：以下圖中哪幾個圖像與下述三件事分別吻合得最好?請你為剩下的那個圖像寫出一件事.1我分開家不

5、久，發(fā)現自己把作業(yè)本可能忘在家里了，于是停下來找，沒找到，就返回家里找到了作業(yè)本再上學;2我騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽誤了一些時間;3我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進，后來為了趕時間開場加速.活動小結：每一個時刻，按照圖像，都有唯一確定的間隔 與它對應。三借助信息技術，討論歸納過程P師：實例1演示動畫，用?幾何畫板?動態(tài)地顯示炮彈高度關于炮彈發(fā)射時間的函數。啟發(fā)學生觀察、考慮、討論，嘗試用集合與對應的語言描繪變量之間的依賴關系：在的變化范圍內，任給一個，按照給定的解析式，都有唯一的一個高度與之相對應。生：用計算器計算，然后用集合與對應的語言描繪變量之間的依賴關系。師：實例2

6、引導學生看圖，并啟發(fā)：在的變化范圍內，任給一個t，按照給定的圖象，都有唯一的一個臭氧空洞面積與之相對應。生：動手測量，然后用集合與對應的語言描繪變量之間的依賴關系。師生：實例3共同讀表，然后用集合與對應的語言描繪變量之間的依賴關系。四從特殊到一般，引出函數概念對象O問題4：分析、歸納以上三個實例，它們有什么共同特點?生：分組討論三個實例的共同特點，然后歸納出函數定義，并在全班交流。師生：由學生概括，老師補充，引導學生歸納出三個實例中變量之間的關系均可描繪為：對于數集中的每一個，按照某種對應關系，在數集中都有唯一確定的與它對應，記作老師強調指出“僅僅是數學符號。為了更好地理解函數符號的含義，老師

7、提出下一個問題：問題5：一定就是函數的解析式嗎?師生：函數的解析式、圖象、表格都是表示函數的方法。問題6：函數能否看做是兩個集合之間的一種對應呢?假如能，怎樣給函數重新下一個定義呢?在學生答復的根底上老師歸納總結補充練習：以下圖象中不能作為函數的圖象的是 例1.函數，1求函數、的定義域;2求的值;3當時，求的值。4求5求讓學生考慮，并提問個別學生。師問：怎樣求函數的定義域?追問：與有何區(qū)別與聯絡?點撥：表示當自變量時函數的值，是一個常量，而是自變量的函數，它是一個變量，是的一個特殊值。追問：如何求，又如何求一般情況的?詳細地，可以將2帶入函數求出詳細值，再代入求出函數值。對于抽象的，應該將看成

8、一個整體，帶入的解析式，求出的解析式。問題7：函數的三要素是什么?老師引導學生歸納總結：函數的三要素是定義域、值域及對應法那么。在函數的三要素中，當其中的兩要素已確定時，那么第三個要素也就隨之確定了。如當函數的定義域，對應法那么已確定，那么函數的值域也就確定了。追問：如何判斷兩個函數是否一樣?以學生已解決的問題出發(fā)創(chuàng)設情境，引起學生的學習興趣，再次引發(fā)學生在構建自身根底上的“再創(chuàng)造，并通過獨立考慮后的討論，培養(yǎng)學生分析解決問題、用數學語言交流溝通的才能。例2.以下函數中哪個與函數相等?1234師問：判斷函數相等的根據是什么?變式：假設改2為呢?考慮：你能舉出一些函數相等的詳細例子嗎?啟發(fā)并引導

9、學生考慮、討論、交流，老師歸納總結出函數的要點：1.函數是一種特殊的對應非空數集到非空數集的對應;2.函數的核心是對應法那么，通常用記號表示函數的對應法那么，在不同的函數中，的詳細含義不一樣。函數記號說明，對于定義域的任意一個在“對應法那么的作用下，即在中可得唯一的. 當在定義域中取一個確定的，對應的函數值即為.集合中并非所有的元素在定義域中都有元素和它對應;值域;3.函數符號的說明：1“即為“是的函數的符號表示;2不一定能用解析式表示;3與是不同的，通常，表示函數當時的函數值;4在同時研究兩個或多個函數時，常用不同符號表示不同的函數，除用符號外，還常用、等符號來表示。4.定義域是函數的重要組

10、成部分，如與是不同的兩個函數。五借助熟悉的函數，加深對函數概念的理解圖式S問題8：集合AA=R到集合BB=R的對應：: A→B，使得集合B中的元素與集合A中的元素對應，如何表示這個函數?定義域和值域各是什么?函數呢?函數呢?老師演示動畫，用?幾何畫板?顯示這三種函數的動態(tài)圖象，啟發(fā)學生觀察、分析，并請同學們考慮之后填寫下表：函數一次函數反比例函數二次函數對應關系a0a0定義域值域用函數的定義去解釋學過的一次函數、反比例函數、二次函數，使得對函數的描繪性定義上升到集合與對應語言刻畫的定義。同時利用信息技術工具畫出函數的圖象，是讓學生進一步體會“數與“形結合在理解函數中的作用，更

11、好地幫助理解上述函數的三個要素，從而加強學生對函數概念的理解，進一步挖掘函數概念中集合與函數的聯絡。明確定義域、值域和對應關系是決定函數的三要素，這是一個整體，以此更好地培養(yǎng)學生深層次考慮問題的習慣。六再創(chuàng)情境，引導探究函數概念的新認識圖式S問題9：比較函數的近代定義與傳統定義即初中課本函數的定義的異同點，你對函數有什么新的認識?學生考慮、討論，老師點撥：函數近代定義與傳統定義在本質上是一致的，兩個定義中的定義域與值域的意義完全一樣。兩個定義中的對應法那么實際上也一樣，只不過表達的出發(fā)點不同，傳統定義是從運動變化的觀點出發(fā)，近代定義的對應法那么是從集合與對應的觀點出發(fā)。問題10：學生在前面學習

12、的根底上，反思對問題2的解答，重新考慮問題2，談談自己的認識。老師啟發(fā)、引導學生畫圖，以形求數。師生：是函數;與不是同一個函數。引導學生對問題2進展反思和總結，并將之一般化，利用數學語言來表達，培養(yǎng)學生反思問題、總結歸納的習慣和藹于運用數學語言抽象所發(fā)現的結論的才能。七舉例應用，深化目的圖式S例3.函數1畫出函數的圖象;2求的值;3你從2中發(fā)現了什么結論?4求函數的值域。為了讓學生體會到從特殊到一般的思想方法，同時也后面研究函數的性質奇函數作準備。老師引導學生解決此題的關鍵點，并進展變式：變式1：， 當時，求函數的值域; 當時，求函數的值域。變式2：， 當函數值域為時，求函數定義域; 當函數值

13、域為時，求函數定義域。變式3：1，求的值。2，求函數.變式4：，求的解析式;的解析式;的解析式。以一個問題為背景，一題多用，一題多變，由淺入深，表達梯度，使不同程度的學生都有開展。通過一組精心設計的問題鏈來引導和激發(fā)學生的參與意識、創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學生探究問題的才能，從而提升學生的思維品質。借助三個變式層層深化，是理論到理論的升華，使概念深化、強化、類化的作用與含義印入心底，得到再次認同，初步掌握與應用才能也就自然形成了。八練習交流，反響穩(wěn)固以學生答復、板演的形式進展課堂練習，充分發(fā)揮師與生、生與生的互動，以老師、學生互相交流來穩(wěn)固本節(jié)課的學習。九學生歸納小結，老師評價以同桌之間一人小結一人傾聽

14、的方式，以四人為一小組進展小組討論，對本節(jié)課所學的內容進展自主小結，老師及時進展歸納總結：1.函數的近代定義與傳統定義的異同點;2.集合與函數的聯絡、區(qū)別;3.函數的三要素;4.數形結合的思想。三、幾點啟示APOS理論對學生的函數概念的理解作出了分層分析，可以預測學生已經在多大程度上對性質作出了心理建構，從而推知學生對函數概念的掌握起點?；贏POS理論的理念設計數學性質教學，本質是“以學生為主體的理念在課堂探究中的表達，有利于學生理解函數的概念。教學中老師要關注數學本身的特點，更重要的是要關注課堂上學生的掌握概念的思維狀況，將數學知識和學生探究活動有機結合，要求老師要重視學生的學習活動，讓學

15、生親身創(chuàng)設問題情境。數學老師要意識到：一個數學概念由“過程到“對象的建立, 有時既困難又漫長, 需要經過屢次反復,循序漸進,螺旋上升, 直至學生真正理解,“對象的建立要注意簡練的文字形式和符號表示,使學生在頭腦中建立起數學知識的直觀構造形象。要練說，得練聽。聽是說的前提，聽得準確，才有條件正確模擬，才能不斷地掌握高一級程度的語言。我在教學中，注意聽說結合，訓練幼兒聽的才能，課堂上，我特別重視老師的語言，我對幼兒說話，注意聲音清楚，上下起伏，抑揚有致，富有吸引力，這樣能引起幼兒的注意。當我發(fā)現有的幼兒不專心聽別人發(fā)言時，就隨時表揚那些靜聽的幼兒，或是讓他重復別人說過的內容，抓住教育時機，要求他們

16、專心聽，用心記。平時我還通過各種興趣活動，培養(yǎng)幼兒邊聽邊記，邊聽邊想，邊聽邊說的才能，如聽詞對詞，聽詞句說意思，聽句子辯正誤，聽故事講述故事，聽謎語猜謎底，聽智力故事，動腦筋，出主意，聽兒歌上句，接兒歌下句等，這樣幼兒學得生動活潑，輕松愉快，既訓練了聽的才能，強化了記憶，又開展了思維，為說打下了根底。學生對于函數概念的認識不是一蹴而就的，這就要要老師在教學過程中整體處理教材，把握教學的度，結合詳細的問題有意識地在各個階段的學習過程中，幫助學生逐步形成函數完好的知識鏈。在往后的教學中要注意學生對知識的圖式的建立, 即加強知識間的聯絡和應用,如在講解詳細的指數函數、對數函數、冪函數時，可以以詳細函

17、數為載體，在一般函數概念的指導下對其性質進展研究，表達了“詳細抽象詳細的過程，是函數概念理解的深化。又如，在講解不等式、方程的求解及應用后，可以與函數相結合，進展比照，從而加深對函數概念的理解，幫助學生在頭腦中建立起完好的數學知識的心理圖式。觀察內容的選擇，我本著先靜后動，由近及遠的原那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內容。隨機觀察也是不可少的，是相當有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導幼兒多角度多層面地進展觀察，保證每個幼兒看得到，看得清。看得清才能說得正確。在觀察過程中指導。我注意

18、幫助幼兒學習正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點觀察，觀察與說話相結合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時機，引導幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快。我加以肯定說“這是烏云滾滾。當幼兒看到閃電時，我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽到雷聲驚叫起來，我抓住時機說：“這就是雷聲隆隆。一會兒下起了大雨，我問：“雨下得怎樣?幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨這個詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽公公咪咪笑。這樣抓住特征見景生情，幼兒不僅印象深化，對雷雨前后氣象變化的詞語學得快，記得牢，而且會應用。我還在觀察的根底上，引導幼兒聯想，讓他們與以往學的詞語、生活經歷聯絡起來，在開展想象力中開展語言。如啄木鳥的嘴是長長的，尖尖