對向量為什么不存在除法的原因分析

1、.對向量為什么不存在除法的原因分析向量進入高中教材以后,為用代數(shù)方法研究幾何問題提供了強有力的工具,它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份,融數(shù)形于一體.但是它和以往學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)運算有很大的不同,致使很多學(xué)生感到困難,老師一直強調(diào)向量和數(shù)量的區(qū)別是既有大小又有方向,可是很多學(xué)消費生了這樣的疑問:這個既有大小又有方向的向量不能存在除法嗎?為什么課本里只出現(xiàn)了乘法?對于這個問題很多老師的答復(fù)是就這樣規(guī)定的或者這個問題等你們以后上了大學(xué)才會研究,如今不需要知道.這樣的答復(fù)顯然不能使學(xué)生滿意,下面就說說這個問題.一、數(shù)學(xué)中如何理解除法除法的定義:兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù),求另一個因數(shù)的運算.除法是乘法的

2、逆運算,假如存在乘法的逆運算,那么除法就存在.逆運算的定義:運算是一種對應(yīng)法那么.設(shè)A是一個非空集合,對于A中的任意兩個元素a,b,根據(jù)某種法那么使A中有唯一確定的元素c與它們對應(yīng),就說這個法那么是A中的一種運算.這樣,給了A的任意兩個元素a和b,通過所給的運算,可以得到一個結(jié)果c.反過來,假如元素c,以及元素a,b中的一個,按照某種法那么,可以得到另一個元素,這樣的法那么也定義了一種運算,這樣的運算叫做原來運算的逆運算.逆運算的過程也就是求解逆元的過程.設(shè)G是一數(shù)域,對于乘法運算“·有證:設(shè)方程的解為x=a',y=a,即有aa'=1和aa=1.因為a'=1&

3、#183;a'=aaa'=aaa'=a·1=a,所以aa'=aa=1即a在G中的逆元是唯一確定的.二、分析向量乘法的逆運算這里可以采用“假設(shè)的方法.假設(shè)的方法,就是在不知道某判斷是否正確的時候,先認為它是正確的,以此為前提條件進展推理,看一看推理的結(jié)果是否正確,假如正確.說明這個判斷是真的,假如推理的結(jié)論不正確,說明這個判斷是假的2.那么如今假設(shè)向量存在除法,下面從向量數(shù)量積和向量積的逆運算分別展開證明,可以得出向量的除法是否存在1.向量的乘法數(shù)量積的定義:兩個非零向量的夾角記為a,b,且a,b0,.兩個向量的數(shù)量積內(nèi)積、點積是一個數(shù)量,記作a

4、3;b.假設(shè)a,b不共線,那么a·b=|a|b|cosa,b;假設(shè)a,b共線,那么a·b=±|a|b|.向量積的定義:兩個向量a和b的向量積外積、叉積是一個向量,記作a×b.假設(shè)a,b不共線,那么a×b的模是:|a×b|=|a|b|sina,b;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按這個次序構(gòu)成右手系.假設(shè)a、b共線,那么a×b=03.2.數(shù)量積的逆運算假設(shè)數(shù)量積存在除法,設(shè)向量a,x的乘積為m,那么=x,因為除法是乘法的逆運算,所以a·x=m,由定義可得:兩個向量的數(shù)量積等于一個向量

5、的模乘以另一個向量在此向量上的射影,那么假如把a固定不變,改變x的方向和大小,發(fā)現(xiàn)有無數(shù)個向量的射影等于原來x在a上的射影,即乘積不變.那么向量x的解是無窮多的,即向量的商不是唯一確定的.這個結(jié)論可以從直觀上去觀察.如圖1:舉例證明:取兩個互相垂直的向量a和b,即a和b的夾角為90°,那么a·b=0;再取一個向量c,根據(jù)向量與實數(shù)的乘積仍然是個向量,可以讓c=d+b;那么a·c=ad+b=a·d+a·b,因為a·b=0,所以a·c=ad+b=a·d+0=a·d,即=c,又因為可以取任意值,那么向量c就不能

6、唯一確定,即向量的商為一個不確定的向量.3.向量積的逆運算同理,假設(shè)向量積存在除法,因為向量積的結(jié)果是一個向量,所以設(shè)a,x的乘積為m,那么=x,根據(jù)逆運算可得a·x=m.由定義可知:向量積的?？梢钥醋髌叫兴倪呅蔚拿娣e,假定a是不變的,那么變化x的長度和方向,也可以得到一樣面積的平行四邊形,顯然這樣的x是無窮多的,同樣可以得到向量的商不是唯一確定的結(jié)論.這個結(jié)論也可以從直觀上去觀察,如圖2:舉例證明:這里我們?nèi)蓚€互相平行的向量a和b,即a和b的夾角為0°,那么a×b=0;同理,再取一個向量c,讓c=d+b;那么a×c=a×d+b=a×

7、;d+a×b,因為a×b=0,所以a×c=a×d+b=a×d+0=a×d,即=c,可以取任意值,那么向量c仍然不是唯一確定的.綜上所述,運用乘法的逆運算進展計算所得到的結(jié)果均是不確定的,因此向量的除法是不存在的.有人又產(chǎn)生了這樣的疑問,不確定的結(jié)果為什么就不能作為商呢?下面從數(shù)學(xué)推理和函數(shù)的角度來說明這個問題.三、數(shù)學(xué)確實定性1.數(shù)學(xué)推理確實定性正確的推理加上正確的前提條件可以使人們做出正確的判斷,得到正確的結(jié)論.數(shù)學(xué)推理往往從一些不證自明的定理出發(fā)推出其他定理的正確性,這說明演繹推理的前提條件是確定的,那么由此推導(dǎo)出的結(jié)論必然具有確

8、定性4.數(shù)學(xué)家S.T.Sanders的研究說明:目前普遍認可的數(shù)學(xué)特征是:推理確實定性和結(jié)論的一致性.很顯然,只有存在數(shù)學(xué)確實定性,才意味著根據(jù)此結(jié)論推導(dǎo)出來的其他結(jié)論也是確定的.他認為,在推理過程中只要具備以下幾個條件就可以說明推理的過程和結(jié)論具有確定性.1每一個被應(yīng)用的元素數(shù)、量或者運算,有且只有一個確定的值;2這些符號所代表的值是被普遍承受的;3每一個運算符號都有唯一確定的意義;4這些運算符號的意義也被普遍承受;5模糊的或者不確定的元素不能出如今推理過程中.假如無視這些因素或者不成認這些因素,那么整個推理過程就不存在確定性.從古至今演繹推理也稱三段論法是人們進展邏輯推理的根底,在演繹推理

9、過程中出現(xiàn)絲毫的不確定,數(shù)學(xué)家們都將致力修正.如今用三段論法進展推理,檢驗向量的除法能否存在.三段論的推理形式為:1大前提2小前提3結(jié)論人們都認可的一個大前提是:假如兩個除法算式的被除數(shù)和除數(shù)都相等,那么算式的商也相等.對于向量的除法小前提可以分為兩種情況,第一種:被除數(shù)為實數(shù),第二種:被除數(shù)為向量.在這個推理過程中,由同一個假設(shè)得到了兩個結(jié)論,違犯了運算結(jié)果的唯一性原那么,導(dǎo)致數(shù)學(xué)推理的不確定性,因此向量除法是不能存在的.2.函數(shù)確實定性從函數(shù)的角度也可以說明這個問題,先看一下函數(shù)的定義:函數(shù)的傳統(tǒng)定義:在某一個變化過程中有兩個變量x和y,假如對于在某一個范圍內(nèi)的任一個x的值,都有唯一的y值

10、與它對應(yīng),那么稱y是x的函數(shù),x叫做自變量,y叫做因變量.近代定義:給定兩個集合A和B,假設(shè)對于A中的每一個元素x,按照某一對應(yīng)關(guān)系f,在B中都有唯一確定的一個元素y與之對應(yīng),那么稱f為集合A上的一個函數(shù),記作f:AB.集合A為函數(shù)的定義域,與A中元素對應(yīng)的B中元素y構(gòu)成的集合成為函數(shù)的值域.函數(shù)的兩個定義本質(zhì)上是一致的,傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā),而近代定義是在從集合的觀點出發(fā),其本質(zhì)都是從非空集合A到非空集合B的一個特殊的對應(yīng).對于非空集合A中每一個確定的值,非空集合B中都有唯一確定的值與之對應(yīng).自變量和因變量只能是一對一的關(guān)系或者多對一的關(guān)系,不可能是一對多的關(guān)系,這是因為函數(shù)的概念

11、是從運動的研究中產(chǎn)生的,每個時刻只能對應(yīng)一種運動狀態(tài),不可能對應(yīng)多種狀態(tài),所以函數(shù)具有唯一確定性.要練說，得練聽。聽是說的前提，聽得準確，才有條件正確模擬，才能不斷地掌握高一級程度的語言。我在教學(xué)中，注意聽說結(jié)合，訓(xùn)練幼兒聽的才能，課堂上，我特別重視老師的語言，我對幼兒說話，注意聲音清楚，上下起伏，抑揚有致，富有吸引力，這樣能引起幼兒的注意。當我發(fā)現(xiàn)有的幼兒不專心聽別人發(fā)言時，就隨時表揚那些靜聽的幼兒，或是讓他重復(fù)別人說過的內(nèi)容，抓住教育時機，要求他們專心聽，用心記。平時我還通過各種興趣活動，培養(yǎng)幼兒邊聽邊記，邊聽邊想，邊聽邊說的才能，如聽詞對詞，聽詞句說意思，聽句子辯正誤，聽故事講述故事，聽

12、謎語猜謎底，聽智力故事，動腦筋，出主意，聽兒歌上句，接兒歌下句等，這樣幼兒學(xué)得生動活潑，輕松愉快，既訓(xùn)練了聽的才能，強化了記憶，又開展了思維，為說打下了根底。這里可把除法運算看作一個函數(shù),假設(shè)m÷a=x,把商看作函數(shù)值,那么商是由被除數(shù)和除數(shù)這兩個自變量所唯一確定的,由兩個數(shù)確定一個數(shù),是二元函數(shù).只要被除數(shù)和除數(shù)發(fā)生改變,那么會對應(yīng)得到另一個唯一確定的商.假如把被除數(shù)和除數(shù)中的一個固定了,那么可以把除法的運算看作一元函數(shù),商就被另一個數(shù)所確定.可是在這兩種情況下,向量的除法均得不到唯一確定的函數(shù)值,違犯了函數(shù)的唯一確定性.宋以后，京師所設(shè)小學(xué)館和武學(xué)堂中的老師稱謂皆稱之為“教諭。至

13、元明清之縣學(xué)一律循之不變。明朝入選翰林院的進士之師稱“教習(xí)。到清末，學(xué)堂興起，各科老師仍沿用“教習(xí)一稱。其實“教諭在明清時還有學(xué)官一意，即主管縣一級的教育生員。而相應(yīng)府和州掌管教育生員者那么謂“教授和“學(xué)正?！敖淌凇皩W(xué)正和“教諭的副手一律稱“訓(xùn)導(dǎo)。于民間，特別是漢代以后，對于在“?；颉皩W(xué)中傳授經(jīng)學(xué)者也稱為“經(jīng)師。在一些特定的講學(xué)場合，比方書院、皇室，也稱老師為“院長、西席、講席等。觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動，由近及遠的原那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機觀察也是不可少的，是相當有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對

14、象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進展觀察，保證每個幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f得正確。在觀察過程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點觀察，觀察與說話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時機，引導(dǎo)幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快。我加以肯定說“這是烏云滾滾。當幼兒看到閃電時，我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽到雷聲驚叫起來，我抓住時機說：“這就是雷聲隆隆。一會兒下起了大雨，我問：“雨下得怎樣?幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨這個詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽公公咪咪笑。這樣抓住特征見景生情，幼兒不僅印象深化，對雷雨前后氣象變化的詞語學(xué)得快，