對(duì)向量為什么不存在除法的原因分析

1、.對(duì)向量為什么不存在除法的原因分析向量進(jìn)入高中教材以后,為用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題提供了強(qiáng)有力的工具,它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份,融數(shù)形于一體.但是它和以往學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)運(yùn)算有很大的不同,致使很多學(xué)生感到困難,老師一直強(qiáng)調(diào)向量和數(shù)量的區(qū)別是既有大小又有方向,可是很多學(xué)消費(fèi)生了這樣的疑問(wèn):這個(gè)既有大小又有方向的向量不能存在除法嗎?為什么課本里只出現(xiàn)了乘法?對(duì)于這個(gè)問(wèn)題很多老師的答復(fù)是就這樣規(guī)定的或者這個(gè)問(wèn)題等你們以后上了大學(xué)才會(huì)研究,如今不需要知道.這樣的答復(fù)顯然不能使學(xué)生滿(mǎn)意,下面就說(shuō)說(shuō)這個(gè)問(wèn)題.一、數(shù)學(xué)中如何理解除法除法的定義:兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù),求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算.除法是乘法的

2、逆運(yùn)算,假如存在乘法的逆運(yùn)算,那么除法就存在.逆運(yùn)算的定義:運(yùn)算是一種對(duì)應(yīng)法那么.設(shè)A是一個(gè)非空集合,對(duì)于A中的任意兩個(gè)元素a,b,根據(jù)某種法那么使A中有唯一確定的元素c與它們對(duì)應(yīng),就說(shuō)這個(gè)法那么是A中的一種運(yùn)算.這樣,給了A的任意兩個(gè)元素a和b,通過(guò)所給的運(yùn)算,可以得到一個(gè)結(jié)果c.反過(guò)來(lái),假如元素c,以及元素a,b中的一個(gè),按照某種法那么,可以得到另一個(gè)元素,這樣的法那么也定義了一種運(yùn)算,這樣的運(yùn)算叫做原來(lái)運(yùn)算的逆運(yùn)算.逆運(yùn)算的過(guò)程也就是求解逆元的過(guò)程.設(shè)G是一數(shù)域,對(duì)于乘法運(yùn)算“·有證:設(shè)方程的解為x=a',y=a,即有aa'=1和aa=1.因?yàn)閍'=1&

3、#183;a'=aaa'=aaa'=a·1=a,所以aa'=aa=1即a在G中的逆元是唯一確定的.二、分析向量乘法的逆運(yùn)算這里可以采用“假設(shè)的方法.假設(shè)的方法,就是在不知道某判斷是否正確的時(shí)候,先認(rèn)為它是正確的,以此為前提條件進(jìn)展推理,看一看推理的結(jié)果是否正確,假如正確.說(shuō)明這個(gè)判斷是真的,假如推理的結(jié)論不正確,說(shuō)明這個(gè)判斷是假的2.那么如今假設(shè)向量存在除法,下面從向量數(shù)量積和向量積的逆運(yùn)算分別展開(kāi)證明,可以得出向量的除法是否存在1.向量的乘法數(shù)量積的定義:兩個(gè)非零向量的夾角記為a,b,且a,b0,.兩個(gè)向量的數(shù)量積內(nèi)積、點(diǎn)積是一個(gè)數(shù)量,記作a

4、3;b.假設(shè)a,b不共線,那么a·b=|a|b|cosa,b;假設(shè)a,b共線,那么a·b=±|a|b|.向量積的定義:兩個(gè)向量a和b的向量積外積、叉積是一個(gè)向量,記作a×b.假設(shè)a,b不共線,那么a×b的模是:|a×b|=|a|b|sina,b;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系.假設(shè)a、b共線,那么a×b=03.2.數(shù)量積的逆運(yùn)算假設(shè)數(shù)量積存在除法,設(shè)向量a,x的乘積為m,那么=x,因?yàn)槌ㄊ浅朔ǖ哪孢\(yùn)算,所以a·x=m,由定義可得:兩個(gè)向量的數(shù)量積等于一個(gè)向量

5、的模乘以另一個(gè)向量在此向量上的射影,那么假如把a(bǔ)固定不變,改變x的方向和大小,發(fā)現(xiàn)有無(wú)數(shù)個(gè)向量的射影等于原來(lái)x在a上的射影,即乘積不變.那么向量x的解是無(wú)窮多的,即向量的商不是唯一確定的.這個(gè)結(jié)論可以從直觀上去觀察.如圖1:舉例證明:取兩個(gè)互相垂直的向量a和b,即a和b的夾角為90°,那么a·b=0;再取一個(gè)向量c,根據(jù)向量與實(shí)數(shù)的乘積仍然是個(gè)向量,可以讓c=d+b;那么a·c=ad+b=a·d+a·b,因?yàn)閍·b=0,所以a·c=ad+b=a·d+0=a·d,即=c,又因?yàn)榭梢匀∪我庵?那么向量c就不能

6、唯一確定,即向量的商為一個(gè)不確定的向量.3.向量積的逆運(yùn)算同理,假設(shè)向量積存在除法,因?yàn)橄蛄糠e的結(jié)果是一個(gè)向量,所以設(shè)a,x的乘積為m,那么=x,根據(jù)逆運(yùn)算可得a·x=m.由定義可知:向量積的?？梢钥醋髌叫兴倪呅蔚拿娣e,假定a是不變的,那么變化x的長(zhǎng)度和方向,也可以得到一樣面積的平行四邊形,顯然這樣的x是無(wú)窮多的,同樣可以得到向量的商不是唯一確定的結(jié)論.這個(gè)結(jié)論也可以從直觀上去觀察,如圖2:舉例證明:這里我們?nèi)蓚€(gè)互相平行的向量a和b,即a和b的夾角為0°,那么a×b=0;同理,再取一個(gè)向量c,讓c=d+b;那么a×c=a×d+b=a×

7、;d+a×b,因?yàn)閍×b=0,所以a×c=a×d+b=a×d+0=a×d,即=c,可以取任意值,那么向量c仍然不是唯一確定的.綜上所述,運(yùn)用乘法的逆運(yùn)算進(jìn)展計(jì)算所得到的結(jié)果均是不確定的,因此向量的除法是不存在的.有人又產(chǎn)生了這樣的疑問(wèn),不確定的結(jié)果為什么就不能作為商呢?下面從數(shù)學(xué)推理和函數(shù)的角度來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題.三、數(shù)學(xué)確實(shí)定性1.數(shù)學(xué)推理確實(shí)定性正確的推理加上正確的前提條件可以使人們做出正確的判斷,得到正確的結(jié)論.數(shù)學(xué)推理往往從一些不證自明的定理出發(fā)推出其他定理的正確性,這說(shuō)明演繹推理的前提條件是確定的,那么由此推導(dǎo)出的結(jié)論必然具有確

8、定性4.數(shù)學(xué)家S.T.Sanders的研究說(shuō)明:目前普遍認(rèn)可的數(shù)學(xué)特征是:推理確實(shí)定性和結(jié)論的一致性.很顯然,只有存在數(shù)學(xué)確實(shí)定性,才意味著根據(jù)此結(jié)論推導(dǎo)出來(lái)的其他結(jié)論也是確定的.他認(rèn)為,在推理過(guò)程中只要具備以下幾個(gè)條件就可以說(shuō)明推理的過(guò)程和結(jié)論具有確定性.1每一個(gè)被應(yīng)用的元素?cái)?shù)、量或者運(yùn)算,有且只有一個(gè)確定的值;2這些符號(hào)所代表的值是被普遍承受的;3每一個(gè)運(yùn)算符號(hào)都有唯一確定的意義;4這些運(yùn)算符號(hào)的意義也被普遍承受;5模糊的或者不確定的元素不能出如今推理過(guò)程中.假如無(wú)視這些因素或者不成認(rèn)這些因素,那么整個(gè)推理過(guò)程就不存在確定性.從古至今演繹推理也稱(chēng)三段論法是人們進(jìn)展邏輯推理的根底,在演繹推理

9、過(guò)程中出現(xiàn)絲毫的不確定,數(shù)學(xué)家們都將致力修正.如今用三段論法進(jìn)展推理,檢驗(yàn)向量的除法能否存在.三段論的推理形式為:1大前提2小前提3結(jié)論人們都認(rèn)可的一個(gè)大前提是:假如兩個(gè)除法算式的被除數(shù)和除數(shù)都相等,那么算式的商也相等.對(duì)于向量的除法小前提可以分為兩種情況,第一種:被除數(shù)為實(shí)數(shù),第二種:被除數(shù)為向量.在這個(gè)推理過(guò)程中,由同一個(gè)假設(shè)得到了兩個(gè)結(jié)論,違犯了運(yùn)算結(jié)果的唯一性原那么,導(dǎo)致數(shù)學(xué)推理的不確定性,因此向量除法是不能存在的.2.函數(shù)確實(shí)定性從函數(shù)的角度也可以說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題,先看一下函數(shù)的定義:函數(shù)的傳統(tǒng)定義:在某一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y,假如對(duì)于在某一個(gè)范圍內(nèi)的任一個(gè)x的值,都有唯一的y值

10、與它對(duì)應(yīng),那么稱(chēng)y是x的函數(shù),x叫做自變量,y叫做因變量.近代定義:給定兩個(gè)集合A和B,假設(shè)對(duì)于A中的每一個(gè)元素x,按照某一對(duì)應(yīng)關(guān)系f,在B中都有唯一確定的一個(gè)元素y與之對(duì)應(yīng),那么稱(chēng)f為集合A上的一個(gè)函數(shù),記作f:AB.集合A為函數(shù)的定義域,與A中元素對(duì)應(yīng)的B中元素y構(gòu)成的集合成為函數(shù)的值域.函數(shù)的兩個(gè)定義本質(zhì)上是一致的,傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā),而近代定義是在從集合的觀點(diǎn)出發(fā),其本質(zhì)都是從非空集合A到非空集合B的一個(gè)特殊的對(duì)應(yīng).對(duì)于非空集合A中每一個(gè)確定的值,非空集合B中都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng).自變量和因變量只能是一對(duì)一的關(guān)系或者多對(duì)一的關(guān)系,不可能是一對(duì)多的關(guān)系,這是因?yàn)楹瘮?shù)的概念

11、是從運(yùn)動(dòng)的研究中產(chǎn)生的,每個(gè)時(shí)刻只能對(duì)應(yīng)一種運(yùn)動(dòng)狀態(tài),不可能對(duì)應(yīng)多種狀態(tài),所以函數(shù)具有唯一確定性.要練說(shuō)，得練聽(tīng)。聽(tīng)是說(shuō)的前提，聽(tīng)得準(zhǔn)確，才有條件正確模擬，才能不斷地掌握高一級(jí)程度的語(yǔ)言。我在教學(xué)中，注意聽(tīng)說(shuō)結(jié)合，訓(xùn)練幼兒聽(tīng)的才能，課堂上，我特別重視老師的語(yǔ)言，我對(duì)幼兒說(shuō)話(huà)，注意聲音清楚，上下起伏，抑揚(yáng)有致，富有吸引力，這樣能引起幼兒的注意。當(dāng)我發(fā)現(xiàn)有的幼兒不專(zhuān)心聽(tīng)別人發(fā)言時(shí)，就隨時(shí)表?yè)P(yáng)那些靜聽(tīng)的幼兒，或是讓他重復(fù)別人說(shuō)過(guò)的內(nèi)容，抓住教育時(shí)機(jī)，要求他們專(zhuān)心聽(tīng)，用心記。平時(shí)我還通過(guò)各種興趣活動(dòng)，培養(yǎng)幼兒邊聽(tīng)邊記，邊聽(tīng)邊想，邊聽(tīng)邊說(shuō)的才能，如聽(tīng)詞對(duì)詞，聽(tīng)詞句說(shuō)意思，聽(tīng)句子辯正誤，聽(tīng)故事講述故事，聽(tīng)

12、謎語(yǔ)猜謎底，聽(tīng)智力故事，動(dòng)腦筋，出主意，聽(tīng)兒歌上句，接兒歌下句等，這樣幼兒學(xué)得生動(dòng)活潑，輕松愉快，既訓(xùn)練了聽(tīng)的才能，強(qiáng)化了記憶，又開(kāi)展了思維，為說(shuō)打下了根底。這里可把除法運(yùn)算看作一個(gè)函數(shù),假設(shè)m÷a=x,把商看作函數(shù)值,那么商是由被除數(shù)和除數(shù)這兩個(gè)自變量所唯一確定的,由兩個(gè)數(shù)確定一個(gè)數(shù),是二元函數(shù).只要被除數(shù)和除數(shù)發(fā)生改變,那么會(huì)對(duì)應(yīng)得到另一個(gè)唯一確定的商.假如把被除數(shù)和除數(shù)中的一個(gè)固定了,那么可以把除法的運(yùn)算看作一元函數(shù),商就被另一個(gè)數(shù)所確定.可是在這兩種情況下,向量的除法均得不到唯一確定的函數(shù)值,違犯了函數(shù)的唯一確定性.宋以后，京師所設(shè)小學(xué)館和武學(xué)堂中的老師稱(chēng)謂皆稱(chēng)之為“教諭。至

13、元明清之縣學(xué)一律循之不變。明朝入選翰林院的進(jìn)士之師稱(chēng)“教習(xí)。到清末，學(xué)堂興起，各科老師仍沿用“教習(xí)一稱(chēng)。其實(shí)“教諭在明清時(shí)還有學(xué)官一意，即主管縣一級(jí)的教育生員。而相應(yīng)府和州掌管教育生員者那么謂“教授和“學(xué)正?！敖淌凇皩W(xué)正和“教諭的副手一律稱(chēng)“訓(xùn)導(dǎo)。于民間，特別是漢代以后，對(duì)于在“校或“學(xué)中傳授經(jīng)學(xué)者也稱(chēng)為“經(jīng)師。在一些特定的講學(xué)場(chǎng)合，比方書(shū)院、皇室，也稱(chēng)老師為“院長(zhǎng)、西席、講席等。觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動(dòng)，由近及遠(yuǎn)的原那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機(jī)觀察也是不可少的，是相當(dāng)有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲(chóng)等，孩子一邊觀察，一邊提問(wèn)，興趣很濃。我提供的觀察對(duì)

14、象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進(jìn)展觀察，保證每個(gè)幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f(shuō)得正確。在觀察過(guò)程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點(diǎn)觀察，觀察與說(shuō)話(huà)相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時(shí)機(jī)，引導(dǎo)幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問(wèn)幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說(shuō)：烏云像大海的波浪。有的孩子說(shuō)“烏云跑得飛快。我加以肯定說(shuō)“這是烏云滾滾。當(dāng)幼兒看到閃電時(shí)，我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽(tīng)到雷聲驚叫起來(lái)，我抓住時(shí)機(jī)說(shuō)：“這就是雷聲隆隆。一會(huì)兒下起了大雨，我問(wèn)：“雨下得怎樣?幼兒說(shuō)大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨這個(gè)詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍(lán)天高，白云飄，鳥(niǎo)兒飛，樹(shù)兒搖，太陽(yáng)公公咪咪笑。這樣抓住特征見(jiàn)景生情，幼兒不僅印象深化，對(duì)雷雨前后氣象變化的詞語(yǔ)學(xué)得快，