因式分解教學(xué)設(shè)計

1、專題五 拓展閱讀9、因式分解教學(xué)設(shè)計 初中數(shù)學(xué)課程團隊(z0503) 發(fā)表于 2007-11-07 18:03:10 地址： 因式分解教學(xué)設(shè)計 北大附中  鮑敬宜                                   

2、0;  一.  背景介紹 因式分解，這是初中數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的經(jīng)典，因式分解是代數(shù)式中的重要內(nèi)容，它與前一章整式和后一章分式聯(lián)系極為密切。因式分解的教學(xué)是在整式四則運算的基礎(chǔ)上進行的，因式分解方法的理論依據(jù)就是多項式乘法的逆變形。它不僅在多項式的除法、簡便運算中有直接的應(yīng)用，也為以后學(xué)習(xí)分式的約分與通分、解方程（組）及三角函數(shù)式的恒等變形提供了必要的基礎(chǔ)。因此，學(xué)好因式分解對于代數(shù)知識的后續(xù)學(xué)習(xí)，具有相當(dāng)重要的意義。在新課標的理念下，必須要重新理解它深刻的內(nèi)涵，重新審視因式分解的教育價值。傳統(tǒng)的因式分解，是數(shù)學(xué)的工具，使學(xué)生熟練掌握一些因式分解技能技巧，本來十分簡單的問題

3、演繹得十分復(fù)雜（如分組法，拆項法，十字相乘法,待定系數(shù)法）,新課程把因式分解作為培養(yǎng)學(xué)生逆向思維，全面思考，靈活解決問題的載體。主要解決三個方面的問題，一是了解因式分解的必要性,深刻理解因式分解的概念，二是與整式乘法的相互關(guān)系。通過探究與整式乘法的關(guān)系，來尋求因式分解的原理. 掌握從整式乘法得出因式分解的方法.三是因式分解的方法。為此，就要淡化理論,簡化難題, 掌握最基本的教學(xué)方法（提取公因式法和公式法即可）.這是新課程體現(xiàn)教育價值最明顯的變化。通過整式乘法與因式分解互為逆向變換，使學(xué)生澄清這種逆是反過來的變換，不是逆運算-是教學(xué)的難點（逆運算，是在一個算式中，以兩種形式不同,實質(zhì)不變的兩種運

4、算，而因式分解是一種恒等變換的兩種說法）、二、教學(xué)設(shè)計(一)【教學(xué)目標】1、認知目標：（1）理解因式分解的意義和概念             （2）認識因式分解與整式乘法的相互關(guān)系?相反變形，并會運用它們之間的      相互關(guān)系尋求因式分解的方法，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)編因式分解題目的能力            

5、60;   (3) 掌握因式分解的基本方法:提公因式法、公式法.明確公式法分解因式是乘法公式的逆用,提高代數(shù)式的恒等變形能力。 2、能力目標：在因式分解的教學(xué)中，注意揭示數(shù)學(xué)中的可逆關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的辨證思維以及創(chuàng)造性思維能力, 提高學(xué)生的綜合運用能力。  3、情感目標：培養(yǎng)學(xué)生獨立思考，勇于探索的精神和實事求是的科學(xué)態(tài)度。激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生滿腔熱忱，科學(xué)積極地投入到這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí),讓學(xué)生體驗到成功的喜悅.(二)教學(xué)重點、難點：教學(xué)重點：熟練運用提取公因式和公式法這兩種方法解題以及靈活掌握因式分解的應(yīng)用。教學(xué)難點：1.正確尋找公因式2. 靈活

6、運用公式法分解因式，正確理解公式中a、b    公式中a、b是變量，可以表示數(shù)也可以表示單項式或多項式（三）教學(xué)過程一：因式分解的的概念練習(xí)、比一比，看誰算得快（搶答）：(1) 20072+2007能被2008整除嗎？ (2)已知：a=101,b=99,求a2-b2的值。 (3)若a=89,b=-11, 求a2-2ab+b2值(4) 已知a-b=2，求的值。(5) 綠湖公園有兩塊長方形的草地，這些長方形的長分別是13.2m、16.8m,寬都是9.7 m,求這兩塊草地的總面積請每題答得最快的同學(xué)談思路，得出最佳解題方法。 (1) 20072+2007=2007（20

7、07+1）=2007(2)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400；(3)a2-2ab+b2=(a-b) 2=(89+11)2 =10000；(4) =ab(a-b)=7(5) 依題意列式    有簡便算法嗎?如果長方形的長分別是a、b,寬都是 m, 則這兩塊草地的總面積為：mamb =m(ab)觀察上面這五道題的做法，你有什么發(fā)現(xiàn)？這幾個等式的左邊都是整式的和，右邊都是整式乘積的形式.將上面的恒等式從右向左看就是我們已經(jīng)學(xué)過的整式乘法公式。   我們把上面這種從左式到右式的恒等變形叫做多項式的因式分解.

8、60;  多項式的因式分解的概念把一個多項式化為幾個整式乘積的形式，叫做把這個多項式因式分解.  多項式的因式分解與整式乘法是方向相反的恒等變形.復(fù)習(xí)我們曾經(jīng)學(xué)過整式乘法及乘法公式：如單項式與多項式相乘，得      ()；多項式與多項式相乘  ()()2+(n)n.平方差公式：                ()()22.完全平方公式  

9、0;             ()2222，()2222.如果我們把上面的乘法運算及乘法公式中的等號左邊的式子與等號右邊的式子互換，就得到下列各式()，2()()()，2-2()(-)，222()2，222()2，這些式子中，從等式左邊到等式右邊的變形就是多項式的因式分解.例1請你利用整式乘法與因式分解之間的這種關(guān)系編出一道因式分解的題目(如：由(x+1)(x-1)=x2-1得x2-1=(x+1)(x-1)     由(x+2)(x-1

10、)=x2+x-2得x2+x-2=(x+2)(x-1)等等)例2  根據(jù)因式分解的概念，判斷下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解，哪些不是，為什么？    (1) a(2)2a-a(2) 922-1(3)(3)-1；(3)26(2)(3)；(4)()()；(5) 32()-6332(a)=-3ba2.    (6)(7)  x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；在學(xué)生的實踐過程中，認識到多項式的因式分解是有條件限制的，不是所有的多項式都能因式分解。二.提公因式法分解因式  

11、0; 用兩個的?回顧前面的數(shù)值例題？給字母賦不同的值，可以出不同的題；整式乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc  逆變形得到因式分解：ma+mb+mc=m(a+b+c)說明：多項式ma+mb+mc各項都有的公因式m可以提到括號外面，寫成m（a+b+c）的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。定義：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成乘積的形式，這種因式分解的方法叫做提公因式法。提公因式法分解因式的關(guān)鍵是確定多項式各項的公因式確定公因式一般可以從以下二個方面來考慮： (1) 先提取數(shù)字因數(shù)。若多項式的各項系數(shù)都是整數(shù)，那么公因式的系數(shù)是這些

12、系數(shù)絕對值的最大公約數(shù)；若有分數(shù)因數(shù)，則最好先提取分數(shù)因數(shù)，使多項式系數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，使解題過程簡化(2)  再提取相同的字母。若多項式的各項含有相同的字母（因式），就應(yīng)把它作為公因式提取，相同字母（因式）的指數(shù)取該字母（因式）在各項中最低的指數(shù)。例1 把下列各式分解因式（如何檢驗?zāi)惴纸獾檬欠裾_性呢？）（1）-   （2）4x3y2+14x2y-2xy     （3）-4a3b2+16ab3c-12a2b2c2 （4）2am-1bn-4ambn+1例2 把下列各式分解因式（1）    （2）&#

13、160;   （3）（4）                                 （5）5x3y(x-y)3-15x4y3(y-x)2(6) (7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)=(a-2b)(7a-8b)+(a-8b)=(a-2b)

14、(8a-16b)=8(a-2b)(a-2b)=8(a-2b)2.通過此題的練習(xí)讓學(xué)生歸納出與的關(guān)系：    當(dāng)為偶數(shù)時=    當(dāng)為奇數(shù)時=說明：當(dāng)多項式的一項是公因式時，這項應(yīng)看成它與1的積，提公因式后剩下的是1，不能漏掉。公因式不僅可以是單項式也可以是多項式，找公因式時要注意觀察。三運用公式法分解因式我們知道整式乘法與因式分解互為逆變形。如果把乘法公式反過來，就可以用來把某些多項式分解因式：         a2-b2=(a+b)(a-b) 兩個數(shù)的平方差，等于

15、這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積        a2+2ab+b2=(a+b)2       a2-2ab+b2=(a-b)2兩個數(shù)的平方和，加上（或者減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（或者差）的平方。 把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2這樣的式子叫完全平方式。  這種分解因式的方法叫做運用公式法。（這種方法的關(guān)鍵是弄清公式的形式和特點，熟練地掌握公式）（1）利用平方差公式進行因式分解：平方差公式的特點左邊：多項式為二項式；兩項的符號相反；每

16、項都可化為某數(shù)（或某式）的平方形式。即形如（ ）2（ ）2右邊：這兩個數(shù)（或式）的和與這兩個數(shù)（或式）的差的積。例1、    把下列各多項式分解因式：1） m? - 16                    2)    4x?  - 9y?3）    4）例2下列多項式能否用平方差公式分解因式？說說你的理由

17、。1）4x2+y2                     2) 4x2-(-y)2  3) -4x2-y2                    4) -4x2+y2 通過例題的講解歸納步

18、驟先判斷能否用此公式，并確定、；再套用公式分解；化簡。例3 把下列多項式分解因式：1） ( x + z )?- ( y + z )?2） 4( a + b)? - 25(a - c)?3） (x + y + z)? - (x ? y ? z )?4)  (4a+5b)2?(2a-b)25）9x2-(x-2y)2=(3x) 2-(x-2y)2=3x+(x-2y)3x-(x-2y)           =(3x+x-2y)(3x-x+2y)=(4x-2y)(2x+2y) 注意：式子中還有公因式。 &

19、#160;         =2(2x-y)?2(x+y)=4(2x-y)(x+y) 公式中的a、b可以是單項式(數(shù)字、字母)、還可以是多項式.分解因式最后結(jié)果中如果有同類項，一定要合并同類項。例4 把下列多項式分解因式：1）8a? -2a        2)  -x4 +1       3) 27a3bc-3ab3c綜合運用提公因式法和公式法分解多項式（有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問題

20、能力）初次讓學(xué)生體會到因式分解方法的考慮順序是一“提”二“套”。綜合運用提公因式，公式法公解因式時，同學(xué)們千萬要注意分解完畢后對結(jié)果進行檢查，看是否分解徹底了。（2）利用完全平方公式進行因式分解：a2+2ab+b2=(a+b)2 工        a2-2ab+b2=(a-b)2 公式特點：（左邊）1、多項式為三項式；2、其中有兩項同號，且能寫成兩數(shù)（或式）的平方形式；3、另一項是這兩數(shù)（或式）的積的二倍，符號可正可負。（右邊）這兩數(shù)（或式）的和或差的平方形式。即：（ ）2±2（ ）（ ）+（ ）2例1下列各式是否

21、為完全平方式：                                        16a2+1.          &

22、#160;             4x2-6xy+9y2 例2 填空：  （  ）2+12m+4=（        ）2    若9x2+kxy+36y2是完全平方式，則k=       . 9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2，±kxy=2?3x?6y=36xy.k=±36.

23、例3把下列多項式分解因式1）  (x+y)2-6(x+y)+9          2)                3)            4)       

24、60;          例4把下列多項式分解因式1)  x3-4x2+4x   2)  3) 4) 四 因式分解方的應(yīng)用選講1計算（1）（2）9.982-4×4.492（3）7.6×199.9+4.3×199.9-1.9×199.9；（4）(分析) 本題旨在考查因式分解的靈活運用,即=a-b(a+b0).解:原式=+           =(1-2)+(3-4)+(5-6)+(2003-2004)           =(-1)×(2004÷2)       &