第18講-數(shù)論綜合二

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 第18講 數(shù)論綜合二內(nèi)容概述綜合運(yùn)用各種知識(shí)解決的較復(fù)雜數(shù)論問題；與二次不定方程、分式不定方程有關(guān)的數(shù)論問題。典型問題興趣篇1. 有4個(gè)不同的正整數(shù)，它們中任意2個(gè)數(shù)的和都是2的倍數(shù)，任意3個(gè)數(shù)的和都是3的倍數(shù)，要使這4個(gè)數(shù)的和盡可能小，這4個(gè)數(shù)應(yīng)該分別是多少？2. 已知算式（1+2+3+n）+2007的結(jié)果可表示為n(n>1)個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，請問：共有多少個(gè)滿足要求的自然數(shù)n?3. 有些自然數(shù)能夠?qū)懗梢粋€(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)合數(shù)之和的形式，并且在不計(jì)加數(shù)順序的情況下，這樣的表示方法至少有4中。所有滿足上述條件的自然數(shù)中最小的一個(gè)是多少？4. 甲、乙兩人自然數(shù)的乘積比

2、甲數(shù)的平方小2008。滿足上述條件的自然數(shù)有幾組？5. 兩個(gè)不同兩位數(shù)的乘積為完全平方數(shù)，它們的和最大可能是多少？6. n個(gè)自然數(shù)，它們的和乘以它們的平均數(shù)后得到2008.請問：n最小是多少？7. 一個(gè)正整數(shù)若能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，則稱這個(gè)數(shù)為“智慧數(shù)”，比如，16就是一個(gè)“智慧樹”，請問：從1開始的自然數(shù)列中，第2008個(gè)“智慧樹”是多少？8. 將100！-5分別除以2，3，4，100，可以得到99個(gè)余數(shù)（余數(shù)有可能為0）。這99個(gè)余數(shù)的和是多少？9. 小悅、冬冬和阿奇三人經(jīng)常去電影院，小悅每隔2天去一次，冬冬每隔4天去一次，阿奇每隔6天去一次，今天他們?nèi)硕既ル娪霸?，將來?huì)有連續(xù)三天

3、都有人去電影院。如果今天是第1天，那么最早出現(xiàn)的具有上述性質(zhì)的連續(xù)三天是哪三天？10. 有三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，它們的平方從小到大依次是10、9、8的倍數(shù)。這三個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)是多少？拓展篇1. 有一個(gè)正整數(shù)，它加上100后是一個(gè)完全平方數(shù)，加上168后也是一個(gè)完全平方數(shù)，這個(gè)正整數(shù)是多少？2. 已知甲、乙兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是6，兩數(shù)之和為1998.滿足上述條件的數(shù)一共有多少組？3. 冬冬往一條水池里扔石子。第一次扔1顆石子，第二次扔2顆石子，第三次扔3顆石子，第四次扔4顆石子他準(zhǔn)備扔到水池的石子總數(shù)是106的倍數(shù)。請問：冬冬最少需要扔多少次？4. 數(shù)學(xué)老師把一個(gè)兩位數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)告訴了小悅，聰

4、明的小悅仔細(xì)思考了一下后算出了這個(gè)數(shù)，同學(xué)們，你們知道這個(gè)數(shù)可能是多少嗎？5. 在一個(gè)正整數(shù)的所有約數(shù)中，個(gè)位數(shù)字為0，1，2，9的數(shù)都出現(xiàn)過，這樣的正整數(shù)最小是多少？6. 求最小的正整數(shù)n，值得2006+7n是完全平方數(shù)。7. 請寫出由不同的兩位數(shù)組成的最長的等比數(shù)列。8. 有一些自然數(shù)，它們不能用三個(gè)不相等的合數(shù)之和來表示，這樣的自然數(shù)中的最大一個(gè)是多少？9. 有些數(shù)既能表示成5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，又能表示成6個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，還能表示成7個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和。例如：105就滿足上述要求，105=19+20+21+22+23；105=15+16+17+18+19+20；105=12+13+14+

5、15+16+17+18.請問：在1至1000中一共有多少個(gè)滿足上述要求的數(shù)？10. 一個(gè)特殊的圓形鐘表只有一根指針，指針每秒轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為連續(xù)自然數(shù)數(shù)列。現(xiàn)在設(shè)定指針第一秒轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為a度（a為小于360的整數(shù)），則其第二秒轉(zhuǎn)動(dòng)a+1度，第三秒轉(zhuǎn)動(dòng)a+2度如果指針在第一圈內(nèi)恰好能指回出發(fā)位置，那么a一共有幾種設(shè)定方法？最小可以被設(shè)成多少？11. 某住宅區(qū)有12家住戶，他們的門牌號分別是1，2，3，12.。他們的電話號碼依次是12個(gè)連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每家的電話號碼都能被這家的門派號碼整除。已知這些電話的首位數(shù)字都小于6，并且門牌號碼是9的這一家的電話號碼能被13整除。請問：這一家的電話號碼是多

6、少？12. 在等差數(shù)列1，8，15，22，29，36，43，中，如果前n個(gè)數(shù)乘積的末尾0的個(gè)數(shù)比前n+1個(gè)數(shù)乘積的末尾0的個(gè)數(shù)少3個(gè)，那么n最小是多少？超越篇1. 有一些正整數(shù)，它可以表示成連續(xù)20個(gè)正整數(shù)的和，而且當(dāng)把它表示成連續(xù)正整數(shù)之和（至少2個(gè)）的形式時(shí)，恰好有20種方法，這樣的正整數(shù)最小是多少？（寫出質(zhì)因數(shù)分解）2. 有些自然數(shù)可以表示成兩個(gè)合數(shù)相乘再加一個(gè)合數(shù)的形式，例如：33=4×6+9.請問：不能表示成這種形式的自然數(shù)最大是多少？3. 在給定的圓周上有100個(gè)點(diǎn)，任取一個(gè)點(diǎn)標(biāo)上1；按順時(shí)針方向從標(biāo)有1的點(diǎn)往后數(shù)2個(gè)點(diǎn)，標(biāo)上2；從標(biāo)有2的點(diǎn)再往后數(shù)3個(gè)點(diǎn)，標(biāo)上3依次類推

7、，直至在圓周上標(biāo)出100.對于圓周上的這些點(diǎn)，有的點(diǎn)可能標(biāo)上多個(gè)數(shù)，有的點(diǎn)可能沒有被標(biāo)數(shù)。請問：標(biāo)有100的那個(gè)點(diǎn)上標(biāo)出的數(shù)最小是多少？4. 三個(gè)聰明的初中生聚在一起玩一個(gè)推理的游戲。小強(qiáng)與小花各選了一個(gè)自然數(shù)并分別將它告訴小安。小安告訴小強(qiáng)和小花，他將分別把這兩個(gè)數(shù)的和與乘積寫在不同的紙上，小安寫好后，將其中一張紙藏起來，把另一張紙亮出來給小強(qiáng)和小花看（這張紙上寫著2008），小安請小強(qiáng)和小花互猜對方所選的數(shù)，小強(qiáng)首先宣稱他無法確定小花所選的數(shù)，小花聽完小強(qiáng)的話后，也說她無法確定小強(qiáng)所選的數(shù)。請問：小花所選的數(shù)是什么？5. 已知三個(gè)互不相等的正整數(shù)成等差數(shù)列，且三個(gè)數(shù)的乘積是完全平方數(shù)，那么這三個(gè)數(shù)的和最小是多少？6. 是否存在一個(gè)完全平方數(shù)，它的每一位上的數(shù)字全都相同（至少是兩位數(shù)）？如果存在，請寫出一個(gè)；如果補(bǔ)存在，請說明理由。7. 有一根均勻木棍，先用紅色刻度線將它分成m等份，再用藍(lán)色刻度線將它分成n等份，m>n，然后按所有刻度線