三角形（備課）

1、三角形的特性（第8082頁(yè)）本節(jié)包括三角形的定義、三角形各部分名稱(chēng)、三角形的穩(wěn)定性（邊讀邊想：這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)是本節(jié)課的內(nèi)容）、三角形任意兩邊的和大于第三邊等內(nèi)容。1情境圖。編寫(xiě)意圖這是一幅建筑工地場(chǎng)景圖（邊讀邊想：這幅圖不像建筑工地），圖上樓房建筑框架上（邊讀邊想：估計(jì)跟學(xué)生說(shuō)“樓房建筑框架”，學(xué)生會(huì)看不懂，因?yàn)椴幌駱欠?，更像集裝箱，怎么辦？）、腳手架上（邊讀邊想:顯然不是腳手架，還有是否要強(qiáng)調(diào)面上有三角形？）包含有大量的三角形。教材提供了這樣一幅三角形在生活中應(yīng)用的直觀圖，目的是讓學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際思考并說(shuō)一說(shuō)“哪些物體上有三角形？” （邊讀邊想：如果用教材的圖教學(xué)，學(xué)生可能會(huì)說(shuō)什么？墻面上有三

2、角形？集裝箱上有三角形？吊車(chē)上有三角形？當(dāng)學(xué)生說(shuō)是集裝箱上或吊車(chē)上，而不是“樓房建筑框架”和“腳手架上”，我該怎么引導(dǎo)，就說(shuō)書(shū)上的圖畫(huà)得不好，這樣肯定不行，可能以后學(xué)生就不喜歡看課本了。）激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)三角形的興趣，（邊讀邊想：說(shuō)一說(shuō)物體上有三角形，就能激發(fā)興趣嗎？是否要強(qiáng)調(diào)生活中的運(yùn)用和作用，讓學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的愿望。如果是，這個(gè)情景就不是最理想的，換一個(gè)？有老師講過(guò)這個(gè)例子，教學(xué)角的認(rèn)識(shí)，教師不能就指著黑板的一個(gè)角說(shuō)，同學(xué)們，這里有個(gè)角，看見(jiàn)了沒(méi)有？看見(jiàn)了。今天我們就來(lái)認(rèn)識(shí)角。學(xué)生心想，這個(gè)角又不是昨天晚上長(zhǎng)出來(lái)的，早就有了，干嘛今天要認(rèn)識(shí)角。）而且引起學(xué)生對(duì)三角形及其在生活的作用的思考。教學(xué)建

3、議教學(xué)時(shí)，可以先出示情境圖，也可以先讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)生活中的三角形（邊讀邊想：看圖說(shuō)不如讓學(xué)生說(shuō)生活中的），再看情境圖，教師可根據(jù)個(gè)人的需要靈活處理。為讓學(xué)生進(jìn)一步研究三角形的特征，了解三角形的作用做好準(zhǔn)備。（邊讀邊想:要做準(zhǔn)備的話，是不是要呈現(xiàn)幾幅生活中的圖片？網(wǎng)上應(yīng)該能檢索到。真不想檢索，就畫(huà)個(gè)草圖算了，不能，等一下要作為教學(xué)資源教學(xué)穩(wěn)定性的，數(shù)學(xué)教學(xué)還是應(yīng)該精益求精。上網(wǎng)找! 百度一下，有了利用三角形的穩(wěn)定性建成的建筑：埃及金字塔、鋼軌、三角形框架、起重機(jī)、三角形吊臂、屋頂、三角形鋼架、鋼架橋中的三角形?？纯茨膸讉€(gè)離學(xué)生近一些，學(xué)生能夠接受。看來(lái)，備課離不開(kāi)網(wǎng)絡(luò)。）2.例1。編寫(xiě)意圖（1）例

4、1是有關(guān)三角形定義的教學(xué)。教材讓學(xué)生在“畫(huà)三角形”的操作活動(dòng)中進(jìn)一步感知三角形的屬性，抽象出概念。（邊讀邊想：操作活動(dòng)要進(jìn)一步感知三角形的屬性，說(shuō)明不能只是簡(jiǎn)單地畫(huà)一個(gè)，是否帶著問(wèn)題邊思考邊畫(huà)呢？比如，請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)一個(gè)三角形，畫(huà)的時(shí)候要思考你是怎么畫(huà)的，怎么把你畫(huà)的三角形介紹給別人？學(xué)生的表達(dá)就成了學(xué)生抽象的基礎(chǔ)）這樣有利于學(xué)生借助直接經(jīng)驗(yàn)，把抽象的概念和具體的圖形聯(lián)系（邊讀邊想：指著圖說(shuō)，就是一種聯(lián)系）起來(lái)。  （2）出示三角形的定義后（邊讀邊想：這個(gè)定義是出示嗎？要看看怎么建議的），教材在已學(xué)的垂直概念的基礎(chǔ)上，引入了三角形的底和高。三角形的底和高實(shí)際上是一組互相垂直的線段，這兩個(gè)

5、概念在學(xué)習(xí)三角形面積的計(jì)算時(shí)要用到。（邊讀邊想：底和高的引入和概念建立，沒(méi)那么簡(jiǎn)單！） （3）最后，為了便于表述（邊讀邊想：教學(xué)時(shí)，要讓學(xué)生做幾個(gè)表達(dá)練習(xí)，體會(huì)用字母表示的必要性），教材說(shuō)明如何用字母表示三角形。教學(xué)建議（1）教學(xué)時(shí)，要充分考慮到學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)（邊讀邊想：生活中學(xué)生應(yīng)該遇到過(guò)有三角形的物體）和知識(shí)基礎(chǔ)，恰當(dāng)把握教學(xué)要求。三角形是生活中常見(jiàn)的圖形，在第一學(xué)段學(xué)生已初步認(rèn)識(shí)過(guò)。（邊讀邊想：第一學(xué)段的什么時(shí)候初步認(rèn)識(shí)過(guò)？要查一下。查到了：一年級(jí)下冊(cè)，第三單元“圖形的拼組”這里主要是通過(guò)一些操作活動(dòng)，讓學(xué)生初步體會(huì)長(zhǎng)方形、正方形、三角形、圓的一些特征，如，知道正方形的四條

6、邊都相等，長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等，三角形由三條邊組成等。并感知平面圖形間和立體圖形間以及平面圖形與立體圖形間的一些關(guān)系。原來(lái)三角形由三條邊組成，一年級(jí)就知道了）這里重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形的特征，（邊讀邊想：還是覺(jué)得可以試試請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)一個(gè)三角形，畫(huà)的時(shí)候要思考你是怎么畫(huà)的，怎么把你畫(huà)的三角形介紹給別人？）概括出三角形的定義。  （2）教學(xué)三角形的定義時(shí)，可讓學(xué)生在紙卡上畫(huà)出三角形（邊讀邊想：如果每個(gè)學(xué)生都畫(huà)一個(gè)三角形，每位學(xué)生畫(huà)的三角形都是不一樣的，應(yīng)該讓學(xué)生介紹“這是我畫(huà)的三角形的邊”），思考所畫(huà)的三角形有幾條邊？幾個(gè)角和幾個(gè)頂點(diǎn)？并嘗試標(biāo)出三角形的邊、角、頂點(diǎn)。（邊讀邊想：學(xué)生在標(biāo)出自

7、己畫(huà)的三角形的邊、角、頂點(diǎn)時(shí)，是否讓一個(gè)學(xué)生拿著本子到展臺(tái)上畫(huà)？還是讓學(xué)生畫(huà)好后在展臺(tái)上介紹？展臺(tái)是一定要用的）然后在小組內(nèi)展示（邊讀邊想：原來(lái)是要在小組內(nèi)展示，也可以），觀察并找出這些三角形的共同點(diǎn)，（邊讀邊想：這些是哪些？是小組學(xué)生們畫(huà)得這些？如果是這樣，能否提問(wèn)：你們小組的幾位同學(xué)都畫(huà)出三角形來(lái)了嗎？這些三角形有什么共同點(diǎn)呢？猜想一下，別的小組同學(xué)畫(huà)得也是這樣嗎？那我們可以得出什么樣的結(jié)論？）使學(xué)生明確三角形的特征。接著讓學(xué)生嘗試概括三角形的含義，（邊讀邊想：這里是學(xué)生自己概括，還是小組交流，還是直接提問(wèn)，讓好學(xué)生回答？如果學(xué)生說(shuō)“由三條線段連成的圖形，叫做三角形”，這應(yīng)該是個(gè)不錯(cuò)的回答

8、，當(dāng)學(xué)生都認(rèn)同“連著”的時(shí)候，適度展開(kāi)就是括號(hào)里的那句“每相鄰的兩條線段的端點(diǎn)相連”，方式可以是，師：連著，怎么連呀？指著圖連給我們看看嘛！生指。師對(duì)全班：他的意思，其實(shí)就是怎么連呀？生：，概括“每相鄰的兩條線段的端點(diǎn)相連”。如果需要的話，可以追問(wèn)你怎么理解這句話中的“每”字的？生：每當(dāng)、每個(gè)、每組的意思。那么這句話就可以理解成每組相鄰的兩條線段的端點(diǎn)相連。在數(shù)學(xué)上叫做“圍成”，如果有一組相鄰的兩條線段的端點(diǎn)不相連，還是三角形嗎？可以用教具演示），再與課本上的定義比較，著重理解“圍成”。之后可出示一組含正、反例的圖形讓學(xué)生辨析，建立正確的三角形概念。（3）教學(xué)三角形的底和高時(shí)，可讓學(xué)生在例1的

9、基礎(chǔ)上，（邊讀邊想：教學(xué)用書(shū)里，總是建議“讓學(xué)生”，“讓學(xué)生”，學(xué)生能那么聽(tīng)話地配合嗎，就算是配合也是被動(dòng)的。能否把“讓學(xué)生”改成“讓學(xué)”？這節(jié)課不能照著教學(xué)用書(shū)這么上，盡管還是給了一些有用的建議。）選擇畫(huà)好的三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做一條垂線。（邊讀邊想：一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊，這句話不能一句帶過(guò)，學(xué)生是第一次接觸，估計(jì)難理解，有難度！必要時(shí)，要設(shè)計(jì)一個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)，來(lái)理解這句話，這是畫(huà)高的基礎(chǔ)）然后指出頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高，這條對(duì)邊叫做三角形的底。再讓學(xué)生在小組內(nèi)展示（邊讀邊想：不能很好地理解并畫(huà)出來(lái)，展示活動(dòng)沒(méi)有意義）自己所畫(huà)的底和高。最后請(qǐng)學(xué)生思考、操作“你還能在三角形內(nèi)畫(huà)出其

10、他的底和高嗎？” （邊讀邊想：畫(huà)出其他的底和高，應(yīng)該是在較好地建立一組底和高的基礎(chǔ)上，才能提出的要求。）但要注意的是在鈍角三角形兩條短邊上做的高在三角形外，學(xué)生比較難理解，在小學(xué)階段不作要求。（邊讀邊想：學(xué)生有可能畫(huà)出鈍角三角形嗎？如果畫(huà)出來(lái)了，怎么交代呢？總不能說(shuō)，你這個(gè)就不用畫(huà)了，學(xué)生要說(shuō)為什么呢？）這部分內(nèi)容的教學(xué)也可以由實(shí)例入手，讓學(xué)生量出三角形房頂或斜拉索橋的高度，引出底和高的概念進(jìn)行教學(xué)。（邊讀邊想：是否值得一試？底和高的教學(xué)，理解和操作都是難點(diǎn)，應(yīng)該讓學(xué)生在“做中學(xué)”，要好好動(dòng)動(dòng)腦筋了！這節(jié)課的創(chuàng)新點(diǎn)，也是學(xué)生的探究點(diǎn)，就定在這？讓學(xué)生留些一輩子的記憶？或許，30年后師生見(jiàn)面，學(xué)

11、生說(shuō)，小學(xué)階段，我就只記得老師您拿跟我們講底和高的，我一直都記得。后來(lái)做這樣的數(shù)學(xué)題就沒(méi)有錯(cuò)過(guò)！小學(xué)階段的其他事情，我都沒(méi)什么印象了。我還用這個(gè)方法教我的兒子呢！） （4）最后說(shuō)明為了表達(dá)方便，可以用字母來(lái)表示三角形，并說(shuō)明如何表示。3.例2。編寫(xiě)意圖穩(wěn)定性是三角形的重要特性，（邊讀邊想：前面是“特征”，這里是“特性”）在生活中有著廣泛的應(yīng)用。對(duì)它進(jìn)行教學(xué)可以讓學(xué)生對(duì)三角形有更為全面和深入的認(rèn)識(shí)，同時(shí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐精神和實(shí)踐能力。教材對(duì)這一內(nèi)容的設(shè)計(jì)思路是“情境、問(wèn)題實(shí)驗(yàn)、解釋特性應(yīng)用”。教學(xué)建議（1）教學(xué)時(shí)，可先出示教材中的插圖，引導(dǎo)學(xué)生討論、交流：圖上哪兒有三角形？它們有什么作用？然

12、后組織學(xué)生用課前制作的三角形進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，了解三角形的穩(wěn)定性。最后請(qǐng)學(xué)生列舉三角形穩(wěn)定性在生活中應(yīng)用的例子。  （2）穩(wěn)定性的實(shí)驗(yàn)也可以這樣設(shè)計(jì)：先出示一個(gè)長(zhǎng)方形畫(huà)框，拉動(dòng)使其變形，請(qǐng)學(xué)生思考“為什么會(huì)這樣？”“怎樣才能把畫(huà)框固定？”然后請(qǐng)學(xué)生用課前制作的三角形進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)特性。最后列舉生活實(shí)例，并進(jìn)行應(yīng)用把畫(huà)框固定。（邊讀邊想：教學(xué)三角形的穩(wěn)定性，老師們都會(huì)讓學(xué)生“拉一拉”。拉不動(dòng)就是穩(wěn)定性嗎？當(dāng)這個(gè)問(wèn)題蹦出來(lái)的時(shí)候，想起幾年前在人民教育上讀過(guò)的一篇文章，要查閱并仔細(xì)研讀了，當(dāng)時(shí)的閱讀也是為了今天備課時(shí)的深入研讀，研讀并內(nèi)化了，教學(xué)才有可能更指向數(shù)學(xué)的本質(zhì)。遠(yuǎn)方有歌聲在唱：“借我借我

13、一雙慧眼吧，讓我把這世界看個(gè)清清楚楚、明明白白?！保┱业搅俗穯?wèn)學(xué)校數(shù)學(xué)與生活數(shù)學(xué)的分野人民教育 仲海峰紀(jì) 實(shí)不久前，學(xué)校組織了一次"青年教師同上一節(jié)課（三角形的認(rèn)識(shí)）"的教學(xué)觀摩活動(dòng)。連續(xù)五節(jié)課中，學(xué)生們多次類(lèi)似的質(zhì)疑，引發(fā)了聽(tīng)課老師對(duì)三角形穩(wěn)定性的深入思考。下面是其中的兩則案例。案例1：生："老師，我發(fā)現(xiàn)有的三角形沒(méi)有穩(wěn)定性！"師：同學(xué)們想體驗(yàn)一下三角形的穩(wěn)定性嗎？生（齊）：想-！師：在每張課桌的抽屜里各藏了一個(gè)三角形和四邊形木架，請(qǐng)拿出來(lái)，同座之間相互拉一拉。大家正玩得高興，突然一位學(xué)生叫起來(lái)："老師，我發(fā)現(xiàn)有的三角形沒(méi)有穩(wěn)定性！"

14、;興奮的叫聲幾乎吸引了所有人的目光。只見(jiàn)學(xué)生手中拿著由四根小棒釘成的三角形木架。"三角形具有穩(wěn)定性。學(xué)生手上的木架是三角形的。所以它應(yīng)具有穩(wěn)定性。"這似乎是一個(gè)嚴(yán)密的三段論。可事實(shí)上，學(xué)生手上的三角形木架卻不穩(wěn)定。這該如何解釋呢？案例2：生："這個(gè)四邊形車(chē)架是鐵的，所以它也有穩(wěn)定性。"師：三角形的穩(wěn)定性在生活中有著廣泛的應(yīng)用，如自行車(chē)中部的車(chē)架就是三角形的（出示圖片）一個(gè)學(xué)生嘀咕："那好像不是三角形的。""對(duì)，不是三角形，是四邊形！"一些學(xué)生響應(yīng)。"這個(gè)車(chē)架雖然是四邊形，但它是鐵的，也有穩(wěn)定性。"

15、;又一個(gè)學(xué)生補(bǔ)充道。對(duì)于"三角形穩(wěn)定性"，教材中是這樣描述的："用三根木條釘成一個(gè)三角形，用力拉這個(gè)三角形，這個(gè)三角形的形狀不會(huì)改變?？梢?jiàn)，三角形具有穩(wěn)定性。"同理，用四根鋼管焊成一個(gè)四邊形（車(chē)架），用力拉這個(gè)四邊形，這個(gè)四邊形的形狀不會(huì)改變。可見(jiàn)，四邊形也就具有穩(wěn)定性了。但是，四邊形怎么會(huì)具有穩(wěn)定性呢?分 析曾嘗試著這樣解釋案例1中的問(wèn)題-四根小棒圍成的這個(gè)木架形狀雖然是三角形的，但它有一條邊是由"兩根"小棒組成的，所以它就容易變形了。然而當(dāng)我們對(duì)這個(gè)解釋再作分析時(shí)，突然發(fā)現(xiàn)，其實(shí)我們已經(jīng)從另一角度默認(rèn)了"有的三角形不具有

16、穩(wěn)定性"這種錯(cuò)誤論述。要真正向?qū)W生解釋清楚這些看似簡(jiǎn)單甚至幼稚的問(wèn)題，并不像我們想象的那么簡(jiǎn)單。課堂上執(zhí)教老師突然遇此質(zhì)疑，視而不見(jiàn)、避而不答，應(yīng)該說(shuō)情有可原！可如果今后我們?cè)儆龅酱藛?wèn)題，那該如何處理？帶著思考和疑問(wèn)，課后我討教了幾位經(jīng)驗(yàn)豐富的老師。他們的意見(jiàn)大體可歸為兩類(lèi)：一種意見(jiàn)認(rèn)為，導(dǎo)致上述矛盾的主要原因在于，我們將"三角形"與"三角形物體"混為一談：穩(wěn)定性是三角形的特性，它有時(shí)在某些三角形物體身上表現(xiàn)為穩(wěn)固、不易變形，但這并不說(shuō)明所有三角形物體都很穩(wěn)固、不易變形，更不說(shuō)明不易變形的物體就具有穩(wěn)定性。如案例1中，對(duì)于"三根小棒圍

17、成的三角形"這個(gè)"圖形"來(lái)說(shuō)具有穩(wěn)定性，但對(duì)于四根小棒圍成的三角形木架這一"物體"來(lái)說(shuō)，它卻容易變形。再如，四根鋼管?chē)伤倪呅?quot;車(chē)架"雖不易變形，但它并不代表"四邊形"就具有穩(wěn)定性。從這個(gè)角度看，教材中關(guān)于三角形穩(wěn)定性的描述似乎有以"物"代"形"的嫌疑。另一種意見(jiàn)認(rèn)為，主要原因在于學(xué)生將生活中的"穩(wěn)定"與三角形穩(wěn)定性的"穩(wěn)定"混為一談。生活中，將一根木棒插入地面，使勁兒搖它，它不動(dòng)，我們說(shuō)這根木棍很穩(wěn)定，顯然此"穩(wěn)定

18、"并非三角形穩(wěn)定性之"穩(wěn)定"。認(rèn)真推敲上述兩類(lèi)分析，再結(jié)合自己的想法，筆者認(rèn)為，上述矛盾的根本原因在于老師們對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)生活化、活動(dòng)化的誤解，導(dǎo)致了對(duì)生活經(jīng)驗(yàn)負(fù)面干擾的忽視和對(duì)數(shù)學(xué)自身科學(xué)性、嚴(yán)密性的弱視。這在學(xué)校的觀摩課中明顯表現(xiàn)為，幾乎所有上課老師的課堂中都出現(xiàn)了相似的環(huán)節(jié)：同桌兩人興奮地拉扯著三角形或四邊形，發(fā)現(xiàn)"三角形木架不管怎么使勁兒拉，都不變形，而四邊形木架不費(fèi)吹灰之力，就變形了"，于是學(xué)生自然地歸納出"三角形具有穩(wěn)定性，四邊形容易變形"。熱鬧的活動(dòng)、明顯的對(duì)比，學(xué)生學(xué)得高興，印象也很深刻。然而熱鬧之后再思考，卻發(fā)

19、現(xiàn)學(xué)生"深刻的印象"其實(shí)只停留在使勁"拉"上-四根木棍圍成的三角形因?yàn)?quot;拉"得動(dòng)，所以"不"具穩(wěn)定性；自行車(chē)車(chē)架雖是四邊形，但它是鐵的，"拉"不動(dòng)，所以就"具有"穩(wěn)定性。其實(shí)，打開(kāi)百度網(wǎng)站，"三角形穩(wěn)定性"，就會(huì)發(fā)現(xiàn)很多網(wǎng)頁(yè)中的"三角形穩(wěn)定性"明確指向于"形狀和大小完全確定"。其中最具代表性的描述是："只要三角形三條邊的長(zhǎng)度固定，這個(gè)三角形的形狀和大小也就完全確定，三角形的這種性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。&qu

20、ot;這就是說(shuō)，三角形的穩(wěn)定性不是"拉得動(dòng)、拉不動(dòng)"的問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)應(yīng)是"三角形邊長(zhǎng)確定，其形狀和大小就確定了"。比較教材和網(wǎng)上關(guān)于三角形穩(wěn)定性的描述，應(yīng)該說(shuō)各有千秋。網(wǎng)上的描述明確地揭示了"三角形穩(wěn)定性"的本質(zhì)特征"邊長(zhǎng)確定，則大小、形狀唯一"，而教材上的描述則顯得親切、形象，與生活十分貼近。（但是作為教師我們應(yīng)該不只是停留在教材表面基礎(chǔ)上的）嘗 試學(xué)生思維的"具體、形象"與數(shù)學(xué)自身的"抽象、形式"之間的關(guān)系到底該如何處理？能在兩者間找到一個(gè)恰當(dāng)?shù)钠胶恻c(diǎn)嗎？在與同事們一起思考

21、、推敲后，我試上了一節(jié)三角形的認(rèn)識(shí)，截取其中關(guān)于三角形穩(wěn)定性的教學(xué)片段如下：師：剛才同學(xué)們用三根牙簽圍成了一個(gè)三角形。想一想，用這三根牙簽還能?chē)善渌螤畹娜切螁?？生（齊）：能。老師請(qǐng)來(lái)幾位認(rèn)為"能"的學(xué)生到投影儀上演示，若干次嘗試后，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)不管怎樣移動(dòng)牙簽，三角形除姿勢(shì)變化外，其形狀、大小都不會(huì)改變。于是老師順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生歸納："只要三角形三條邊的長(zhǎng)度固定，這個(gè)三角形的形狀和大小也就完全確定，三角形的這種性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。"師：下面我們來(lái)做個(gè)實(shí)驗(yàn)-在每一張課桌的抽屜里各藏有一個(gè)三角形和多邊形木架，請(qǐng)拿出來(lái)，同座之間互相拉一拉.師：通過(guò)實(shí)驗(yàn)?zāi)惆l(fā)

22、現(xiàn)了什么？生：我發(fā)現(xiàn)三角形木架怎么拉也不變形，而多邊形木架輕而易舉就變形了！師：知道這是為什么嗎？生：因?yàn)槿切沃灰龡l邊長(zhǎng)固定了，它的形狀和大小就完全確定了。生：因?yàn)槎噙呅蔚倪呴L(zhǎng)雖然固定，但它的形狀和大小并不能確定.將三角形穩(wěn)定性明確定位于"邊長(zhǎng)確定，大小、形狀也就確定"，先用牙簽圍三角形，再借助經(jīng)典的拉三角形、多邊形木架驗(yàn)證之。這樣的教學(xué)不僅形象、易懂，而且科學(xué)、明確地指向三角形穩(wěn)定性的本質(zhì)，有效地避免了理解上的歧義。現(xiàn)在回過(guò)頭再來(lái)解釋文章開(kāi)始提及的兩個(gè)問(wèn)題，就顯得有理有據(jù)，更有說(shuō)服力了。案例1中，四根小棒圍成的三角形木架雖然有兩條邊長(zhǎng)度固定，但它的第三條邊由兩根小棒組

23、成，它兩端點(diǎn)間的距離隨兩根小棒的活動(dòng)而變化。邊的長(zhǎng)度不確定，其形狀、大小也就不能確定。由此可見(jiàn)，以前我們習(xí)慣的說(shuō)法"三角形具有穩(wěn)定性"并不嚴(yán)密，嚴(yán)密的說(shuō)法應(yīng)該是："邊長(zhǎng)確定的三角形具有穩(wěn)定性。"案例2中，因?yàn)榕袛嗄硤D形是否具有"穩(wěn)定性"，要看該圖形"如果邊的長(zhǎng)度確定，所圍成的圖形形狀、大小能否確定"。用長(zhǎng)度確定的四根鋼管焊車(chē)架，可以焊成各種形狀的圖形，顯然不具有數(shù)學(xué)意義上的"穩(wěn)定性"。當(dāng)然，若從另一個(gè)角度思考，這個(gè)例子正好又說(shuō)明了三角形具有穩(wěn)定性-四邊形鋼管之所以"拉不動(dòng)"，

24、是因?yàn)樗氰F做的，四條邊被焊在一起，四個(gè)頂點(diǎn)中任意三個(gè)相鄰的頂點(diǎn)間的距離不能改變，即"三角形三條邊長(zhǎng)確定"。根據(jù)三角形穩(wěn)定性的定義，三角形三條邊長(zhǎng)度確定，其形狀、大小也就確定了。思 考長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)教學(xué)一直存在嚴(yán)重脫離實(shí)際的弊病。"中國(guó)乃至世界各國(guó)歷次數(shù)學(xué)教育改革一直想解決好此問(wèn)題，然而結(jié)果始終不盡如人意。"實(shí)施新課程以來(lái)，有人再次提出了"數(shù)學(xué)教學(xué)生活化"、"數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)化"、"學(xué)校數(shù)學(xué)應(yīng)向生活數(shù)學(xué)回歸"等口號(hào)，生活、活動(dòng)成為數(shù)學(xué)課程改革中的兩個(gè)關(guān)鍵詞。然而，生活與數(shù)學(xué)的關(guān)系怎能用一個(gè)簡(jiǎn)單的&q

25、uot;回歸"就可以概括！首先，生活中獲得的各種經(jīng)歷、體驗(yàn)，未必就恰好能為抽象的數(shù)學(xué)概念和知識(shí)提供適切的基礎(chǔ)，不僅如此，它還可能包括許多干擾因素。其次，"生活數(shù)學(xué)"與"學(xué)校數(shù)學(xué)"之間存在著本質(zhì)的區(qū)別。"生活數(shù)學(xué)"是學(xué)生在日常生活中自然積淀、自由生成的"純經(jīng)驗(yàn)"型數(shù)學(xué)信息，它具有個(gè)體性、隨意性和直接性。而學(xué)校數(shù)學(xué)則是學(xué)生在學(xué)校中，通過(guò)有目的、有計(jì)劃的學(xué)習(xí)獲得的數(shù)學(xué)信息，它具有社會(huì)性、計(jì)劃性、抽象性和形式化特征。因此，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)應(yīng)該與生活經(jīng)驗(yàn)建立起聯(lián)系，但必須注意，在"生活化"的過(guò)程中，

26、要切實(shí)處理好生活的隨意性與數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性之間的關(guān)系，防止數(shù)學(xué)內(nèi)涵的流失。生活化的最終目的還是要實(shí)現(xiàn)"形式化"思維的提升。正如香港有的學(xué)者指出的，"數(shù)學(xué)教學(xué)的生活化直接導(dǎo)致了學(xué)生思維的卡通化、淺表化"，我們的學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)努力促進(jìn)學(xué)生由"卡通思維"向"形式思維"的有效過(guò)渡。轉(zhuǎn)自人民教育鄭毓信很高興讀到仲海峰老師的文章。文中不僅對(duì)如何進(jìn)行三角形相關(guān)知識(shí)的教學(xué)進(jìn)行了深入探討，而且還涉及了"生活數(shù)學(xué)"與"學(xué)校數(shù)學(xué)"的關(guān)系這一普遍的問(wèn)題。 "生活數(shù)學(xué)"與&qu

27、ot;學(xué)校數(shù)學(xué)"的關(guān)系并不只是在"三角形的穩(wěn)定性"這一具體內(nèi)容的教學(xué)中有著突出的表現(xiàn)。事實(shí)上，它是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)基本問(wèn)題。因?yàn)?，盡管在程度上可能有所差異，但我們也可就其他一些教學(xué)內(nèi)容提出類(lèi)似的"困惑"，例如，生活中的"前后"、"正負(fù)"等概念往往具有明顯的"方向性"，從而與數(shù)學(xué)中"前后"、"正負(fù)"關(guān)系的相對(duì)性構(gòu)成直接的矛盾。從這樣的角度去分析，我們就能更好地理解仲文的基本立場(chǎng)，特別是，我們應(yīng)對(duì)"數(shù)學(xué)對(duì)象"（及其性質(zhì)）與生活中的相

28、應(yīng)事物或現(xiàn)象（及其性質(zhì)）做出明確的區(qū)分。進(jìn)而，這又不能不說(shuō)是強(qiáng)調(diào)"數(shù)學(xué)教學(xué)的生活化"（乃至"數(shù)學(xué)向生活的回歸"）所十分容易導(dǎo)致的一個(gè)嚴(yán)重后果，即"學(xué)生思維的卡通化、淺表化"，對(duì)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生誤解。當(dāng)然，從理論的角度看，也有一些問(wèn)題值得我們更為深入地去思考：在"生活數(shù)學(xué)"與"學(xué)校數(shù)學(xué)"之間究竟存在什么樣的本質(zhì)區(qū)別？又存在什么樣的聯(lián)系？什么是造成"理解上的歧義"的主要原因？我們?cè)诮虒W(xué)中又應(yīng)如何去防止所說(shuō)的現(xiàn)象乃至"學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所可能產(chǎn)生的負(fù)面干擾"？造成"理解上的歧義"的一個(gè)重要原因是：由于數(shù)學(xué)中的不少詞語(yǔ)（如"穩(wěn)定性"）都是由日常語(yǔ)言中直接借用過(guò)來(lái)的，因此，如果對(duì)這一過(guò)程缺乏清楚認(rèn)識(shí)的話，就很容易造成意義的混淆，包括日常意義對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的干擾。更為一般地說(shuō)，這就涉及數(shù)學(xué)抽象的一個(gè)基本性質(zhì)：模式化過(guò)程。從而，即使我們是由生活中的相關(guān)對(duì)象或現(xiàn)象直接去引出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念，仍然有一個(gè)重新定義（建構(gòu)）的過(guò)程。例如，就當(dāng)