2016春信號27第二十五講

1、第二十五講 (§12.4 §12.7)2016 年 6 月 1 日“信號”課件第 1/7頁電子工程系由定義建立狀態(tài)方程例 12 12：人口增長的動態(tài)模型 (續(xù)) 0(n + 1) 0 1 · · · k2 k1 0(n) 1(n + 1)00 · · ·00 1(n) 2(n + 1) = 0 1 · ·.·00 2(n) . k1(n + 1) 00 · · · k20 k1(n) 無激勵信號，是零輸入響應 粗略模型，未考慮自然災害、等因素由定義建立狀態(tài)

2、方程例 12 12：人口增長的動態(tài)模型 將某地區(qū)人口按分組 0(n) 1(n)(n) =.k1(n)其中 i(n)(0 i < k) 表示第 n 周期的第 i 組人數(shù)，有規(guī)律i+1(n + 1) = ii(n)其中 i 1 表示第 i 組的存活率 注意 0(n + 1)從上述規(guī)律0(n + 1) = 00(n) + 11(n) + · · · + k1k1(n)其中 i 表示率由框圖或流圖建立狀態(tài)方程例 12 11 已知流圖，求狀態(tài)方程和輸出方程x (n) 11 E11y (n)1l1-a11x (n) 11 E1y (n)2l 12-a22解：直接看出 1

3、(n + 1) = a10 1(n) + 1 0 x1(n) 2(n + 1)0a22(n)0 1x2(n) y1(n) = 1 1 1(n) + 0 0 x1(n) y2(n)0 12(n)1 0x2(n)離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表示 k 個狀態(tài)變量，m 個激勵信號，r 個輸出響應； 同連續(xù)時間系統(tǒng)，但用差分代替微分 狀態(tài)方程k×1(n + 1) = Ak×kk×1(n) + Bk×mxm×1(n) 輸出方程yr×1(n) = Cr×kk×1(n) + Dr×mxm×1

4、(n)結構示意圖 (n + 1) D (n)x(n)B1 ECy (n)A提綱12.4 離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立由框圖或流圖建立狀態(tài)方程 由定義建立狀態(tài)方程12.5 離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解時域迭代法求解z 變換求解12.6 狀態(tài)矢量的線性變換線性變換對 A, B, C, D 矩陣的約束關系由狀態(tài)方程系統(tǒng)的穩(wěn)定性12.7 系統(tǒng)的可性與可觀測性可觀性和可控性判別方法可控、可觀和 H(s) 的關系信號第二十五講電子工程系2016 年春季學期第二十五講 (§12.4 §12.7)2016 年 6 月 1 日“信號”課件第 2/7頁電子工程系z 變換求解 對照 z 變換時域解(

5、n) = Z 1(zI A)1z(0) + Z 1(zI A)1 B x(n)= An(0)u(n) + An1Bu(n 1) x(n)| 零輸入z 解 |零狀態(tài)z 解y(n) = CZ 1(zIA)1z(0)+CZ 1(zIA)1B+D(n)x(n)= CAn(0)u(n) + CAn1Bu(n 1) + D(n) x(n)| 零輸入z響應 |零狀態(tài)z響應 得到對應關系Anu(n) = Z 1(zI A)1zAn1u(n 1) = Z 1(zI A)1 對比連續(xù)時間系統(tǒng)的 L 1 (sI A)1 = eAt 類似方法可求得 H(z) = C(zI A)1B + Dz 變換求解推導步驟 狀態(tài)方

6、程和輸出方程(n + 1) = A(n) + Bx(n)y(n) = C(n) + Dx(n) 兩側同取 z 變換得到z(z) z(0) = A(z) + BX(z)Y(z) = C(z) + DX(z) 由 z 域狀態(tài)方程解出狀態(tài)變量(z) = (zI A)1z(0) + (zI A)1BX(z) 兩側同取逆 z 變換解出(n) = Z 1(zI A)1z (0) + Z 1(zI A)1 B x(n)注意和連續(xù)情況拉氏變換形式上的區(qū)別時域迭代法求解求解步驟 如果 n0 = 0，則有n1(n) = An(0)u(n) +An1iBx(i) u(n 1)i=0= An(0)u(n) + An1

7、Bu(n 1) x(n) 代入輸出方程y(n) = C(n) + Dx(n)= CAn(0)u(n) + CAn1Bu(n1)+D(n) x(n)| 零輸入z響應 |零狀態(tài)z響應 零狀態(tài)響應，得到h(n) = CAn1Bu(n 1) + D(n)定義離散狀態(tài)轉移矩陣 An，類似連續(xù)系統(tǒng)的 eAt時域迭代法求解求解步驟 由狀態(tài)方程(n + 1) = A(n) + Bx(n)和給定 (n0) 可依次寫出(n0 + 1) = A(n0) + Bx(n0)(n0 + 2) = A2(n0) + ABx(n0) + Bx(n0 + 1)(n0 + 3) = A3(n0) + A2Bx(n0) + ABx

8、(n0 + 1) + Bx(n0 + 2). 歸納得到n1(n) = Ann0 (n0) + An1iBx(i)i=n0由定義建立狀態(tài)方程例 12 13：簡單的宏觀模型 建立狀態(tài)方程 1 2 3 4 0 0 0 0 1 2 3 0 0 4 (n) = 2000 0 1 (n1) + 0 x(n1)0010 0 00 0100 0 0 0 0000 1 00 R. S. Pindyck (1971，MIT) 原文中還有另外 7 個變量 (非住宅與住宅投資、商業(yè)庫存變動、短期利率、長期利率、 失業(yè)率和稅后可支配收入) 和 2 個激勵信號 (開支和附加稅收)，建立了由 28 個狀態(tài)變量和 3 個激勵

9、信號的狀態(tài)方程；輸出信號是生產(chǎn)總值 GNP (消費、非住宅與住宅投資、庫存及開支之和)由定義建立狀態(tài)方程例 12 13：簡單的宏觀模型 宏觀模型的四個關鍵參數(shù)：消費C、物價水平 P 、工資水平 W 、貨幣供應 M 由規(guī)律得到C(n) = 1C(n1) + 2P (n1) + 3W (n1) + 4W (n2) P (n) = 1P (n1) + 2W (n1) + 3W (n2) + 4M (n1) W (n) = 1P (n3) + 2C(n1)其中 n 以季度為 以 x(n) = M (n) 做為激勵信號，如何選擇狀態(tài)變量？(n) = C(n), P (n), W (n), W (n 1)

10、, P (n 1), P (n 2)T第二十五講 (§12.4 §12.7)2016 年 6 月 1 日“信號”課件第 3/7頁電子工程系線性變換對 A, B, C, D 矩陣的約束關系解：(續(xù)) 對應于 2 = 4 的特征矢量滿足 A2 = 22(A 2I)2 = 5 + 4 1 c21 = 0 = c21 = 1 31 + 4c22c221 所以變換陣為P1 = 11 P = 1 1 1 3 1231 新的 A 矩陣和 B 矩陣A = PAP1 = 1 1 1 5 1 1 1 = 2 0 2313 13 10 4B = PB = 1 1 1 2 = 7/2 231511

11、/2線性變換對 A, B, C, D 矩陣的約束關系例 12 18 將圖示系統(tǒng)的 A 矩陣對角化-521 p1 l (t ) 5 1 2 e1e(t )3-1(t) =3 1 (t) + 5(t)51 l2 (t ) 1 p-1解： 先求 A 的特征值|IA| = 3 + 1 = (+5)(+1)+3 = 0 = 2 = 4 + 511 = 2 對應于 1 = 2 的特征矢量滿足 A1 = 11(A 1I)1 = 5 + 2 1 c11 = 0 = c11 = 1 31 + 2c12c123線性變換對 A, B, C, D 矩陣的約束關系A 矩陣的對角化 A 矩陣對角化說變換成并聯(lián)結構 這種結

12、構使各狀態(tài)變量之間相互不影響，可以研究系統(tǒng)參數(shù)對狀態(tài)變量的作用對角化步驟 求 A 的特征矢量并以此構造變換矩陣 P 若 k 階矩陣 A 有 k 個線性無關的特征向量，則 A 可化為對角陣，且對角線上元素即為特征值線性變換對 A, B, C, D 矩陣的約束關系轉移函數(shù)陣在狀態(tài)變量線性變換下是不變的 將A = PAP1B = PBC = CP1D = D代入 H (s) 得到H (s) = C (sI A )1B + D= CP1(sI PAP1)1PB + D= CP1(sPP1 PAP1)1PB + D= CP1 P(sI A)P11 PB + D= CP1P(sI A)1P1PB + D=

13、 C(sI A)1B + D= H(s) 相似變換不改變 A 的特征值 (系統(tǒng)物理本質不變)線性變換對 A, B, C, D 矩陣的約束關系討論 A, B, C, D 的變換關系 對狀態(tài)方程兩側代入 = P1，有P1 (t) = AP1(t) + Be(t) 兩側P 得到 (t) = PAP1(t) + PBe(t) = A (t) + B e(t) 再輸出方程r(t) = C(t) + De(t) = CP1(t) + De(t) = C (t) + D e(t) 所以有A = PAP1B = PBC = CP1D = D線性變換對 A, B, C, D 矩陣的約束關系線性變換下狀態(tài)方程的特

14、性 同一系統(tǒng)可選擇不同的狀態(tài)矢量，對應于不同的 A, B, C, D 各種狀態(tài)矢量之間存在某種約束，即 A, B, C, D 之間存在某種變換關系 若對狀態(tài)變量 做線性變換得到 1 = p111 + p122 + · · · + p1kk 2 = p211 + p222 + · · · + p2kk.k = pk11 + pk22 + · · · + pkkk 即 = P，若 P1 存在，則 = P1第二十五講 (§12.4 §12.7)2016 年 6 月 1 日“信號”課件第 4/

15、7頁電子工程系判別方法判別方法一：利用可和可觀陣判別 數(shù)學形式上更直觀和嚴密 由-哈密頓定理導出，若M = B AB · · · Ak1B為，即 rank(M) = k ，則系統(tǒng)完全可控 類似的，若CN =CA.CAk1為，即 rank(N) = k，則系統(tǒng)完全可觀 可控性只和 A, B 有關；可觀性只和 A, C 有關可觀性和可控性例：全可觀、全可控ce(t )1 p11 p1r (t )l&2-a l2l&1-b l1 在有限的時間內(nèi)，e(t) 不能將 2 從起始狀態(tài)引導到零狀態(tài)， 所以系統(tǒng)全可控ce(t )11 p1 p1r (t )l&am

16、p;2-a l2l&1-b l1 2 與輸出量 r(t) 無任何因果關系，不能根據(jù) r(t) 確定 2的狀態(tài)，所以系統(tǒng)全可觀可觀性和可控性例 12 22圖示 iL(t) 和 vC(t) 的性質L+iL (t )+1 p i (t )R1Rr (t )1 LLC 2- R Le (t )+ -e(t )1r (t )vC (t )1 pR3R4vC (t )- -1 RC 若 R1 = R2 = R3 = R4 = R，電橋平衡后，有 d iL(t) = R/L0 iL(t) + 1/L e(t)dt vC(t)01/RCvC(t)0r(t) = 0 1 iL(t) vC(t) iL(t

17、) 不可觀；vC(t) 不可控可觀性和可控性例 12 22圖示 iL(t) 和 vC(t) 的性質L 已知 R = R =+ i (t )+12LR3 = R4 = RR1C R2r (t ) iL(t) 不可觀e (t )+ - vC(t) 不可控RvC (t )R34-可觀性和可控性 可控性 (Controllability)：給定起始狀態(tài)，可以找到容許的輸入量 (矢量)，在有限時間內(nèi)把系統(tǒng)的所有狀態(tài)引向零狀態(tài)。如果可做到這點，則稱系統(tǒng)完全可控 可觀性 (Observability)：給定輸入 () 后，能在有限時間內(nèi)根據(jù)系統(tǒng)輸出唯一地確的起始狀態(tài)。如果可做到這點，則稱系統(tǒng)完全可觀由狀態(tài)方

18、程系統(tǒng)的穩(wěn)定性連續(xù)時間系統(tǒng)的 BIBO 穩(wěn)定性 系統(tǒng)轉移函數(shù)為H(s) = C(sI A)1B + D |sI A| = 0 之根就是 H(s) 的極點 若 A 的特征值在 s 左半平面則系統(tǒng)穩(wěn)定離散時間系統(tǒng)的 BIBO 穩(wěn)定性 系統(tǒng)轉移函數(shù)為H(z) = C(zI A)1B + D |zI A| = 0 之根就是 H(z) 的極點 若 A 的特征值在 z 平面的圓內(nèi)則系統(tǒng)穩(wěn)定線性變換對 A, B, C, D 矩陣的約束關系解：新的狀態(tài)方程和系統(tǒng)流圖1 p1- 7 2g1 (t ) (t) = 2 0 (t)+ 7/2 e(t)e(t )-20 411/211 21 pg (t )12-4線性

19、變換的意義 去除各個狀態(tài)變量之間的耦合關系-5-1 p1 g1 (t ) 1l (t )1 p1 l (t )7 2-31e(t ) 21= e(t )-23 -11 p151 p1 l2 (t )11 21 g (t ) -1l2 (t )2-1-4第二十五講 (§12.4 §12.7)2016 年 6 月 1 日“信號”課件第 5/7頁電子工程系可控、可觀和 H(s) 的關系H(s) 中的極點消失現(xiàn)象 (續(xù)) H(s) 原有 k 個極點，有項消失 (即零極點對消) 后則極點不到 k 個 (降階) 零極點相消部分是不可控、不可觀的部分 因而“轉移函數(shù)”的描述方式只反映了系

20、統(tǒng)中可觀可控的部分， 不能反映不可觀、不可控的部分 所以用轉移函數(shù)描述系統(tǒng)是不全面的，而用狀態(tài)方程和輸出 方程描述系統(tǒng)更全面、詳盡可控、可觀和 H(s) 的關系H(s) 中的極點消失現(xiàn)象 只考慮單輸入單輸出情況，假設 A 已經(jīng)對角化H(s) = C(sI A)1B + D s a0· · ·0 1 b 110s . a2 ·.·.·0 b2 .=c1 c2 · · · ck. . + d00· · · s akbk= c1b1 + c2b2 + · · &

21、#183; + ckbk + d s a1s a2s akk= cibi +ds aii=1 在 A 化為對角陣形式后，如果 bi 或 ci 兩者之一為零，則對應項消失，即極點消失判別方法信號流圖和規(guī)范形式后矩陣的對應關系15 8- 7 4 1 p1 p1 p1 l3 -1 l3-1 l21 l1e(t ) 111 p-2 3 2 1 r (t )l&l-211 p1 8 l&5 -3 l5é-1 1 0 0 0 ùé0ùê 0 -1 1 0 0 úê0úêúê 

22、50;A = ê 0 0 -1 0 0 úB = ê1ê 0 0 0 -2 0 úê úêúê1úêë 0 0 0 0 -3ûë1ûC = é3 - 7 15 -2 1ùú24 88û判別方法判別方法二：A 矩陣規(guī)范化后判別 (續(xù)) 若有重根，則將 A 化為約當陣規(guī)范形式后再做判定 若 B 與每個約當塊最后一行相應的那些行不含零元素，則完全可控 若 C 與每個約當塊第一列相應的那些列不含零元素，則

23、完全可觀判別方法判別方法二：A 矩陣規(guī)范化后判別 A 矩陣對角化判別 (物理概念清楚) 在 A 對角化形式中，若 B 不含零元素，則完全可控；若 C不含零元素，則完全可觀例1 p 1 0 0 0 l1(t) =0 1 0 (t)+ 1 e(t)-1r (t )0 0 311 pr(t) = 1 1 0(t)l2e(t )-2 2(t), 3(t) 可控，1 p1(t), 2(t) 可觀l-3 3判別方法例：判別可控性A = 11 B = 1 0 10 計算 1 11 1 1 1 M = B AB =00 100 0 因為 rank(M) = 1，不，所以全可控例：判別可觀性A = 01 C =

24、 1 0計算1 0 N C 1 0 1 0 = CA = 1 0 01 = 0 11 0 因為 rank(N) = 2，所以完全可觀第二十五講 (§12.4 §12.7)2016 年 6 月 1 日“信號”課件1 0 5z1第 6/7頁電子工程系課程小結主要內(nèi)容 建立和求解離散時間狀態(tài)方程 狀態(tài)矢量線性變換和 A 矩陣對角化 系統(tǒng)可觀性和可控性的判別方法作業(yè) 習題 125, 14, 19練習與提高 練習 習題 1215, 18, 21 復習可控、可觀和 H(s) 的關系解：(續(xù)) 若只考慮輸入/輸出關系，原系統(tǒng)等價于1-1x (n) -zgy (n)11-0 50 5 由公

25、式，可直接寫出傳遞函數(shù)為Y (z)1(1 0.5z1) + (1)z1(0.5)1=X(z)1 0.5z11 0.5z1 結論：框圖、流圖和狀態(tài)方程是對系統(tǒng)的全面描述；化簡后 的傳遞函數(shù)只反映了系統(tǒng)中可觀可控的部分 只實現(xiàn)可觀可控的部分稱為最小實現(xiàn)可控、可觀和 H(s) 的關系解：(續(xù)) 已知系統(tǒng)極點 (即 A 的特征值) 為 0.5 和 1，計算特征向量， 構造變換矩陣P1 = 2 1 P = 11 1 112 得到新的狀態(tài)方程和輸出方程 1(n + 1) = 0.5 0 1(n) + 1 x(n)2(n + 1)012(n)2y(n) = 0.5 0 1(n) + x(n)2(n) 繪出新流圖，1可控不可觀，z-1有零極點對消-1g1 -0 5x (n)0 5y (n) z-12g